任意階一致橢圓型算子第二特征值的上界估計

趙曉蘇，錢椿林

(蘇州市職業大學 數理部，江蘇 蘇州215104)

1 主要結果

設Ω?Rm是一個有界區域，Ω 的邊界?Ω 是逐片光滑的，考慮如下的特征值問題：

關于問題(1)的等式兩邊都是調和算子的第二特征值估計已有結果[1]，[2，[4]，[5]，問題(1)的等式左端是一致橢圓型算子，等式右端是調和算子的第二特征值估計已有結果[3]，問題(1)的等式左端是四階一致橢圓型算子，等式右端是二階一致橢圓型算子的第二特征值估計已有結果[6]。 問題(1)的等式左端是高階一致橢圓型算子，等式右端是二階一致橢圓型算子的第二特征值估計已有結果[7]。 在本文中，研究問題(1)的等式左端是任意階一致橢圓型算子，等式右端是四階一致橢圓型算子的第二特征值估計。 運用文獻[1]中的方法，并且對其方法加以改進，對于問題(1)獲得了用第一特征值來估計第二特征值的上界的不等式，其估計系數與區域的幾何度量無關. 其結果在物理學和力學中有著廣泛的應用，在微分方程的研究中起著重要的作用[8]。

定理 設λ1，λ2是問題(1)的兩個第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，則有：

2 定理的證明

設λ1是問題(1)的第一特征值，相應于λ1的特征函數為u1，簡記u=u1，為簡便起見，用∫替代∫Ω，且滿足：

利用分部積分和(5)，得：

利用分部積分和(6)，有：

利用(2)和(7)，得：

利用(3)和(6)，有：

利用分部積分，直接計算得：

利用qk的定義和，(10)等于零，即：

從(11)知，φk與u 帶權正交，且滿足：。

利用Rayleigh 定理：

計算得：

結合(13)和(14)，得：

設：

利用式(15)，有：

利用(12)和(16)：

設：

引理1 設u 是問題(1)所對應第一特征值λ1的特征函數，則：

證：對于(a)，利用數學歸納法，當r=1 時，等式(a)顯然成立。 假設對r=k 等式(a)也成立。

對r=k+1，利用歸納假設，得：

故有等式(a)對r=k+1 也成立，所以引理1(a)成立。

對于(b)，用數學歸納法證明，當r=1 時，利用(9)的右端，不等式顯然成立。

化簡整理，有：

即引理1(b)成立。

利用引理1(a)和(8)，得：

引理2 設u 是問題(1)所對應第一特征值λ1的特征函數，則

證 對于(a)，利用引理1(a)，引理1(c)，(9)的左端和Schwarz 不等式，得：

整理后引理2(a)成立：

對于(b)，利用(3)，引理1(a)和引理2(a)，有：

即引理2(b)成立。

引理3 設u 是問題(1)所對應第一特征值λ1的特征函數，則：

證 對于(a)，利用(2)和Schwarz 不等式，得：

當p≠q 時，利用引理2(a)和引理2(c)，取r=s-1，有：

類似地， 有：

當p=q 時，同樣可得：

所以，得：

對于(b)，利用Schwarz 不等式，引理1(a) 和引理1(c)，類似地， 有：

引理4 設λ1是問題(1)的第一特征值，則：

利用分部積分，得到：

利用(19)、(20)和(21)，有：

利用(22)，引理2 和引理3，得：

引理5 對于φk與λ1(k=1，2，…，m)，有下列不等式成立：

證 利用分部積分和φk(x)=(xk-qk)u，得：

利用(23)，有：

利用(24)和(29)，有：

利用(25)、(3)、引理1(c)和Schwartz 不等式，得：

整理上式，可得引理5。

定理的證明：利用引理4 和引理5，從(27)，得到：

整理后，即得定理。