飛刀法加工蝸桿面齒輪的理論研究與實踐

李 清 徐偉俊 張 猛 楊海艦 劉云進

1.天津大學青島海洋工程研究院，青島,2660002.天津大學機械工程學院，天津，300350 3.寧波海伯集團有限公司，寧波,315800

0 引言

相比傳統齒輪，面齒輪傳動具有重合度更高、結構更加緊湊、傳動噪聲更小、承載能力更強的優點，已廣泛應用于機器人、汽車及航空等領域[1-2]。面齒輪按照其齒頂線的不同可分為直齒面齒輪、斜齒面齒輪和曲齒面齒輪三種類型。直齒面齒輪和斜齒面齒輪因其齒形相對簡單，已有許多研究人員提出了可行的加工方法。STADTFELD[3]采用高階滾比多項式法使直廓刀具模擬出近似的漸開線產形輪齒廓，利用Coniflex 直廓刀具在Phoenix 機床上進行了直齒面齒輪的粗切和磨削實驗。王延忠等[4]提出了面齒輪的插齒刀齒形設計方法。趙寧等[5]提出了利用球形滾刀滾切加工面齒輪的加工方法。為實現硬齒面面齒輪的加工，王曉軍等[6]研究了磨齒加工過程中的蝸桿砂輪設計方法及磨損蝸桿砂輪的修正方法。董皓等[7]采用增材制造的方法加工斜齒面齒輪，為斜齒面齒輪的快速成形加工提供了依據。

本文所涉及的偏置圓柱蝸桿傳動是由圓柱蝸桿與蝸桿面齒輪(是曲齒面齒輪的一種)構成的一類傳遞交錯軸運動的傳動，蝸桿面齒輪是由阿基米德蝸桿依據齒輪嚙合原理包絡而成的，相比其他類型的面齒輪，優點更加突出，傳動更加平穩[8]。但蝸桿面齒輪的缺點是齒面比較復雜，上述加工直齒或斜齒面齒輪的方法都無法運用到該類面齒輪的加工中。目前加工該類面齒輪的方法有三種：①蝸桿滾刀滾切加工[9-11]；②Freeform自由曲面加工[12]；③壓鑄加工[1]。三種方法各有弊端：對于蝸桿滾刀滾切加工，一方面滾刀制造和刃磨比較復雜，另一方面，在加工小模數面齒輪時，與之相匹配的蝸桿滾刀十分纖小，其強度無法滿足加工要求；對于Freeform自由曲面加工，加工所需機床設備的成本高昂，最重要的是加工效率低，僅適用于單件小批量生產；對于壓鑄加工，其加工精度較低，加工出的齒輪僅適用于低速輕載的場合，無法發揮出蝸桿面齒輪的優勢[13-15]。

本文以四軸數控鏜床為加工平臺，提出了一種蝸桿面齒輪加工的新方法，基于齒面共軛原理，利用阿基米德蝸桿軸截面作為飛刀的刃形，使得所提方法能夠快速精確地完成面齒輪齒面的加工，并可分為如下兩個階段：①飛刀做螺旋運動模擬出蝸桿，形成加工蝸桿面齒輪的假想產形輪；②該假想產形輪在齒坯上做滾切運動完成分度加工。本文的主要任務是整合上述加工過程，求解飛刀的軌跡，編制蝸桿面齒輪的加工程序，并完成加工。

1 偏置圓柱蝸桿傳動的理論建模

1.1 傳動空間坐標系

為得到蝸桿面齒輪傳動的理論模型，建立了偏置圓柱蝸桿傳動的空間坐標系，各坐標系的空間位置關系如圖1所示。

圖1 偏置圓柱蝸桿傳動空間坐標系Fig.1 Space coordinate systems of the offset cylindrical worm drive

圖1中，坐標系{S1}、{S2}分別與蝸桿和面齒輪固連；{S3}、{Sm}為空間固定坐標系，分別表示蝸桿和面齒輪的初始位置；其他坐標系{S4}、{S5}為輔助坐標系。i、j、k為坐標軸的單位矢量。從坐標系{S1}到{S2}的變換矩陣為

