基于客觀賦權的作戰方案模糊優選方法*

方 冰,韓 冰,徐 平

(陸軍指揮學院作戰實驗教研室,江蘇 南京 210045)

現代戰爭是陸、海、空、天、電多維一體的體系作戰,情報信息急劇增長,戰場態勢瞬息萬變,不確定性情況日益增多,決策質量的好壞直接關系到戰爭的成敗。同時,作戰任務的復雜性和戰場環境的不確定性給相關決策人員帶來了沉重的認知負擔和心理壓力,使得他們在面對諸如作戰方案選擇、軍事資源分配等關鍵問題時常常猶豫不決,誤判現象時有發生。因此,本文援引多屬性決策理論,以猶豫模糊數作為不確定決策信息的描述工具,構建不確定條件下的作戰方案優選模型,幫助指揮員積極應對挑戰,做出正確決策,最終贏得戰爭勝利。

多屬性決策(Multi-Attribute Decision-Making,MADM)是指人們在多個相互沖突的屬性下從多個備選方案中選擇具有最高滿意度方案的決策過程[1]。在經典多屬性決策問題中,決策者或評估專家通常是用精確而非模糊的數值來表達他們對備選方案在每個屬性下的評估值(決策信息)。然而,隨著軍事、經濟、社會問題的日益復雜化和決策者本身固有的思維模糊性和認知局限,決策者越來越難以用精確的數值來表達他們的決策信息。為了有效描述決策者的模糊決策信息,1970年,Bellman 和Zadeh首次將模糊集(Fuzzy Set, FS)理論引入多屬性決策問題中[2]。隨后,模糊決策、模糊評價、模糊聚類等相關問題的研究取得了巨大成功,各種新理論如:區間模糊集、直覺模糊集、區間直覺模糊集等應用理論接踵而至[3]。

近年來,西班牙學者Torra針對多屬性決策問題中,決策專家在給出評估信息時猶豫不決以及多個專家互相不能說服、難以達成一致意見的情形,提出了猶豫模糊集(Hesitant Fuzzy Set, HFS)的概念[4]。作為模糊集理論的一種重要拓展形式,猶豫模糊集描述了決策信息對指定集合有多個可能隸屬度的情形,非常適合不確定決策信息的描述,增加了決策者賦值的靈活性,在現實多屬性決策問題中有著廣泛的應用場景。猶豫模糊集的基本描述工具是猶豫模糊數(Hesitant Fuzzy Element, HFE),它是一個由多個實數值構成的集合,表示猶豫模糊集的元素具有幾個可能的隸屬度。猶豫模糊數作為決策者對不確定決策信息的描述工具,允許決策者在給出其評估信息時可以在幾個不同的數值之間猶豫不決,增加了賦值靈活性,從而能夠更加細膩地描述其對評估對象的不確定性評估,是多屬性決策問題中描述和處理不確定信息的有效工具[5]。

本文針對屬性權重未知、屬性值為猶豫模糊數的作戰方案優選問題,提出了一種基于客觀賦權的猶豫模糊多屬性決策方法。該方法首先依據傳統逼近理想解(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution,TOPSIS)思想[6],在猶豫模糊數距離測度[7]的基礎上建立關于權重向量求解的非線性規劃模型,然后在證明該模型是凸優化問題并具有唯一最優解的基礎上,給出其閉合解形式。最后,本文在屬性權重求解的基礎上,給出了多個備選作戰方案的優劣排序算法,進而選出最優作戰方案。數值實驗表明,本文提出的方法具有論證過程清晰嚴謹、算法簡明有效、結果客觀實在、適用范圍廣泛的優點。

1 理論基礎

定義1:假定μA是論域U到區間[0,1]上的一個映射

(1)

其中,x是集合U的任一元素。定義如下集合

A={|x∈U}

(2)

我們稱集合A是集合U的一個模糊集[8]。映射函數μA(·)是模糊集A的隸屬函數。函數值μA(x)∈[0,1]表示元素x關于模糊集A的隸屬度,是元素x屬于模糊集A的程度度量。特別地,μA(x)≡0表示模糊集為空集,即A=Φ,μA(x)≡1表示模糊集A=U。

定義2:給定論域U到區間[0,1]上一個子集的映射

(3)

