活躍在2019高考中的“導數題”

導數思想豐富、內涵深刻、應用廣泛，一直是近幾年高考經久不衰的考查熱點.無論是客觀題還是解答題，試題的背景、結構、交匯更加豐富、更加活潑、更加新穎， 對學生的直觀想象、邏輯推理、數學抽象和數學運算等核心素養進行了有效考查＼[1＼]. 下面介紹2019高考中豐富多彩的“導數題”，供參考.

1 考查函數圖象的切線

例1 （新課標Ⅰ卷文理第13題） 曲線y=3（x2+x）ex在點（0，0）處的切線方程為

.

解析 因為y′=3（2x+1）ex+3（x2+x）ex=3（x2+3x+1）ex，

所以曲線在點（0，0）處的切線斜率k=3.故所求的切線方程為y-0=3（x-0），即y=3x.

評注 本題以超越函數為載體，主要考查函數的導數計算、導數的幾何意義和曲線的切線方程，屬于基礎題.一般地，f′（x0）的幾何意義是曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率， 其切線方程可以表示為y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），條件是（x0，f（x0））必須為曲線上的點.

2 考查函數的極值

例2 （江蘇高考卷第19題）已知函數 f（x）= （x-a）（x-b）（x-c）， f′（x）為 f （x）的導函數. 若a≠b，b=c，函數 f （x）， f ′（x）的零點均在集合{-3，1，3}中，求 f （x）的極小值.

解析 當a≠b，b=c時，f（x）=（x-a）（x-b）2，

所以f′（x）=（x-b）2+2（x-a）（x-b）=（x-b）（3x-2a-b）=3（x-b）（x-2a+b3）.

當 b=-3，2a+b3=1，即a=3，b=-3時，f（x）=（x-3）（x+3）2，零點是-3，3，符合條件;

此時f′（x）=3（x+3）（x-1），f（x）的極小值是f（1）=-32.

當b=1，2a+b3=-3時，a=-5，不合題意;

當b=1，2a+b3=3時，a=4不合題意;

當b=3，2a+b3=1時，a=0，不合題意;

當b=-3，2a+b3=3時，a=6，不合題意;

當b=3，2a+b3=-3時，a=-6，不合題意.

故f （x）的極小值是-32.

評注 本題以三次函數為載體，主要考查三次函數的零點. 在已知函數零點取值范圍的條件下，反過來確定函數解析式中的參數，再求函數的極值，要注意分類討論，對照條件，逐一篩選. 像這種逆向設置的問題，在近幾年的高考中常常出現，有一定的創新性＼[3＼].

3 考查參數的取值范圍

例3（浙江高考卷第9題） 已知a，b∈R，函數f（x）=x，x<0，

13x3-12（a+1）x2+ax，x≥0.若函數y=f（x）-ax-b恰有三個零點，則（）.

A.a<-1，b<0B. a<-1，b>0

C. a>-1，b>0D. a>-1，b<0

解析 函數y=f（x）-ax-b恰有三個零點，就是方程f（x）=ax+b有且僅有三個實數根，即曲線y=f（x）與直線g（x）=ax+b有且僅有三個交點.

圖2f′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-a）（x-1），f′（0）=a，f（0）=0.

當a<-1時，直線g（x）=ax+b的斜率小于-1，與曲線y=f（x）只有一個交點（如圖1），排除A，B.

當a>-1時，如圖2，可知在-10時，曲線y=f（x）與直線g（x）=ax+b不可能有三個交點，排除C，故選D.

評注 由于函數方程中涉及a，b兩個參數，按“一元化”思路不少考生會一籌莫展. 可以運用“一分為二”思想，轉化為兩個函數f（x）和g（x）圖象的交點個數問題.根據選擇題的選擇支提供的信息，結合分段函數的圖象，迅速排除錯誤答案.注意特殊與一般的關系是一般寓于特殊之中.“命題在一般情況下為真，則在特殊情況下也為真”，“命題在特殊情況下為假，則在一般情況下也為假”.排除法、特殊化法是解某些非常規選擇題的有效途徑＼[2＼].