M21=M2m·Mm5·M54·M43·M31=

(1)

式中，M31為坐標系{S1}到{S3}的變換矩陣，其他類同；φ1、φ2分別為蝸桿及面齒輪的轉角；A、H、L為安裝參數，分別表示各坐標系原點間的距離。

1.2 嚙合點處相對速度

為了運用齒輪嚙合原理求出面齒輪的齒面方程，需先求出嚙合點的單位法線矢量及兩齒面的相對速度。文獻[15]已給出了阿基米德蝸桿的齒面方程及齒面的單位法線矢量，以右旋蝸桿為例，其輪齒兩側面分別記為Ⅰ和Ⅱ，齒面方程可分別表示為

(2)

(3)

右旋蝸桿兩側齒面的單位法線矢量可分別表示為

(4)

(5)

k=1/(p2+u2)0.5

嚙合點處兩齒面的相對速度可表示為[16]

v(1)=[(ω1-ω2)×r]-(β×ω2)

(6)

ω1=ω1k1

(7)

(8)

i12=ω1/ω2=φ1/φ2

β=Ai3-Hj3-Lk1= (Acosφ1-Hsinφ1)i1-(Asinφ1+Hcosφ1)j1-Lk1

(9)

式中，r為嚙合點在坐標系{S1}中的位置矢量;ω1、ω2分別為蝸桿和面齒輪的角速度；i12為傳動比；β為坐標系{S2}的坐標原點O2在坐標系{S1}中的位置矢量。

將式(2) 、式(7)～式(9)代入式(6)中，便可求出嚙合點處的相對速度：

(10)

當σ=σ1=-usinα+(rptanα-0.5sp)+pθ時，v(1)為蝸桿齒側Ⅰ處嚙合點的相對速度；當σ=σ2=usinα-(rptanα-0.5sp)+pθ時，v(1)為蝸桿齒側Ⅱ處嚙合點的相對速度。

1.3 面齒輪理論模型

蝸桿與面齒輪嚙合時兩齒面不能相互脫離或是嵌入，這就要求相互接觸的兩齒面在接觸點處有公共的切平面和法向量，因此，兩齒面接觸點的相對速度方向必須與公共法向量方向垂直，即兩齒面必須滿足如下嚙合方程[15]：

n·v=0

(11)

將式(4)、式(10)代入式(11)中，便可得到蝸桿齒側Ⅰ與面齒輪的嚙合方程：

(12)

同理，將式(5)、式(10)代入式(11)中，可得到蝸桿齒側Ⅱ與面齒輪的嚙合方程：

(13)

面齒輪由蝸桿包絡而成，其齒面上的點不僅要滿足嚙合方程，還需要與蝸桿上的對應點相重合。蝸桿齒面對應點在坐標系{S2}中可表示為

(14)

依據嚙合原理，面齒輪的兩齒面可分別表示為

(15)

(16)

選取適當的參數可得到偏置圓柱蝸桿傳動的CAD模型(圖2)，偏置圓柱蝸桿傳動的參數見表2。

圖2 偏置圓柱蝸桿傳動CAD模型Fig.2 The CAD model of offset cylindrical worm drive

基本參數數值蝸桿頭數z13面齒輪齒數z248A(mm)32H(mm)21.94L(mm)62壓力角α (°)20傳動比i1216模數m(mm)1.5蝸桿直徑系數q14.89蝸桿導程Px(mm)13.92面齒輪小端半徑R1(mm)35面齒輪大端半徑R2(mm)48

