不同強度理論在曲軸疲勞研究中的對比應用

孫嵩松 萬茂松 徐曉美 張 營

南京林業大學汽車與交通工程學院，南京，210037

0 引言

在實際工作過程中，曲軸等發動機零部件會受到不同激勵源的周期性非比例載荷的作用，一些關鍵部位如圓角、油孔等由于截面形狀的突變，會產生應力集中現象，并最終導致零部件的疲勞破壞，同時制造工藝、表面處理工藝等因素也會對零部件的疲勞特性產生間接影響[1-2]，因此如何準確預測零部件的疲勞特性，對零部件的生產設計有著重要的指導意義[3]。

針對上述問題，研究人員提出了相應的研究方法，其中臨界距離法被認為是能夠有效預測構件疲勞極限載荷的方法之一[4]。該方法最先由Neuber等提出[5]，而后TAYLOR[5-6]基于斷裂力學的相關理論，提出了臨界距離的新定義方法，并基于此方法對一些缺口件及焊接件的疲勞特性進行了預測研究。還有學者基于相應的損傷參量提出了另一種臨界距離的定義方法[7]。

目前國內已有不少關于曲軸疲勞方面的研究。戴杰濤等[8]將有限元分析與斷口分析相結合，確定了曲軸疲勞斷裂的主要原因是倒角半徑過小，并提出了相應的改進方法；察博文等[9]采用數值仿真技術對曲軸經過中頻淬火工藝處理后的殘余應力進行了分析，并對其疲勞極限載荷進行了預測；崔廣軍[10]將有限元法和多體動力學相結合，對曲軸的疲勞特性進行了預測，取得了更為準確的預測結果；劉海燕等[11]將McDiarmid模型用于曲軸疲勞研究，結果表明，與Basquin等效應力模型相比，該模型能夠更加準確地預測曲軸的高周疲勞壽命。

目前在實際工程中，臨界距離法主要應用于預測一些結構較為簡單的缺口件，關于曲軸這樣結構較為復雜的零部件的應用較少。本文基于不同的強度理論及其相應的應力分布，結合有限元法對多款曲軸的疲勞極限載荷進行預測，并對預測結果進行了試驗驗證。

1 臨界距離法的相關定義

最初的臨界距離法認為，對于任意構件，其疲勞壽命不僅取決于應力最大點處的應力值，還與一定臨界范圍內的應力分布有關。臨界距離法主要包括臨界點法(PM)和臨界線法(LM)。隨后TAYLOR[5-6]依據斷裂力學的相關理論，提出了一種臨界距離的新定義方法，其表達式如下：

(1)

式中，L為構件的臨界距離；ΔKth為構件材料的應力強度因子門檻值；σ為構件材料的疲勞強度(分為拉伸疲勞極限和剪切疲勞極限)。

在工程實際應用中，對于同種材料、同種工藝制成的構件，可認為二者的材質屬性一致，因此當采用該種定義方法定義構件的臨界距離時，其臨界距離值可視作只與材料屬性有關的常數，其中基于該定義的臨界點法的等效應力可表示為

(2)

式中，σ(r)為構件破壞路徑上某一點的應力值；r為該點距最大應力點的距離。

而基于該定義的臨界線法的等效應力可表示為

(3)

對于同種材料制成的零部件，當它們的等效應力值一致時，其疲勞壽命也會一致。而對于曲軸這樣結構較為復雜的零部件，當采用臨界距離法對其疲勞特性進行分析時，主要存在如下兩個問題：

(1)曲軸受到外載作用時，其應力分布狀態通常較為復雜，很難用一個簡單的分布函數確定，也無法直接對其進行在一定臨界范圍內的應力積分計算。

(2)曲軸為三維實體，當受到外載作用時，其應力最大處的應力狀態往往不是單一的拉伸或剪切應力狀態，很可能會呈現出一定的多軸應力應變特性[12]，因此無法采用單一的拉伸或剪切應力對曲軸的應力分布進行分析。

2 臨界距離法的應用方法

2.1 應力分布擬合方法

針對上述不足，本文將有限元法和插值法相結合，對曲軸在彎矩載荷作用下的應力分布函數進行近似擬合。該方法的主要步驟如下：

(1)采用有限元法對曲軸在彎矩載荷作用下的應力狀態進行分析，并記錄曲軸破壞路徑上各節點的應力值以及各節點與最大應力點之間的距離。

(2)以各節點與最大應力點之間的距離為自變量，以各節點自身的應力值為從變量，采用高次多項式插值法對應力分布進行擬合，并分別基于臨界點法和臨界線法獲取相應的等效應力值。

2.2 強度理論選擇

在實際工程應用中，主要應用的強度理論包括第一強度理論(最大主應力理論)，第二強度理論(最大線應變理論)，第三強度理論(最大剪切應力理論)以及第四強度理論(von Mises應力理論)。本文中，曲軸的材料為高強度合金鋼，其疲勞類型屬于高周疲勞。在實際工程中，該類疲勞問題通常均是基于應力-壽命疲勞模型進行研究。基于上述實際疲勞現象，選擇第一、第三和第四強度理論及其相應的應力分布，并結合臨界距離法對曲軸的疲勞極限載荷進行預測。