我們稱集合H是集合U的一個猶豫模糊集[9]。

對于任意x∈U,hH(x)是由區間[0,1]上幾個不同的實數值構成的集合。hH(x)用以表示x屬于猶豫模糊集H的若干個可能隸屬度,hH(x)通常也被稱為猶豫模糊數。例如,猶豫模糊數hH(x)=H{0.4,0.6}表示是元素x屬于猶豫模糊集H的隸屬度可能是0.4,也可能是0.6。當猶豫模糊數hH(x)只包含單一實數值時,猶豫模糊集H就退化成一個傳統的模糊集。

在現實決策過程中,決策者給出的猶豫模糊數中的元素通常是無序的,而且不同猶豫模糊數的元素個數也不盡相同。例如,hH(x1)=H{0.4,0.6}和hH(x2)=H{0.5,0.3,0.8,0.7}。顯然,處理以上兩個猶豫模糊數,比如計算它們之間的距離,是十分困難的。為了便于處理,我們可以將猶豫模糊數中的元素按增序進行排列,并按照一定的規則對元素較少的猶豫模糊數進行拓展,使它們具有相同的元素。比如,我們可以按照風險厭惡(Risk-averse)的原則,重復添加元素個數相對較小的猶豫模糊數中的最小元素,使它和另一個猶豫模糊數的元素個數相同。因此,上述的兩個猶豫模糊數,我們可以把它們處理成hH(x1)=H{0.4,0.4,0.4,0.6}和hH(x2)=H{0.3,0.5,0.7,0.8}。

兩個猶豫模糊數即h1,h2之間的歐幾里得(Euclidean)距離測度可以定義為

(4)

猶豫模糊數h1,h2的并集可以定義為

(5)

猶豫模糊數h1,h2的交集可以定義為

(6)

(7)

2 模型構建

2.1 問題描述

(8)

2.2 決策矩陣規范化

通常,直接得到猶豫模糊決策矩陣A不便于處理。為了方便對備選方案做出綜合評價,需要對矩陣A進行規范化處理[8],其步驟為:

Step1: 對矩陣A進行歸一化處理,消除各屬性的量綱和數量級影響,保證各個屬性之間具有可對比性;

Step2: 對矩陣A進行一致化處理,對于成本型屬性,根據式(7)對其進行取補變換;

Step3: 對矩陣A進行標準化處理,也就是將猶豫模糊數內的所有元素按照增序進行排列,并按照一定的規則對元素個數較少的猶豫模糊數進行拓展,使它們具有相同的元素個數。

設規范化后的猶豫模糊決策矩陣

(9)

這里,矩陣M中的任意猶豫模糊數hij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),其元素個數相同,并且按增序進行排列.

2.3 確定屬性權重

記加權后的規范化決策矩陣為G=[gij]m×n,其猶豫模糊決策元素gij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)由下式給出

gij=wjhij.

(10)

(11)

(12)

因此,方案xi,i=1,2,…,m與加權決策矩陣G正理想解間的歐氏距離測度可以表示為

(13)

為了計算距離di的值,首先需要確定屬性權重向量w=(w1,w2,…,wn)T的值。總體上,我們希望每個方案和矩陣G正理想解間的距離應盡可能地小。同時,由于各個方案是公平競爭的,不存在任何偏好關系。因此,我們可以建立如下的非線性規劃問題來求解屬性權重向量

wj≥0,j=1,2,…,n

(14)

式(14)所示的非線性規劃問題中,優化變量為w=(w1,w2,…,wn)T。當w取得最優解時,每個候選方案和矩陣正理想解間的距離都在“最小二乘”的意義下達到最優。此時,距離正理解最近的方案即為最優。

為簡化計算,可以將該問題的目標函數進一步推導如下

(15)

此處,可以通過引入輔助函數

(16)

來進一步簡化計算。如此,非線性規劃問題(14)可以進一步簡化如下

(17)

(18)

wj≥0,j=1,2,…,n

(19)

下面通過4個定理來說明:式(17)、(18)和(19)所確定的非線性規劃問題是凸問題[10],且具有唯一最優解,并給出其最優解的解析解形式。

定理1:由式(18)和式(19)所確定的非線性規劃問題的可行域G是凸集。

證明:假設,w*和w**是可行域G上的任意兩點。則對于所有的j∈{1,2,…,n},w*和w**需要滿足式(18)和式(19)所確定的兩個條件,即

從凸集的定義出發,對于任意θ∈[0,1],可做如下推導:

顯然,對于任意θ∈[0,1],由θw*+(1-θ)w**所確定的點也滿足式(18)和式(19)所確定的條件。因而,θw*+(1-θ)w**也是可行域G上的點,即可行域G上任意兩點w*和w**之間的凸線段都在可行域G內。

因此,可行域G符合凸集的定義。

引理1:假設X為開凸集,函數f(x)在X上二階連續可微。則函數f(x)是凸集X上凸函數的充要條件是:f(x)的Hessian矩陣是半正定矩陣。即,對于任意x∈X,都有

2f(x)0

特別地,如果對于任意x∈X,都有

2f(x)?0

則函數f(x)是嚴格凸函數(反過來不一定成立)。

定理2:由式(17)所構成的非線性規劃問題的目標函數D是凸集G上的嚴格凸函數。

證明:根據引理1,可得

2D

所以,目標函數D是凸集G上的嚴格凸函數。

定理3:由式(17)、(18)和(19)所確定的非線性規劃問題是凸優化問題,其最優解存在且唯一。

證明:根據定理1和定理2可知,由式(17)、(18)和(19)所確定的非線性規劃問題的可行域G是凸集,目標函數D是凸函數。因而,該非線性規劃問題是一個凸優化問題,其局部最優解為全局最優解。下面對其最優解的唯一性進行證明如下(用反證法):

假設w*和w**是該非線性問題在可行域G上的兩個最優解,則必有

D(w*)=D(w**),

因為,凸優化問題的局部最優解為全局最優解。

同時,根據定理2,對于任意θ∈[0,1],由目標函數D的嚴格凸性可以做如下推導

D[θw*+(1-θ)w**]<

θD(w*)+(1-θ)D(w**)=D(w*).

即,D[θw*+(1-θ)w**]

因而,由式(17)、(18)和(19)所確定的非線性規劃問題,其最優解存在且唯一。

定理4:由式(17)、(18)和(19)所確定的非線性規劃問題的最優解是

(20)

證明:構造如下Largrange函數

其中,λ為Largrange乘子。

聯立求解以上兩式,可得

2.4 方案排序

備選方案xi,i=1,2,…,m與加權決策矩陣G的負理想解間的歐氏距離測度可以表示為

(21)

根據式(13)和式(21),可以計算每個備選方案與加權決策矩陣G正理想解間的相對貼近度,其定義為

(22)

顯然,有0≤CI(xi)≤1,i=1,2,…,m，當CI(xi)的值接近于1時,方案xi距離正理想解更近,同時距離負理想解更遠。因此,根據相對貼近度CI(xi)的值,可以確定所有備選方案的排序,從中選出最優方案。引入相對貼近度的目的,是使方案排序算法更具客觀性和穩定性。

根據備選方案xi與加權決策矩陣G正理想解間相對貼近度的大小,可以對方案集X={x1,x2,…,xm}進行優劣排序,進而選出最優方案。

算法1 備選方案優劣排序算法:

Step1:收集整理決策者給出的猶豫模糊評價信息,并進行必要的一致規范化處理,得到如式(9)所示的規范化猶豫模糊決策矩陣M;

Step5:根據式(22),計算出各方案的相對貼近度CI(xi),i=1,2,…,m;

Step6:根據相對貼近度值的大小,對方案集中的備選方案xi,i=1,2,…,m進行優劣排序。

3 算例分析

3.1 問題描述

現代戰爭中,作戰方案的質量是聯合制勝的重要保證。在統一的衡量標準下,對多個作戰方案進行鑒別、比較,能夠實現多個方案的優劣排序,進而選出最優作戰方案。

假設某軍事決策組擬從5個備選作戰方案{x1,x2,x3,x4,x5}中擇優選擇1個。為了選擇出最優的作戰方案,該決策組提出了4個評價屬性{a1,a2,a3,a4}:分別表示作戰方案的實施成本、作戰方案本身的合理性、實施方案的潛在收益、以及實施該方案的潛在風險。其中,屬性a1,a4為成本型屬性,屬性a2,a3為效益型屬性。屬性權重向量w=(w1,w2,w3,w4)T未知,且滿足非負和歸一條件。決策者的評價信息以猶豫模糊決策矩陣的形式給出(見表1):矩陣的猶豫模糊元素{0.3,0.5,0.6}表示評估組在評估方案x1滿足屬性a1的程度上意見不一致,其評估值可能是0.3、也可能是0.5或0.6。

