地理教學須警惕純粹數學理性

夏嬋嬋

摘要：地理學與數學在學科研究旨趣上存在共通處，課程層面的地理與數學也同為重要的基礎教育學科課程。然而地理學研究對象的復雜性不同于數學研究對象的高度抽象性，地理學研究方法的多樣性不同于數學研究對象的相對單一性，地理學研究結論的區域性不同于數學研究結論的廣泛應用性。因此，中學地理教學離不開必要的數學化過程，但需要回歸地理環境本身中來找尋地理教學須警惕數學理性的關鍵點。

關鍵詞：數學理性 地理教學 學科融合

地理學界有則笑話：有人計算某湖每年有上億噸泥沙淤積，于是推斷該湖在30年內將淤塞，事實上50年后該地依然是個大湖，不過50年后還有人仍然在做那樣的計算和推斷川。從根本上說，這個笑話反映了純粹的數學推理或模型測算，并不能客觀真實地反映現實復雜地理問題。與之相似的純粹數學理性思維習慣在中學地理課程與教學中也比較普遍，這一類“預測性問題”甚至在考試評價中也屢見不鮮。盡管STEM教育要求嵌入真實情境和真實問題、注重多學科知識的交叉組合，鄭丙沛、楊曉英也指出高中地理教學與數學有交叉融合之處，但地理教學依然須警惕純粹數學理性。

一、地理教學離不開必要的數學理性

學科是課程的基礎，學科的育人價值在基礎教育階段主要通過學科課程來實現。地理教學在學科、課程和育人價值等方面都離不開數學理性。

1.地理學與數學的空間研究興趣相近

地理學是一門關于空間的科學，不僅研究地理事物的空間分布和空間結構，而且闡明地理事物的空間差異和空間聯系，并致力于地理事物的空間運動、空間演變的規律。袁孝亭指出，“從空間的角度看待世界”是地理學的根本思想方法。所以，地理學對地球表層空間世界的描述和解釋，支撐起了學科的研究個性及其獨特價值。

數學是一門研究數量關系和空間形式的科學，代數、幾何等是其表達世界的主要工具。“數學化”是指人們數學地組織現實世界的過程。史寧中強調，數學教人會用數學的眼光（抽象）觀察現實世界，會用數學的思維（推理）思考現實世界，會用數學的語言（模型）表達現實世界。可以認為，數學化為我們提供了一個從數量關系和空間形式觀察世界、思考世界和表達世界的獨特視角。

地理學與數學都關注空間世界，它們的空間研究興趣相近。“地理學之父”埃拉托色尼通過精確測量地球周長，阿那克西曼德通過地圖制作等，開創并奠定了地理學的數理傳統。數學為地理學認識空間世界提供了數量關系和空間形式的抽象視角和工具，地理學為數學認識空間世界提供了分布、結構、差異、聯系、運動和演變等具體空間切人點。

2.地理與數學是同等重要的學校課程

地理跨科學和人文與社會兩個學習領域，具有兼跨自然科學和社會科學的綜合性特征。數學是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具，對于自然科學和人文社會科學等的發展具有基礎性作用。高中數學課程是學習高中物理、化學和地理等課程的基礎，注重提高學生的觀察發現、空間想象、數據處理和模型建構等數學思維能力。因此，扎實的數學基礎對于學生學習地理課程具有助推作用。基礎教育階段，在以核心素養為主軸的課程設計、實施過程中，地理與數學作為同等重要的基礎教育學科課程，都在致力于學生的跨學科“空間”大概念認知，培養學生的學科核心素養。

3.地理與數學共同助推學生思維發展

數學因其根本性的邏輯、工具和文化等功能，被隱喻為“科學的皇后”和“思維的體操”。馬克思說，一門學科只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了。同時，基于歷史研究實踐和現實科學與社會需求，現代地理學研究也越來越注重對數學的運用，且已反映在中學地理課程與教學中。近年來，以圖表數據分析類、地理過程預測類等涉及數學計量模型的問題情境在地理教學與評價中越來越普遍，對于學生的地理思維和數學思維發展起到了至關重要的作用。