3 曲軸算例

3.1 基于第一強度理論的預測結果

基于第一強度理論(即最大主應力理論)，選擇編號為N0的某款曲軸作為基準的研究對象，相應的有限元模型如圖1所示。

圖1 曲軸有限元模型Fig.1 The finite element model of the crankshaft

根據圣維南原理，采用有限元法對曲軸在彎矩載荷作用下的應力狀態進行分析時，其邊界條件可簡化為約束曲軸單拐主軸頸右截面的所有自由度，同時將彎矩載荷Me施加在單拐的左截面，其大小為曲軸的疲勞極限載荷值5 130 N·m，相應地，在該載荷作用下的最大主應力值為643 MPa，其位置位于曲軸的圓角處。

依據圖2所示的曲軸疲勞失效過程中裂紋擴展的路徑，記錄最大應力點至曲軸內部一段距離內各節點的應力值，并利用裂紋模擬法獲取在該應力分布下的應力強度因子門檻值[13]，擬合可得標準裂紋體的應力值及裂紋長度分別為312 MPa和2.02 mm。該標準裂紋體和曲軸二者之間的最大主應力分布的對比結果見圖3。

圖2 曲軸裂紋擴展路徑Fig.2 Crankshaft crack propagation path

圖3 裂紋模擬結果(基于第一強度理論)Fig.3 Crack-modeling result (based on the first strength criterion)

由圖3可以看出，當基于第一強度理論(即最大主應力分布)時，利用裂紋模擬法所得到的標準裂紋體的最大主應力分布與曲軸自身的最大主應力分布基本一致。由斷裂力學相關知識可知，在第一強度理論[13]下相應的標準裂紋體的應力強度因子門檻值ΔKth為24.86 MPa·m0.5。本研究中，N0曲軸的材料為高強度合金鋼，其拉伸疲勞極限σb為501 MPa，代入式(1)計算可得基于第一強度理論的臨界距離值

(4)

基于此參數和臨界距離的相應定義，采用插值法對N0曲軸在其疲勞極限載荷作用下的應力分布進行擬合，可得在第一強度理論下N0曲軸相應的極限等效最大主應力值分別為

(5)

(6)

選擇與N0曲軸圓角半徑不同、材料屬性一致的N1曲軸作為研究的對象，對其施加1 000 N·m的彎矩載荷，依照圖2所示的路徑紀錄各節點的最大主應力值，相應的應力分布見表1。

表1 N1曲軸最大主應力分布(1 000 N·m載荷下)Tab.1 The maximum principal stress distribution ofcrankshaft N1(under 1 000 N·m loads)

由表1可知，N1曲軸在1 000 N·m的彎矩載荷作用下時，其圓角處最大主應力的最大值為234.2 MPa。利用已知的臨界距離值求解N1曲軸在第一強度理論下相應的極限等效最大主應力值，則有

(7)

(8)

對比N1曲軸和N0曲軸的極限等效最大主應力值，可得N1曲軸在第一強度理論下，基于臨界點法與臨界線法的疲勞極限載荷預測值分別為

(9)

(10)

3.2 基于第三強度理論的預測結果

第三強度理論(即最大剪切應力理論)認為構件的疲勞壽命是由其最大剪切應力所決定的。基于此理論，記錄N0曲軸在其疲勞極限載荷作用下的最大剪切應力分布，利用裂紋模擬法獲取在該應力分布下的應力強度因子門檻值，擬合可得標準裂紋體的應力值及裂紋長度分別為9.6 MPa和665 mm。該標準裂紋體和曲軸二者之間的最大剪切應力分布的對比結果見圖4。

圖4 裂紋模擬結果(基于第三強度理論)Fig.4 Crack-modeling result (based on the third strength criterion)

由圖4可以看出，當基于第三強度理論(即最大剪切應力分布)時，利用裂紋模擬法所得到的標準裂紋體的最大剪切應力分布與曲軸自身的最大剪切應力分布基本一致。由斷裂力學相關知識可知，在第三強度理論[13]下相應的標準裂紋體的應力強度因子門檻值ΔKth為13.88 MPa·m0.5。同時本研究中N0曲軸材料的剪切疲勞極限τb為294 MPa，代入式(1)計算可得基于第三強度理論的臨界距離值

(11)

基于此參數和臨界距離的相應定義，采用插值法對N0曲軸在其疲勞極限載荷作用下的應力分布進行擬合，可得在第三強度理論下N0曲軸相應的極限等效最大剪切應力值分別為

(12)

(13)