2 加工機理分析

根據文獻[1]，蝸桿面齒輪可由與之相匹配的蝸桿滾刀加工而成(圖3)，而蝸桿可由車刀車削產生。為尋求一種利用簡單刀具快速加工該類型面齒輪的方法，基于共軛原理，將上述兩個過程進行整合，將面齒輪的加工分成兩個階段：第一階段為蝸桿軸截面飛刀做螺旋運動模擬出蝸桿，形成假想產形輪(即仿形階段)；第二階段為飛刀模擬蝸桿滾刀滾切面齒輪(即分度加工階段)，該階段是為了使假想產形輪做展成運動切削整個面齒輪。通過坐標變換，可求解出蝸桿軸截面飛刀加工面齒輪的切觸軌跡線。依據機床的切削運動關系，分解切觸軌跡線，使其轉化為刀具主軸、工件軸及Z軸(進給方向)之間的關聯運動。為了求解刀具的軌跡，建立了圖4所示的坐標系。坐標系{S}與刀具固連，其他坐標系含義與圖1相同。

圖3 蝸桿滾刀滾切加工蝸桿面齒輪示意圖Fig.3 Schematic diagram of cutting worm-face gear by worm hob

圖4 蝸桿面齒輪加工坐標系Fig.4 Machining coordinate systems of worm-face gear

2.1 仿形階段

為產生假想產形輪，需要求解飛刀的刃形及其運動規律，本文根據蝸桿的形成原理，選取蝸桿的軸截面作為飛刀的刃形。阿基米德蝸桿在軸截面上的齒廓為直線，如圖5所示，該直線為阿基米德蝸桿的產形線。

圖5 阿基米德蝸桿軸截面示意圖Fig.5 Schematic diagram of the shaft section of ZA worm

假定坐標系{S}的k軸與蝸桿的軸線重合，i軸穿過蝸桿軸截面齒廓的中心，點M為蝸桿節圓與軸截面齒廓的交點，其坐標可表示為(mq/2，0,πm/4)，則直線齒廓ab上某點在坐標系{S}中的位置矢量可表示為

(17)

k1=tan(π/2+α)

式中，λ為參變量。

同理，直線齒廓cd上某點的位置矢量可表示為

(18)

k2=tan(π/2-α)

仿形階段的目的是模擬出蝸桿螺旋齒面(假想產形輪)，因此，該過程中面齒輪齒坯靜止不動，飛刀做螺旋運動，刀具沿k軸負方向的進給運動需要與繞k軸的旋轉運動保持對應的比例關系。圖6給出了阿基米德蝸桿螺旋線展開角γ與導程Px之間的對應關系，由此得出刀具的軸向位移量與轉角之間的關系：

(19)

式中，Fs為刀具的軸向位移量；φs1為刀具在仿形加工階段時的轉角。

圖6 蝸桿螺旋線展開角與導程的關系Fig.6 Relationship between the expansion angle and lead of thread line

刀具在坐標系{S1}中的軌跡可表示為

(20)

式中，M為坐標系{S}到{S1}的變換矩陣；rS為刀具齒廓在坐標系{S}中的坐標。

將式(17)、式(19)代入式(20)中，可得到齒廓ab在坐標系{S1}中的軌跡方程：

(21)

同理，將式(18)、式(19)代入式(20)中，可得到齒廓cd在坐標系{S1}中的軌跡方程：

(22)

將表1中的參數代入式(21)、式(22)中，可以得到坐標系{S1}中刀具的軌跡圖像,見圖7a，其中vf為刀具進給速度，該軌跡即飛刀模擬出的產形輪。仿形階段刀具走刀一次切削后的面齒輪齒廓見圖7b。

(a)刀具軌跡

(b)面齒輪齒廓圖7 仿形階段Fig.7 Imitation stage

2.2 分度加工階段

在仿形階段，飛刀模擬出了產形輪，當刀具的軌跡穿過面齒輪齒坯時，切出的齒形只能滿足在某一特定時刻蝸桿與面齒輪的嚙合，要想加工出完整的面齒輪齒面，保證蝸桿與面齒輪連續的嚙合傳動，就需要產形輪做展成運動來完成，上述過程稱之為分度加工過程。分度加工過程是為了模擬蝸桿滾刀滾切加工面齒輪，過程中飛刀和面齒輪齒坯分別做旋轉運動，刀具主軸與工件軸的轉角則需滿足如下比例關系:

φs2=i12φb

(23)