4 考查原函數零點的存在性

例4（新課標Ⅱ卷理科第20題） 已知函數f（x）=lnx-x+1x-1. 證明：f（x）有且僅有兩個零點.

解析 因為 f（x）=lnx-x+1x-1=lnx-2x-1-1，x>0，且x≠1，所以f′（x）=1x+2（x-1）2=x2+1x（x-1）2>0.

因此f（x）在（0，1）和（1，+SymboleB@ ）內單增.

而f（e-2）=lne-2-2e-2-1-1=e2-31-e2<0，f（12）=ln12+4-1=3-ln2>0，所以f（x）在（0，1）內有且僅有一個零點.

又因為f（e2）=lne2-2e2-1-1=e2-3e2-1>0，f（2）=ln2-3<0，所以f（x）在（1，+SymboleB@ ）內有且僅有一個零點.

綜上知，f（x）有且僅有兩個零點.

評注 本題考查超越復合型函數的零點， 涉及到對數函數和分式函數的導數、導數處理函數的單調性與零點的特征等問題.零點存在定理告訴我們：若f（a）f（b）<0，則在（a，b）內至少有一個零點，但也可能有多個零點;若f（a）f（b）>0，則無法判斷（a，b）內零點的個數.因此，解題中既要判定f（a）f（b）的符號，又要確定函數的單調性.

5 考查導函數零點的存在性

例5 （新課標Ⅰ卷文科第20題）已知函數f（x）=2sinx-xcosx-x，f′（x）是f（x）的導函數. 證明：f′（x）在區間（0，π）內存在唯一零點.

解析 因為f（x）=2sinx-xcosx-x，所以f′（x）=2cosx-cosx+xsinx-1=cosx+xsinx-1，f″（x）=

-sinx+sinx+xcosx=xcosx.

因為x∈（0，π）， 所以當x∈（0，π2）時，f″（x）>0，f′（x）單增;當x∈（π2，π）時，f″（x）<0，f′（x）單減.f′（x）在區間（0，π）內的最大值是f′（π2）=π2-1>0，f′（π）=-2.

函數f′（x）在（0，π2）內沒有零點，在（π2，π）內有且僅有一個零點.

故f′（x）在區間（0，π）內存在唯一零點.

評注 證明f′（x）的零點，必須考慮f″（x）的符號，從而確定f′（x）的單調性和圖象特征，其中f″（x）=（f′（x））′，即f（x）的二階導數.判定f′（x）的零點還需要利用零點存在定理.

6 考查導函數極值點的存在性

例6 （新課標Ⅰ卷第20題）已知函數f（x）=sinx-ln（1+x），f′（x）是f（x）的導函數.證明：f′（x）在區間（-1，π2）內存在唯一極大值點.

解析 因為f′（x）=cosx-11+x，x∈（-1，π2），所以f″（x）=-sinx+1（1+x）2.

由f″（x）=0得，sinx=1（1+x）2.

畫出函數y=1（1+x）2和y=sinx的圖象，可知在區間（-1，π2）內兩函數的圖象有唯一交點，其橫坐標是x0.

顯然，當x→x-0時，sinx<1（1+x）2，f″（x）>0;

當x→x+0時，sinx>1（1+x）2，f″（x）<0.因此x0是函數f′（x）=cosx-11+x的唯一極大值點.

評注 本題跳出了過去常見的指數函數、對數函數、整式函數、分式函數的復合形式，而以三角函數與分式函數的復合型函數形式出現，這在近幾年高考中尚屬首次，給人耳目一新之感.由于三角函數的導數仍然是三角函數，因此利用導數研究其極值點有一定的難度.顯然，f′（x）=cosx-11+x，f″（x）=-sinx+1（1+x）2=0的實數根無法直接求出，這讓我們聯想到：將方程-sinx+1（1+x）2=0“一分為二”成兩個函數，利用函數y=1（1+x）2和y=sinx的圖象的交點個數來處理問題，解題過程果然簡單快捷＼[2＼].