同樣對N1曲軸施加1 000 N·m的彎矩載荷，并記錄該曲軸在該載荷作用下的最大剪切應力分布，結果見表2。

表2 N1曲軸最大剪切應力分布(1 000 N·m載荷下)Tab.2 The maximum shear stress distribution ofcrankshaft N1(under 1 000 N·m loads)

由表2可知，N1曲軸在該載荷作用下時，其圓角處最大剪切應力的最大值為118.5 MPa，利用已知的臨界距離值求解N1曲軸在第三強度理論下相應的極限等效最大剪切應力值，則有

(14)

(15)

對比N1曲軸和N0曲軸的極限等效最大剪切應力值，可得N1曲軸在第三強度理論下，基于臨界點法與臨界線法的疲勞極限載荷預測值分別為

(16)

(17)

3.3 基于第四強度理論的預測結果

基于第四強度理論(即von Mises應力破壞理論)，利用裂紋模擬法獲取N0曲軸在該應力分布下的應力強度因子門檻值，擬合可得標準裂紋體的應力值及裂紋長度分別為33.6 MPa和187 mm。該標準裂紋體和曲軸二者之間的von Mises應力分布的對比結果見圖5。

圖5 裂紋模擬結果(基于第四強度理論)Fig.5 Crack-modeling result (based on the fourth strength criterion)

由圖5可以看出，當基于第四強度理論(即von Mises應力分布)時，利用裂紋模擬法所得到的標準裂紋體的von Mises應力分布與曲軸自身的von Mises應力分布基本一致。由斷裂力學相關知識可知，在第四強度理論[13]下相應的標準裂紋體的應力強度因子門檻值ΔKth為25.8 MPa·m0.5，因此基于第四強度理論的臨界距離值為

(18)

基于此參數和臨界距離的相應定義，采用插值法對N0曲軸在其疲勞極限載荷作用下的應力分布進行擬合，可得在第四強度理論下N0曲軸相應的極限等效von Mises應力值分別為

(19)

(20)

同樣對N1曲軸施加1 000 N·m的彎矩載荷，其von Mises應力分布見表3。由表3可知，N1曲軸在1 000 N·m的彎矩載荷作用下時，其圓角處von Mises應力的最大值為210.9 MPa。利用已知的臨界距離值求解N1曲軸在第四理論下相應的極根等效應力值，則有

表3 N1曲軸von Mises應力分布(1 000 N·m載荷下)Tab.3 The von Mises stress distribution ofcrankshaft N1(under 1 000 N·m loads)

(21)

(22)

對比N1曲軸和N0曲軸的極限等效von Mises應力值，可得N1曲軸在第四強度理論下，基于臨界點法與臨界線法的疲勞極限載荷預測值分別為

(23)

(24)

4 試驗驗證及分析

由前文分析可以看出，基于臨界距離法對零部件的疲勞極限載荷進行預測時，即使是同一款曲軸，當采用的強度理論不同時，其臨界距離值和疲勞極限載荷的預測結果也有所不同。而且，即使是同一種強度理論，采用臨界點法和臨界線法的預測結果之間也存在較大的差異。為對該方法的適用性進行更加全面的評價，有必要對N1曲軸進行試驗驗證，相應的試驗結果見表4。

表4 N1曲軸疲勞試驗結果Tab.4 Fatigue test results of crankshaft N1

如表4所示，采用正態分布函數對該試驗數據進行擬合[14]，可得N1曲軸疲勞極限載荷在50%失效概率下的中值為3 335 N·m，對比該數值及不同強度理論和臨界距離法的預測結果，相應的誤差見表5。

表5 N1曲軸的預測誤差Tab.5 Prediction errors of crankshaft N1

由表5可知,當基于第一強度理論時，預測結果會導致誤差較大(有時超過10%)；而基于第三和第四強度理論時，與臨界點法相比，臨界線法的預測精度更高(誤差小于5%)，更適合用于曲軸的疲勞研究。

前期研究[15]中，筆者基于第三、第四這兩種強度理論與臨界距離法已對某款曲軸的疲勞特性進行了研究，預測結果的結論與本文一致。同時本文中基于第一強度理論的預測結果誤差相對較大，筆者分析認為這是因為該強度理論認為構件的疲勞強度只與最大主應力有關，忽略了剪切應力對構件疲勞強度的影響。前期研究結果[16]表明，曲軸疲勞破壞的形式為剪切型破壞，這種差異導致了預測結果精度的不足。

5 結論

(1)將有限元法和插值法結合應用，在此基礎上分別基于不同的強度理論，對某款曲軸在疲勞極限載荷作用下的應力分布進行擬合，并對材料屬性一致、結構不同的另一款曲軸的疲勞極限載荷進行預測研究，預測結果表明，當所基于的強度理論和臨界距離法不同時，預測結果也會不同。

(2)對預測結果進行試驗驗證，結果表明，基于第一強度理論的預測結果會導致較大的誤差，而基于第三、第四強度理論的預測結果的精度較高，更適合在實際工程中應用，分析認為是曲軸自身的疲勞破壞的形式所導致的。