表1 猶豫模糊決策矩陣A

3.2 決策矩陣一致規范化

根據2.2節所述的猶豫模糊矩陣一致規范化方法,首先將決策矩陣A中的成本型屬性a1,a4轉化成效益型屬性;然后,按照風險厭惡的規則[11],通過重復增加元素個數較少的猶豫模糊數中的最小元素,使得決策矩陣中的所有猶豫模糊數具有相同的元素個數,并且其內所有元素按增序進行排列,結果如表2所示。

表2 規范化的猶豫模糊決策矩陣M

根據式(11)的運算規則,可知決策矩陣M的正理想解為

u+={H{0.6,0.7,0.8},H{0.7,0.8,0.9},

H{0.9,0.9,0.9},H{0.8,0.85,0.9}};

根據式(12)的運算規則,可知決策矩陣M的負理想解為

u-={H{0.3,0.4,0.4},H{0.3,0.4,0.5},

H{0.4,0.4,0.5},H{0.15,0.25,0.3}}

3.3 屬性權重確定

表3 各方案到決策矩陣M正理想解的距離集

然后,根據式(16)可以計算出輔助函數的函數值e1=0.4899,e2=0.5323,e3=0.7943,e4=0.7566。

3.4 作戰方案排序

根據2.4節所述的備選方案優劣排序算法,本節按照以下5個步驟對各備選作戰方案進行優劣排序。

Step1:根據式(13),計算各備選作戰方案xi(i=1,2,…,m)與加權決策矩陣G正理想解間的距離測度di,結果如表4所示。

表4 各方案到加權決策矩陣G正理想解的距離測度

表5 各方案屬性值到矩陣M負理想解的距離測度集

表6 各方案到加權決策矩陣G負理想解的距離測度

Step4:根據式(22),計算各備選作戰方案xi(i=1,2,…,m)與加權決策矩陣G正理想解間的相對貼近度,結果如表7所示。

表7 各方案到加權決策矩陣G正理想解的相對貼近度

Step5:根據相對貼近度的大小,對各備選作戰方案xi(i=1,2,…,m)排序如下:

x1?x2?x3?x5?x4。

根據排序結果可知,第1種作戰方案為最優,第4種作戰方案為最劣。

3.5 比較分析

為對本文方法的有效性進行說明,這里對同一算例的計算結果與其他兩種不同決策方法所得到的結果相比較,結果如表8所示。

表8 不同決策方法的結果比較

從決策結果上來看,這三種方法的最優決策方案是相同的,都是備選方案x1為最優,即選擇第1種作戰方案為最優。不同之處是備選方案x4,x5的排序,即第4種作戰方案和第5種作戰方案的優劣情況:在這個問題上,本文方法與文獻[12]的結果是一致的,第5種作戰方案優于第4種作戰方案;而文獻[11]的決策結果是第4種作戰方案優于第5種作戰方案。

從決策過程上來看,文獻[12]的決策方法需要決策者事先給定屬性的權重信息,決策者的主觀隨意性對決策結果有很大的影響;文獻[11]通過組合賦權的方式,部分減少了決策者對屬性權重信息處置的主觀隨意性。但是,本文的方法,完全采用客觀賦權的方式,徹底消除了決策者對屬性權重信息處置的主觀隨意性,具有客觀實在、適用范圍廣泛的特點。

4 結束語

本文針對不確定條件下的作戰方案優選問題,提出了一種基于客觀賦權的模糊優選方法。該方法以逼近理想解算法為思想基礎,以屬性權重向量求解為中心環節,以非線性規劃為主要數學工具,具有論證過程清晰嚴謹、算法簡明有效的特點。數值實驗表明,該算法能夠有效避免了屬性權重向量求解過程中的決策者的主觀因素影響,具有邏輯清晰、客觀實在、操作簡單的特點。同時,通過和其他已有算法的比較,也從側面上證明了論文所提算法的有效性。