二、地理教學警惕純粹數學理性的原因

數學視域的現實世界具有抽象性，蘊含豐富的代數符號、幾何圖像和運算模型，遵循著數理邏輯和線性發展規則。地理學科視域的地球表層，到處都是具體的復雜區域或景觀，充填了地形、植被、水體、人口等地理要素，是一個具體、復雜、非線性世界。下面從學科研究對象、研究方法和研究結論三個方面討論地理教學警惕純粹數學理性的必要性。

1.地理學與數學的關注對象不同

地理學是關于區域差異的研究，其研究對象十分復雜。它通過“劃區”的方法把復雜的地球表層世界組織為一個個不同屬性或尺度的區域，然后分別描述和解釋每一個“馬賽克”，致力于清楚復雜地表的無限多樣性，并在此基礎上揭示其背后所隱含的地理空間秩序。例如，由于區域的復雜性，將中國置于大洲尺度上的東亞大區，再將其具體劃分為東北地區、華北地區、西北地區、南方地區和青藏地區等。再比如，我國西北地區的“房子半邊蓋”（非軸對稱）與華北地區的“人”字形（軸對稱）側面結構不同。總之，地理學習為我們理解現實復雜世界提供了空間一區域的視角和思維方式。

數學與其他基礎科學相比最重要的個性化特征是其研究對象的抽象性，這也決定了數學的其他特征，并使它區別于自然科學。數學的本質可以概括為“抽象”“推理”和“模型”。具有良好數學素養的人看待世界時，萬物的一個非常重要的特征就是高度抽象性。如天安門城樓兩側的旗子雖然飄揚方向相同，但天安門城樓的抽象輪廓依然成軸對稱幾何體;雖然我們所處的鄉村或城市環境復雜多樣，但在本質上都是一個三維幾何空間。總體來說，學習數學有助于抽象地認知現實世界。

數學在認識現實世界時，通常會將事物的外在特征剝離掉，但地理學則必須高度關注不同事象的具體特征。如房屋側面的不同的三角形結構特征，實際又是不同區域地理環境復雜性的反映，而“三角形”等具體特征一旦被忽略，則不利于相關地理問題的解決。

2.地理學與數學的研究方法不同

地理學以綜合性著稱，地理學科核心素養之一就是綜合思維。在地理學家的視域內，需要從綜合的角度來觀察、分析和解決實際地理問題。所以，地理學的研究方法有普通物理、化學等常用的控制變量實驗方法，歷史學的文檔資料分析方法，經濟學的計量模型建構方法，社會學等常用的社會調查方法，哲學等學科常用的理性思辨法等。針對不同的問題、不同的地域、不同的時間段等，地理學家會充分調動已有材料基礎和認知經驗，多方匯聚相關資料、數據，采用合適的方法來解決具體地理問題。

較之地理學，數學的研究方法就相對單一。數學研究事物量的規定性，而不研究事物質的規定性。有不少人曾笑談，“當地理學家跋山涉水進行野外考察時，數學家用一支筆和一張紙就可能推算出一個重要的科學結論”。盡管這一說法比較夸張，但在某種程度上可以反映出兩門學科的研究方法差異。目前，學科交叉日趨深化，但兩門學科的傳統做法和經典研究范式仍不會趨同，因為這是學科分化和獨立的前提。

3.地理學與數學的結論應用取向不同

數學結論是邏輯推演的結果，或是歸納的邏輯，或是演繹的邏輯。通常，只要保證數學的概念準確、邏輯合理、條件合適，數學結論則一般具有很強的廣泛應用性。例如，“單價×數量=總價”模型、九九乘法口訣等的普適性較強，應用時一般不需要因時因地而調整。

地理學則不同，“地理學很少有放之四海皆適用的法則。地理學的區域性本質決定了其科學結論“源于區域”又“落于區域”。《重新發現地理學》一書指出，地理學家經常好奇“為什么某種現象只發生在某處而他處卻無”。正是區域的獨特現象引發地理學家思考，最終完成對特定區域的地理描述和地理解釋。比如，地理學家關于區域發展、城鎮設計、資源開發和污染治理等規劃經驗比較豐富，然而，他們卻從來不會將A地的發展模式或規劃方案原封不動地套用于B地，假使可以在很大程度上通用，也仍會基于具體區域條件來調試后再運用。