式中，φb為面齒輪齒坯繞其軸線的轉角；φs2為刀具在分度加工階段繞其軸線的轉角。

假定面齒輪齒坯靜止不動，根據相對運動關系，刀具在繞自身軸線旋轉的同時，還要繞面齒輪齒坯的軸線做旋轉運動，刀具齒廓ab在坐標系{S2}中的運動軌跡可表示為

(24)

λ1=k1(λ-πm/4)+mq/2

同理，刀具齒廓cd的運動軌跡可以表示為

(25)

λ2=k2(λ+πm/4)+mq/2

由式(24)、式(25)可知，刀具齒廓在坐標系{S2}中的軌跡方程包含3個獨立變量：λ、φs1、φb，無法直接獲得刀具的軌跡，因此需要選定一系列φb的值來構建刀具的三維軌跡。當φb取值為0°，20°，40°，…，360°時，得到的刀具軌跡如圖8所示。該軌跡實質為假想產形輪對面齒輪齒坯的包絡線。

圖8 分度加工階段刀具軌跡Fig.8 Trajectory of cutter in rolling cutting stage

3 仿真加工

3.1 仿真加工環境

利用VERICUT仿真加工軟件來驗證所提出的蝸桿面齒輪新型加工方法的有效性和可行性。由于該加工方法中的兩個階段分別是聯動的，因此選擇進行仿真加工的機床必須能夠實現工件軸與刀具主軸之間、機床坐標系Z軸(與km軸方向一致)與刀具主軸之間的精確聯動。該新型面齒輪加工方法的目的是通過上述聯動作用來完成面齒輪的加工。仿真加工所用的數控機床如圖9所示，該機床為四軸數控鏜床，可滿足上述加工要求。

圖9 VERICUT仿真加工環境Fig.9 Simulation machining environment in VERICUT

仿真加工刀具為直廓飛刀，刀具刃形為阿基米德蝸桿軸截面齒廓,如圖10所示，其具體參數與圖5一致。仿真加工時的刀具不考慮前角、后角及刃傾角等參數的取值，也不考慮安裝誤差及受力變形的影響。

圖10 仿真加工刀具示意圖Fig.10 Schematic diagram of the cutter in simulation process

3.2 仿真加工程序

由刀具軌跡(圖8)可以看出，刀路是十分復雜的，仿形階段飛刀軌跡形成假想產形輪，分度加工階段完成包絡運動，來進行面齒輪圓周方向的加工。為了在數控機床上完成上述過程，必須將兩個過程進行整合。刀具主軸與工件軸按固定傳動比進行轉動，刀具先進行滾切運動，采用刀具軸向進給的方式來加工，飛刀滾切面齒輪毛坯一周后，沿刀具軸向進給的同時進行螺旋進給，如此循環，直至切削整個面齒輪齒長。該方法的加工程序可由兩個循環來完成。取分度加工階段齒坯轉角φb=0.4°，仿形階段刀具軸向進給量Fs=0.01 mm。該方法仿形階段中的軸向進給量應足夠小，以便獲得表面粗糙度值較小的齒面。蝸桿面齒輪的具體加工流程見圖11，其中I1為面輪轉角角度值計數，I2為刀具軸向進給次數計數。

圖11 蝸桿面齒輪加工流程Fig.11 Machining process of worm-face gear

在VERICUT仿真加工時，為了模擬刀具主軸與工件軸的聯動，需要對機床模型稍作修改，刪除機床主軸，并添加刀具主軸，通過對刀具主軸及工件軸的角度控制完成分度加工運動，通過對刀具主軸及Z軸的聯動控制實現仿形運動，進而完成進給加工。由于涉及循環和聯動控制，因此選用宏程序，具體加工程序如下：

