力學(xué)動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題與數(shù)學(xué)中圓的不解之緣

(江蘇省江陰市長(zhǎng)涇中學(xué)，江蘇 無(wú)錫 214411)

數(shù)學(xué)在科學(xué)研究中有著重要的作用，在高考考試說(shuō)明中把“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力”作為考查學(xué)生的五種能力之一。這個(gè)能力主要體現(xiàn)在兩方面：一是能夠在具體問(wèn)題中找出物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，根據(jù)數(shù)學(xué)進(jìn)行推導(dǎo)、求解和合理外推，并根據(jù)結(jié)果從物理視角進(jìn)行判斷、解釋、得出結(jié)論；二是能夠根據(jù)物理問(wèn)題的實(shí)際情況和所給條件，恰當(dāng)運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像等進(jìn)行分析、表達(dá)，能夠通過(guò)分析明確圖像的物理意義，從而解決物理問(wèn)題。

共點(diǎn)力作用下的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題作為常考考點(diǎn)，在歷年高考試題或調(diào)研試卷上時(shí)有出現(xiàn)。此類問(wèn)題往往需要學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行受力分析，恰當(dāng)選擇和運(yùn)用如三角形、平行四邊形或圓等幾何圖形去分析力與力之間的關(guān)系，進(jìn)而解決問(wèn)題。本文對(duì)數(shù)學(xué)中“圓”的知識(shí)在解決力學(xué)動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行分析與歸納，以提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題的能力。

1 用在圓上不同位置的半徑表示大小不變、方向變化的力

物體受到三個(gè)力平衡時(shí)，如果其中第一個(gè)力大小、方向均不變，第二個(gè)力的大小不變，第三個(gè)力大小、方向均在變化。根據(jù)共點(diǎn)力平衡特點(diǎn)，在構(gòu)建力矢量三角形時(shí)，將那個(gè)大小不變而方向變化的力看作一個(gè)圓中不同位置的半徑，作出一個(gè)“矢量圓”，另一個(gè)力的情況也就清楚了。

例1：如圖1所示，三根繩子a、b、c結(jié)于O點(diǎn)，c繩下方掛重物m1，繩子a另一端固定在天花板上，b繩跨過(guò)定滑輪懸掛一重物m2，不計(jì)一切摩擦，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)。先將懸點(diǎn)a緩慢向左移動(dòng)少許至a′點(diǎn)，則在此過(guò)程中( )。

圖1

A.bO繩拉力保持不變

B.aO繩拉力一直減小

C.aO繩拉力一直增大

D.aO繩拉力先增大再減小

圖2

解析：對(duì)節(jié)點(diǎn)O進(jìn)行受力分析，三根繩子拉力分別為F1、F2和F3，a點(diǎn)向左緩慢移動(dòng)，三力動(dòng)態(tài)平衡，矢量三角形如圖2所示。F3大小等于m1g，方向不變；b繩拉力F2大小等于m2g，方向改變，則以F2的大小為半徑作一個(gè)矢量圓(如圖3)，F(xiàn)1的大小變化也就一目了然了，選項(xiàng)C正確。

圖3

啟示：以恒定力的末端為圓心，以大小不變的力為半徑作圓，畫出幾個(gè)動(dòng)態(tài)三角形便可以分析出另一個(gè)力的變化情況。此方法在高中物理其他地方也經(jīng)常用到，如研究小船渡河問(wèn)題，當(dāng)船速小于水速時(shí)，討論小船渡河的最短位移等。教師在總結(jié)方法的同時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生去舉一反三，引導(dǎo)學(xué)生把一種方法遷移到其他問(wèn)題解決中去。

2 圓中等長(zhǎng)的弦所對(duì)應(yīng)的圓周角為定值

物體受到三個(gè)力作用而平衡時(shí)，若其中一個(gè)力大小、方向均不變，另兩個(gè)力的大小、方向都發(fā)生變化，且這兩個(gè)力的夾角始終保持不變。則可以將力的矢量三角形移入其外接圓中，那個(gè)大小不變的力相當(dāng)于圓中等長(zhǎng)的弦，另兩個(gè)力之間的夾角就是該弦所對(duì)的圓周角，始終為一定值。