7 考查不等式的證明

例7 （天津高考卷理科第20題） 設函數f（x）=excosx，g（x）為f（x）的導函數.

（Ⅰ）求f（x）的單調區間;

（Ⅱ）當x∈π4，π2時，證明：f（x）+g（x）（π2-x）≥0;

（Ⅲ）設xn為函數u（x）=f（x）-1在區間（2nπ+π4，2nπ+π2）內的零點，其中n∈N.證明：2nπ+π2-xn ? ? 解析 （Ⅰ）易得f（x）的單調遞增區間是2kπ-3π4，2kπ+π4（k∈Z），f（x）的單調遞減區間是2kπ+π4，2kπ+5π4（k∈Z）.

（Ⅱ）記h（x）=f（x）+g（x）（π2-x）.

依題意及（Ⅰ）有，g（x）=ex（cosx-sinx），從而g′（x）=-2exsinx. 當x∈（π4，π2）時，g′（x）<0.所以h′（x）=f′（x）+g′（x）（π2-x）+g（x）（-1）=g′（x）（π2-x）<0.

因此，h（x）在區間π4，π2上單調遞減，進而h（x）≥h（π2）=f（π2）=0，

即當x∈π4，π2時，f（x）+g（x）（π2-x）≥0.

（Ⅲ）因為xn為函數u（x）=f（x）-1的零點，所以u（xn）=f（xn）-1=0，即exncosxn=1. 令yn=xn-2nπ，則yn∈（π4，π2），y0=x0，且f（yn）=eyncosyn=exn-2nπcos（xn-2nπ）=e-2nπ（n∈N），f（y0）=f（x0）=1.

由f（yn）≤f（y0）及（Ⅰ）可知，yn≥y0.

由（Ⅱ）知，當x∈（π4，π2）時，g′（x）<0，所以g（yn）≤g（y0） ? ? 因為yn∈（π4，π2），所以由（Ⅱ）得，f（yn）+g（yn）（π2-yn）>0，所以π2-yn<-f（yn）g（yn）=-e-2nπg（yn）≤-e-2nπg（y0）=e-2nπey0（siny0-cosy0） ? ? 評注 本題以指數函數與三角函數的復合形式為載體，主要考查導數的運算、運用導數研究函數的性質、函數零點的意義、不等式的證明和坐標代換法等基礎知識和方法，考查函數思想、化歸與轉化思想、抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力， 難度較大.

以上從7個方面對2019年高考導數選擇題、填空題和解答題的考向進行了透視，充分體現了導數在處理函數、不等式、方程和切線等問題中的基本思想和方法. 不難看出，2019年導數高考題一個顯著特點就是：加大了推理論證的考查力度，出現了不少的存在性問題和證明性問題，凸顯了對數學的靈魂“推理”的高度重視.這給我們的信號是：數學教學必須加強邏輯思維、推理論證、理性精神的培育，回歸數學的本質＼[1＼].

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準＼[M＼]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2] 李昭平.定曲線與動直線 ＼[J＼].中學數學研究，2018（12）.

[3] 李昭平.透視導數法處理函數問題中的分類討論＼[J＼]. 中學數學雜志（高中），2019（3）.

作者簡介 李昭平（1963—），中學正高級教師， 安徽省數學特級教師， 現為安徽省太湖中學副校長. 2006年獲安慶市市長獎，2012年獲安慶市人民政府特殊津貼，2013年獲安徽省人民政府特殊津貼，2013年當選安徽省第九屆科學技術代表大會代表，2016年2月被評為安徽省首批中小學教師培訓專家庫專家. 迄今為止，在國家級、省級具有CN刊號的報刊雜志上發表教育教學論文500余篇，在省內外進行名師交流講座120多場.