不確定參數攝動的高超聲速飛行器滑模控制

李興格，李 剛，熊思宇

（1. 空軍工程大學研究生院，西安，710051；2. 空軍工程大學防空反導學院，西安，710051）

0 引 言

高超聲速飛行器（Hypersonic Vehicle，HV）主要是指以吸氣式推進系統為動力、飛行高度在20～100 km的臨近空間、飛行馬赫數大于5 的一類飛行器。由于這類飛行器大量采用柔性材料，發動機/機體采用一體化設計以及細長的氣動外形布局，導致飛行器存在強烈的耦合現象[1～3]。

臨近空間內大氣環境不穩定，飛行條件復雜多變，飛行器參數靈敏度要求高，需建立精確的氣動系數模型和動力學模型[4]。由于HV 飛行中的各種力學過程無法完全精確地體現在高超聲速飛行器的控制模型中，無法預測的擾動難以避免，飛行中的氣動系數也會受到飛行器攻角、速度、大氣密度和舵偏角影響，使得高超聲速飛行器的穩定控制較困難[5～7]。而在存在干擾條件和不確定性的條件下，系統的穩定跟蹤控制顯得十分重要。同時，為減少燃料消耗以及HV 對姿態的強敏感性，飛行過程中應盡量避免橫向機動，因而，對其縱向運動進行研究有其合理性和實際意義[8]。

HV 的發展起步比較早，經過五十多年的完善與發展，對于飛行器的控制方法日趨成熟。滑模控制方法通過一些相應的控制策略對系統的狀態進行控制以及對不確定參數進行估計，已經被應用于諸多領域[9]。 文獻[10]中的高超聲速飛行器的控制律應用了滑模控制的方法，并且在魯棒控制器和觀測器的設計中應用了滑模變結構控制的方法。在實際應用中，滑模控制的一個主要缺點就是抖振問題。文獻[11]通過在滑模面附近設計邊界層，并且將飽和函數代替符號函數，這種方法在一定程度上消除了抖振，但是比較保守。文獻[12]通過設計普通滑模面和積分滑模面的多模切換，利用積分的方法解決抖振問題，但是切換比較復雜。吳忠強[13]利用了高階滑模時間積分解決抖振問題，取得了一定的效果。胡強暉[14]等在滑模抖振抑制問題上，設計了變增益滑模控制器，將狀態的差值作為滑模增益，當狀態跟蹤誤差為零時，滑模增益為零也即消除了抖振。

上述文獻的研究主要集中在滑模控制方法與解決抖振問題，很少考慮HV 在高超聲速飛行中速度變化引起的不確定性參數攝動的變化問題，這些參數的不確定性極有可能導致控制器突然失穩，控制方法失效。目前高超聲速飛行器研究中，對于氣動系數模型一般采用簡化形式[9,11]，即只考慮攻角的影響，通過系數辨識的方法得到氣動系數模型。然而由于該模型沒有考慮到飛行過程中的速度變化帶來的氣動系數的影響，并不能真正反映高超聲速飛行器的氣動特性。

本文考慮利用滑模變結構控制方法建立控制器。通過對氣動系數數據進行分析，利用非線性最小二乘算法對改進的氣動系數模型對高超聲速下的氣動系數進行參數辨識，得到高超聲速飛行中準確的氣動系數，應用于控制器中。引入模糊函數建立函數逼近器對控制律中影響系統穩定控制的大氣密度、飛行器參考面積等不確定參數集進行逼近，提高了控制器的控制精度，利用滑模變結構控制方法，也提高了控制器的魯棒性能。通過仿真驗證了控制方法的有效性。

1 運動學模型

常規飛行狀態下，高超聲速飛行器運動狀態可分解為互不耦合的縱向運動和側向運動。考慮高超聲速飛行器的縱向運動，建立非線性動態微分方程模型為

式中 V，h，α，γ，Q 分別為剛體狀態下HV 的速度、高度、攻角、航跡角和俯仰角速度；μ，Re分別為地球的萬有引力常數和地球的平均半徑；m 為高超聲速飛行器質量；Iyy為高超聲速飛行器轉動慣量；myy為俯仰力矩；L 為升力；D 為阻力；T 為推力。