圖4

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

解析：以重物為研究對(duì)象，受重力mg、OM繩上拉力F2和MN上拉力F1，由于重物被緩慢拉起屬于動(dòng)態(tài)平衡，三個(gè)力的合力始終為零，矢量三角形如圖5所示。因?yàn)閙g大小、方向不變，F(xiàn)1與F2夾角不變，故可將三力平移至圓中，mg為圓的一條固定的弦，F(xiàn)1與F2的交點(diǎn)始終在圓上移動(dòng)，即可保證夾角不變(固定弦所對(duì)圓周角為定值，如圖6)。在F2移至水平的過(guò)程中，MN上的張力F1逐漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以選項(xiàng)A、D正確，選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤。

圖5

圖6

啟示：本題為2017年高考全國(guó)卷試題，對(duì)學(xué)生綜合分析能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力要求較高。此題雖然也可以用正弦定理或特殊值法解決，但都不及圖解法直觀、簡(jiǎn)單。學(xué)生的問(wèn)題關(guān)鍵在于不能把分析出的“一個(gè)力不變，另外兩個(gè)力夾角不變”過(guò)渡到“圓中固定弦所對(duì)應(yīng)的圓周角為一定值”，在平時(shí)的教學(xué)中，教師在總結(jié)方法的同時(shí)，可以多創(chuàng)設(shè)不同情境，采用變式訓(xùn)練，從而提升學(xué)生數(shù)理結(jié)合能力。

3 結(jié)合題目中已有的“圓”，運(yùn)用相似三角形等方法處理動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題

在力學(xué)動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題中，會(huì)遇到一類題型，題目給定了一些幾何長(zhǎng)度或幾何圖形，要求學(xué)生借助題目已有圖形處理問(wèn)題。如果題目給定一個(gè)圓，往往可以通過(guò)作輔助線，在已有圓中找到與力的矢量三角形相似的三角形，從而確定力的變化情況。

圖7

例3：如圖7所示，橡皮筋一端固定在豎直墻的O點(diǎn)，另一端懸掛質(zhì)量為m的小球靜止在M點(diǎn)。O點(diǎn)正下方N處固定一鐵釘(橡皮筋靠在鐵釘左側(cè))，ON間距等于橡皮筋原長(zhǎng)，現(xiàn)對(duì)小球施加拉力F，使小球沿以MN為直徑的圓弧緩慢向N運(yùn)動(dòng)，橡皮筋始終在彈性限度內(nèi)，不計(jì)一切摩擦，則小球從M向N移動(dòng)的過(guò)程中( )。

A. 橡皮筋的彈力一直在變小

B. 拉力F的方向始終跟圓弧內(nèi)橡皮筋垂直

C. 拉力F的方向始終跟圓弧垂直

D. 拉力F先變大后變小

解析：小球在移動(dòng)過(guò)程中，橡皮筋的伸長(zhǎng)量為N到圓弧上任意點(diǎn)的弦長(zhǎng)，此弦長(zhǎng)逐漸減小，則彈力一直變小，選項(xiàng)A正確；設(shè)圓的半徑為R，在M點(diǎn)，mg=F彈=k·2R，如圖8所示，設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行受力分析，橡皮筋彈力沿PN方向，大小與PN長(zhǎng)度成正比，則力的三角形與△MPN相似，直徑MN所對(duì)圓周角為直角，則MP⊥PN，故拉力F始終垂直于橡皮筋，且在移動(dòng)過(guò)程中弦長(zhǎng)MP就對(duì)應(yīng)著拉力F的大小，故F越來(lái)越大，故選項(xiàng)A、B正確。

圖8

啟示：此題巧在重力、橡皮筋彈力與圓的直徑、弦對(duì)應(yīng)，從而可以找到相似三角形，再結(jié)合圓的直徑所對(duì)圓周角為直角，得到拉力F與橡皮筋垂直。此題對(duì)教學(xué)有很好的導(dǎo)向作用：往往物理題目給定幾何圖形，就是要求學(xué)生能主動(dòng)建立起物理與數(shù)學(xué)圖形的聯(lián)系。所以在平時(shí)教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)理結(jié)合的意識(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)作圖，聯(lián)系已有圖形的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破和能力的提升。

4 結(jié)語(yǔ)

提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力是高中物理教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)，在教學(xué)中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)理結(jié)合的意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)以及問(wèn)題解決方法進(jìn)行總結(jié)、遷移，切實(shí)提升學(xué)生的能力。