所以，面對具體的問題解決過程，數學結論的應用相對可以遵循“忠實取向”，地理結論的應用則更多堅持區域“調試取向”。這是邏輯準則，也是基本原理和方法論。

三、地理教學警惕純粹數學理性的關鍵點

數學思維和工具是一個非常有用的手段，但須明確地理學習的重點是地理而非數學。回歸地理環境本身，檢視其本質屬性與功能，方可找尋地理教學須警惕數學理性的關鍵點。

1.強調具體問題具體分析

由于地球表層系統與數學抽象世界具有強烈的對立統一關系，所以，學生在抽象概括地理科學結論時，一定要結合具體地域條件和具體問題來具體分析、反復推敲、多重論證。數學學科在某種程度上可以認為是純粹的理想的絕對抽象學科，其以高度的抽象性、嚴密的邏輯性、描述的精確性和結論應用的廣泛性等特點，適用于很多學科的研究當中，因此也萌生了“數學是科學的皇后”等經典論斷。但數學以外的其他學科的研究對象都與現實中各種復雜系統緊密相關，如自然系統或社會系統。更為關鍵的是，現實系統都是具象的、復雜的、非絕對線性的。學生所接觸到的純粹的數學理性應用于具體現實地理問題中時大多會發生一定的變異，若繼續遵守純粹的數學理性，則必然會影響到學生的觀察、分析和預判等，因此，教師在地理教學中要十分警惕數學思維的純粹理性傾向。

2.注重平衡功能

地理系統不僅具有生產功能還具有平衡功能，所以，學生在分析具體地理問題時應該理順地理系統的“正反饋”和“負反饋”機制，結合地理科學原理，均衡考慮“加法”和“減法”的使用。平衡功能（又稱穩定功能）是指各圈層通過物質和能量交換，使自然圈層的性質保持穩定的能力。例如，大氣本身不具有減緩二氧化碳增加的功能，但在地球表層中，各圈層的相互作用通過“負反饋環”卻能消除部分新增的二氧化碳。這是由于在海洋生物作用下，大氣中的二氧化碳和海水中溶解的鈣，能加速形成碳酸鈣沉淀，消除了部分新增的二氧化碳，可見地球表層擁有各圈層本身不具備的穩定功能”習。如果我們純粹以數學的數據思維、運算思維和迭代思維來看，根據“正反饋環”原理，人類持續向自然界釋放二氧化碳，若干年之后大氣中的氧氣含量會越來越少，二氧化碳含量將越來越多，最終導致全球氣候變暖，生物滅絕等。很顯然，這與現實不完全相符。

3.關注多要素分析

地理環境的演化過程具有統一性（或稱同步性），所以不宜憑借單一地理要素的量化分析就簡單粗暴地斷定地理環境的演變結果。如本文篇首的湖泊沉積推算笑話中，隨著每年上億噸的泥沙淤積，有限的湖盆容量必然會因泥沙累積而減小，但是，根據數學模型T（時間）=V（容量）/v（沉積速度）測算出的30年并無太大實際意義。湖泊作為一個水域系統，其演化過程是水體、植被、地形等多個地理要素長期綜合作用的結果，本該30年就該淤塞的湖泊經歷了50年甚至100年的泥沙淤積之后依然還是一個大湖。

總之，數學規律為我們認識地理世界提供了一個非常有用的量化手段，從地理學科人手來認識數學有利于促進學生的數學學習與日常生活緊密對接，實現“地理化”“數學化”和“生活化”等深度融合。當然，警惕純粹的數學理性，并不是棄數學理性于不顧、否認或拒絕數理工具不用，而是不宜直接用純粹的數理工具來“精準”解決現實地理問題，以純粹的數學理性運算結果來簡單粗暴地給未知復雜世界下定論。