采用發動機模型為超聲速燃燒沖壓發動機，利用二階系統進行發動機建模，簡化的發動機模型可以描述為

式中 β，βc分別為發動機節流閥的實際值和指令值；ξ，ωn分別為二階系統模態的阻尼和自然振動頻率。

T，D，L，myy等變量均是系統狀態和輸入的復雜的代數函數，其擬合形式可以表示為

式中 δe為升降舵偏角；ρ 為大氣密度；S 為飛行器的參考面積；c 為平均氣動弦長；CD，CL，CT分別為阻力系數、升力系數和推力系數； CM(α )為攻角決定的力矩系數； CM( Q )為俯仰角速率決定的力矩系數； CM(δe)為舵偏角決定的力矩系數。各參數具體取值見文獻[11]。

系統的輸入為節流閥指令值βc和升降舵偏角δe。

為了對控制器的抗干擾性與魯棒性進行驗證，在模型參數中加入不確定性：

式（4）中為驗證控制器對不確定性參數?m，? I，?S，? c，?ρ， ?ce的魯棒性能，仿真過程中引起的攝動按最大值處理，即不確定性參數的攝動量峰值為。參數不確定性攝動均為有界量，且滿足均為有界正實 數， 且

2 輸入輸出線性化

引理1[15,16]：系統在輸入/輸出點完全線性化的充分必要條件是總相對階數和系統階數相等。如果總相對階數小于系統階數，則非線性系統只能部分線性化。

根據引理1，多輸入多輸出（Multitle Input and Multitle Output，MIMO）系統的反饋線性化是對輸出通道的每一輸出求微分，直至出現控制輸入。對HV輸出通道的速度V 和高度h 分別進行微分。在V 進行3次微分和h 進行4 次微分后，微分式中出現控制輸入量βc和δe。由于系統的相對階數為7，HV 縱向模型的系統階數為7，系統不存在內動態，HV 可以實現精確輸入/輸出點完全線性化，即：

其中，

式（5）～（7）中，x=[Vhαγ Q]T, f1(x)，f2(x) ，f3(x) 分別表示模型式（1）中的表達式。

線性化后的系統表達式為

式中

3 控制器設計

HV 的控制目標是通過對于輸入βc和δe的不斷調整，實現飛行器速度V 和高度h 對參考指令的穩定跟蹤。根據精確線性化后的模型可知，速度通道與高度通道相互獨立。通常在形式上先將HV 模型分解成速度子系統和高度子系統，對控制律分別進行設計。

3.1 速度控制律設計

定義跟蹤誤差 V~ =V ?Vref，其中，Vref為速度參考值。速度通道的滑模面設計如下：

式中 λV為正常數。當系統處于滑模面，即Vσ =0 時，跟蹤誤差V~將會以2/λV的速率指數趨近于零[17]。

將式（11）進行微分：

設計基于指數趨近律的滑模控制律為

式中 kV，λV為正常數。

將式（13）帶入式（12）得到：

式中

下面對基于指數趨近律的滑模控制律，即式（14）進行穩定性分析。

定理1：當t →∞時，系統能夠在滑模控制律式（14）的作用下到達滑模面式（11），保證滑模面漸進穩定，即使滑模態存在條件 σVσ ˙V＜0 成立。

證明：取Lyapunov 函數LV=，將LV對時間求導，得：

當t →∞時， σV→ 0 ，系統漸進穩定，又因為kV＞0, λV＞0，則 L˙V＜0，即 σVσ˙V＜0，滑模面也是漸進穩定的，證畢。

3.2 高度控制律設計

定義跟蹤誤差h~=h-href，設計高度通道的滑模面為

同理，λh為正常數，當hσ =0 時，跟蹤誤差h~將會以3/λh的速率指數趨近于零[17]。

與速度通道同理，將式（16）微分后，設計高度通道的滑模控制律：

將速度通道和高度通道寫成矩陣形式：

式中

HV 控制系統的控制律為

3.3 模糊函數逼近器設計

為保證高超聲速飛行器系統的閉環穩定性，必須找到參數不確定性組合。由于參數均反映在增益矩陣B中，因此，將增益矩陣B 寫成一個定基矩陣Y 與一個不確定參數矩陣A 的乘積，即：

定義1：在歐式空間 R2×2中，設：

則， B = Y ×A。其中，矩陣Y 內的各元素中，各參數都是固定不變的，如式（20）所示。矩陣A 內的元素中，含有不確定性參數，如式（21）所示。

下一步，將問題轉化為對矩陣A 內非確定參數進行估計，即對w 和s 進行逼近。根據模糊函數能以任意精度逼近任一連續函數的性質，采用模糊函數作為函數逼近器。

為保證速率，降低逼近誤差，選擇模糊逼近器輸入輸出結構為 3-1，對不確定參數 w 進行逼近。為模糊函數輸入向量。為模糊基函數的權值，模糊函數的輸出值為為模糊基函數。μFil為隸屬度函數，常見的隸屬度函數有高斯型、三角形等多種類型，假定 μFil在自適應調整過程中保持不變。模糊函數輸入輸出形式如下：