N1 %0001 ∥主程序

N2CGTECH_MACRO “BroaChModeOnOff” “” 1 ∥開啟拉削模式

N3 T03 M06 ∥選擇03號刀具

N4 G90 G01 G54 Y21.94 X32 Z76 ∥調整刀具到加工位置

N5 A0 C0 ∥刀具主軸與工件軸初始化

N6 #1=-0.4 ∥工件軸轉角賦初值

N7 #2=6.4 ∥刀具主軸轉角賦初值

N8 #3=0.4 ∥圓周方法轉角計數賦初值

N9 #4=-0.01 ∥進給量

N10 #5=1 ∥進給次數計數賦初值

N11 WHILE #5 LE 120 ∥仿形加工循環120次

N12 M98 P0002 ∥分度加工

N13 #1=-0.4 ∥工件軸轉角賦初值

N14 #2=6.4 ∥刀具主軸轉角賦初值

N15 #3=0 ∥圓周方法轉角計數初始化

N16 #5=#5+1 ∥刀具軸向進給次數計數(即I2)

N17 #4=#4-0.01 ∥進給量

N18 G91 A[#4*360/13.92] Z[#4] ∥螺旋進給

N19 ENDW

N20 M30 ∥主程序結束

N21 %0002 ∥子程序

N22 WHILE #3 LE 360 ∥分度加工循環

N23 G91 C[#1] A[#2] ∥分度加工

N24 #3=#3+0.4 ∥面輪轉角角度值計數(即I1)

N25 ENDW

N26 M99 ∥子程序結束

3.4 仿真加工結果

(a)開始

(b)中間

(c)結束圖12 VERICUT仿真加工蝸桿面齒輪Fig.12 Simulation machining of worm-face gear in VERICUT

(a)凸面模型對比 (b)凹面模型對比圖13 切削模型與理論模型誤差比較Fig.13 Error comparison of cutting and theoretical model

通過仿真可快速并精確地完成蝸桿面齒輪的加工，加工過程如圖12所示。將面齒輪理論模型導入VERICUT并與切削模型進行比較，得到的結果見圖13,結果表明：當刀具軸向進給量取0.01 mm時，最大過切量為0.09 mm，最大殘余量為0.12 mm，兩者均在誤差允許范圍內。該誤差與仿真過程中進給量的取值有關，在實際加工時，選用具有電子齒輪箱功能的數控機床可實現各軸之間的精確聯動，從而消除此類誤差。

4 加工實驗

為進一步驗證所提加工方法的可行性，在四軸CNC數控機床上進行了加工實驗，如圖14所示。加工刀具見圖14b，為了使刀具結構簡單、易于制造，用單齒飛刀代替仿真時使用的三齒飛刀(圖10)。在加工過程中，使用單齒飛刀按上述方法進行加工，每完成一個加工循環，飛刀轉動120°，并繼續進行加工，這樣三個循環即可完成整個面齒輪的加工。

(a)加工現場 (b)加工刀具

在DAISY三坐標測量機上對面齒輪試件進行檢測，如圖15所示，測得了面齒輪輪齒凸面和凹面離散點的坐標值，并經過坐標變換后與理論坐標值進行了對比，得到的齒面法向偏差見圖16，可以看出，最大誤差出現在輪齒的凹面，為99.2 μm。該誤差是由刀具的制造誤差及切削過程中飛刀的變形所造成的。

圖16 蝸桿面齒輪齒面法向偏差示意圖(μm)Fig.16 Schematic diagram of normal deviation of the tooth surface for worm-face gear(μm)

5 結論

(1)本文提出了一種全新的蝸桿面齒輪加工方法，該方法可利用蝸桿軸截面作為刀具的刃形，快速并精確地完成面齒輪的加工，特別是在加工小模數蝸桿面齒輪時，該方法具有重要的參考價值。

(2)分析了蝸桿面齒輪加工所包含的兩個加工階段，分別求解了兩個加工階段中刀具的軌跡，并根據機床的運動關系將兩個階段進行整合，轉化為刀具主軸、工件軸及Z軸的關聯運動。

(3)對所提出的方法進行了加工實驗并對加工誤差進行了檢測，齒面最大誤差為99.2 μm，檢測結果表明該飛刀加工法是可行的。

飛刀加工法所需的機床結構較為簡單，可對三軸數控車床稍加改裝變為專用機床，這對該類面齒輪的廣泛應用非常有利。