定義模糊函數逼近誤差w~= w??w，若采用梯度下降法，則設計函數逼近器的目標是要保證通過調整模糊基函數的權值θ1，保證式（24）達到最小。

即：

然而，當誤差w~非常小的時候，采用式（25）的梯度下降法θ1調整速度太慢，因此采用文獻[18]的快速終端滑模算法設計誤差迭代指標：

式中 η1,η2＞0，p,q(p＞q)為奇整數，則p+q 為偶數。因此式（26）為正定函數，相應的梯度學習算法用式（27）表示：

定理2：若模糊函數逼近器（22）的參數矢量θ1按照式（28）的方法來逼近未知連續函數，所得的函數逼近器是李雅普諾夫穩定的，且參數矢量θ1將在系統要求的有限時間內逼近最優參數矢量θ1*。

式中

和文獻[20]設計的控制器相比，本文采用的模糊函數逼近器使用終端滑模算法，通過與式（28）比較，權值學習更新速率比文獻[20]中采用的方法有很大提高，并證明了算法的穩定性。

對于不確定參數s，依然采用3-1 結構的模糊函數逼近器，為輸入向量，為模糊基函數的權值，模糊函數的輸出值為s?；ξ ( x2)為模糊基函數。μFjv為隸屬度函數，假定 μFjv在自適應調整過程中保持不變。輸入輸出形式如下：

許多文獻[19,20]未考慮不確定性參數攝動對剛體狀態的影響，本文設計的參數辨識器，充分考慮到飛行過程中的不確定性攝動的影響，因此控制難度更大。

3.4 氣動模型參數辨識器設計

HV 在高超聲速飛行中，外界擾動顯著，傳統方法只考慮飛行器角度變化對氣動系數帶來的影響，不能真實反映HV 的真實氣動特性，在控制中會帶來很大的誤差，甚至導致控制器失穩。根據文獻[21]給出的CAV-L 的氣動系數數據和飛行器基本參數，建立HV的氣動系數模型。

根據阻力系數CD與攻角α 和速度V 之間的關系，選擇阻力系數模型如下：

根據升力系數CL與攻角α 和速度V 之間的關系，選擇升力系數模型如下：

對于建立的非線性氣動系數模型，采用非線性最小二乘法對式（36）和式（37）中的參數進行辨識。假設，且是在[a,b]上獨立且無關的函數，其中pi是未知參數，f(x)可以近似為

阻力系數模型的一階導數為

升力系數模型的一階導數為

整個控制系統的結構包括基于指數趨近律的滑模控制律、改進氣動參數模型和基于模糊函數的不確定參數逼近器，具體結構如圖1 所示。

圖1 控制系統結構 Fig.1 Structure Diagram of Control System

4 仿真驗證

對控制器性能進行驗證，以HV 縱向模型為仿真對象。HV 的初始速度V=2380 m/s，初始高度h=27 000 m，攻角為0°，俯仰率為0（°）/s。速度與高度參考輸入均由發動機阻尼比為0.7 rad/s 和自然頻率為5 rad/s 的二階參考模型給出。仿真中，速度階躍 V? =2380 m/s，高度階躍 h? =100 m。為驗證控制器的魯棒性，在模型中加入攝動，仿真步長為0.01 s。滑模變結構控制器參數選擇為kV=30，kh=30。在未知變量w 和s 中，輸入變量定義5 個模糊集合，記為BC、BE、PF、NB 和CM，選取的隸屬度函數為高斯基函數，模糊函數逼近器參數選擇列于表1、表2。

表1 變量w 和s 的模糊函數逼近器參數設置 Tab.1 Parameter Setting of Fuzzy Function Approximator for Variable w and s

表2 輸入變量的隸屬度函數 Tab.2 Membership Function of Input Variables

4.1 情形一：據文獻[21]中數據對改進的氣動系數模型進行非線性最小二乘辨識結果

據文獻[21]中數據，對改進的氣動系數模型進行非線性最小二乘辨識，其中CL和CD與攻角α 和速度V 的關系如圖2～ 5 所示。辨識結果如表3、表4 所示。

表3 升力系數模型辨識結果 Tab.3 Lift Coefficient Model Identification Results

表4 阻力系數模型辨識結果 Tab.4 Resistance Coefficient Model Identification Results

圖2 升力系數與攻角的關系（情形一） Fig.2 Relationship Between Lift Coefficient and Angle of Attack of Case 1

圖3 升力系數與速度的關系（情形一） Fig.3 Relationship Between Lift Coefficient and Speed of Case 1

圖4 阻力系數與攻角的關系（情形一） Fig.4 Relationship Between Drag Coefficient and Attack Angle of Case 1

圖5 阻力系數與速度的關系（情形一） Fig.5 Relationship Between Drag Coefficient and Speed of Case 1

4.2 情形二：據文獻[23]提出的滑模控制律控制方法，采用常用的氣動系數模型的仿真結果

據文獻[23]提出的滑模控制律控制方法，采用常用的氣動系數模型，對不確定參數進行估計和逼近。假設仿真結果如圖6、圖7 所示。

圖6 速度指令跟蹤效果（情形二） Fig.6 Speed Instruction Tracking Effect of Case 2

圖7 高度指令跟蹤效果（情形二） Fig.7 Altitude Command Tracking Effect of Case 2

4.3 情形三：對各個不確定性參數加入不同攝動量的仿真結果

為檢驗控制器的魯棒性能，對各個不確定性參數加入不同攝動量，其中m 的攝動量為±5%，I 的攝動量為±25%，其他不確定性參數S ,, ρ, ce, CMα的攝動量分別為±10%，±10%，±5%，±10%，±5%，仿真結果如圖8～18 所示。

圖8 速度指令跟蹤效果（情形三） Fig.8 Speed Instruction Tracking Effect of Case 3

圖9 高度指令跟蹤效果（情形三） Fig.9 Speed Instruction Tracking Effect of Case 3

圖10 節流閥動態曲線（情形三） Fig.10 Dynamic Curve of Throttle Valve of Case 3

圖11 升降舵偏角動態曲線（情形三） Fig.11 Dynamic Curve of Elevator of Deflection Case 3

圖12 攻角動態曲線（情形三） Fig.12 Dynamic Curve of Attack Angle of Case 3

圖13 俯仰角速率動態曲線（情形三） Fig.13 Dynamic Curve of Pitch Rate of Case 3

圖14 航跡角動態曲線（情形三） Fig.14 Dynamic Curve of Track Angle of Case 3

圖15 滑模面變化曲線（情形三） Fig.15 Curve of Sliding Surface of Case 3

圖16 Vf 的實際值與估計值（情形三） Fig.16 Actual Value and Estimated value of Vf of Case 3

圖17 hf 的實際值與估計值（情形三） Fig.17 Actual value and estimated value of hf of Case 3

圖18 w 和s 的估計值（情形三） Fig.18 Estimated Values of w and s of Case 3

從以上仿真結果可知，單純采用文獻[23]中的方法，當 fV和 fh產生少量攝動，速度V 和高度h 均不能對指令正確穩定跟蹤（見圖6、圖7），跟蹤誤差V~和h~趨近發散。

而采用本文提出的方法時，速度V 和高度h 實現穩定跟蹤，跟蹤誤差V~和h~趨于收斂（見圖8、圖9）。設計的基于改進氣動系數模型，通過非線性最小二乘辨識，實現對氣動系數的精確估計，進而能實現對 fV和fh的實時估計（見圖16、圖17）。對不確定性參數加入攝動量后，模糊函數逼近器依然能夠進行有效的參數辨識，并快速收斂（見圖18）。節流閥cβ 、升降舵偏角eδ 以及攻角α也能夠在約束范圍內快速穩定（見圖10～12）。俯仰角速率q、航跡角γ 以及滑模面S 的變化能快速收斂與穩定。通過與情形二對比，以改進的氣動系數模型和模糊函數逼近器為基礎的滑模控制器對于不確定參數的控制具有優越的性能。它不僅對參數不確定性具有自適應性，而且保持滑模控制的魯棒性和快速性。

5 結 語

針對系統內不確定性參數攝動的高超聲速飛行器縱向模型，考慮到傳統氣動系數簡化模型無法真實反映飛行器的氣動特性和高超聲速下某些不確定性參數攝動的問題，提出了一種改進的氣動系數模型, 利用改進模型得到準確的氣動系數參數，設計了一種基于某些不確定參數的模糊函數逼近的高超聲速飛行器滑模控制器。應用模糊函數的強大函數逼近能力對不確定參數進行逼近，并與滑模變結構控制結合，提高了系統的魯棒性，并實現了對系統指令的穩定跟蹤控制。仿真結果充分表明，改進氣動系數模型和以模糊函數逼近器為基礎的滑模控制器具有優越的性能。根據高超聲速飛行器非線性和強耦合和不確定的特點，本文設計的控制器可以滿足其控制要求。