不用韋達定理用拋物線的參數方程設點簡解一類拋物線題

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

題1 (2019年高考北京卷理科第18題)已知拋物線C:x2=-2py經過點(2,-1).

(1)求拋物線C的方程及其準線方程；

(2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N，直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.

解(1)由拋物線C:x2=-2py經過點(2,-1)，可得22=-2p·(-1)，解得p=2，所以拋物線C的方程是x2=-4y，其準線方程是y=1.

x2+4kx-4=0 ①.

還可得2s,2t是關于x的一元二次方程①的兩個根，所以2s+2t=-4k,2s·2t=-4，即

s+t=-2k,st=-1 ②.

還可得

所以以線段AB為直徑的圓的方程是

即(x-2k)2+(y+1)2=4k2+4.

令x=0，可得y=-3或1，所以以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點，且這兩個定點的坐標是(0,-3)與(0,1).

若以AB為直徑的圓經過y軸上的定點D(0,n)，則DA⊥DB，即

解得n=-3或1.

所以以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點(0,-3)與(0,1).

注(1)第(2)問兩種解法中均沒用到條件“斜率不為0”，所以把該條件去掉后所得結論仍然成立.事實上，當“直線l的斜率為0”時，可得點M與點A(或點B)重合，其坐標是(-2,-1)；點N與點B(或點A)重合，其坐標是(2,-1)，進而可求得以AB為直徑的圓的方程是x2+(y+1)2=4，它也經過y軸上的兩個定點(0,-3)與(0,1).

(2)第(2)問第一種解法是常規解法(直線與拋物線方程聯立后用韋達定理求解)，第二種解法是不用韋達定理而用拋物線的參數方程設點來求解，運算量要小很多.

題2 (2018年高考北京卷理科第19題)已知拋物線C:y2=2px經過點P(1,2).過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A,B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.

(1)求直線l的斜率的取值范圍；

解法1 (1)由拋物線y2=2px經過點P(1,2),可得4=2p,所以拋物線C的方程為y2=4x.

由題意可知直線l的斜率存在且不為0，因而可設直線l的方程為y=kx+1(k≠0)．

由Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<0或0

又因為直線PA,PB均與y軸相交，所以直線l不過點(1，-2)，從而k≠-3.

所以直線l斜率的取值范圍是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1)

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).

解法2 (1)同解法1，可求得拋物線C的方程為y2=4x，可設直線l的方程為y=kx+1(k≠0).

由Δ=(-4)2-4×k×4>0,解得k<0或0

又因為直線PA,PB均與y軸相交，所以直線l不過點(1,-2),從而k≠-3.

所以直線l斜率的取值范圍是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).

解法3(1)略.

(2)由(1)的答案知可設A(s2,2s),B(t2,2t),再由三點M，N，Q(0，1)共線，可得2st=s+t.

評注(1)解答本題第(1)問時，務必仔細認真，要注意“因為直線PA，PB均與y軸相交，所以直線l不過點(1,-2)，從而k≠-3”.求取值范圍的問題，所求得的范圍不能多也不能少，這就要把題目中的條件(包括隱含條件)用干凈用徹底，有時還需要檢驗.

(3)解法1與解法2都用到了韋達定理，而解法3不用韋達定理而用拋物線的參數方程設點來求解，運算量要小很多.

題3 (2019年北京市豐臺一模)已知拋物線C:y2=2px過點M(2,2)，A,B是拋物線C上不同兩點，且AB∥OM(其中O是坐標原點)，直線AO與BM交于點P，線段AB的中點為Q.

(1)求拋物線C的準線方程；

(2)求證：直線PQ與x軸平行.

題4 (2019年北京市昌平二模)已知拋物線G:y2=2px(p>0)過點M(1,-2)，A,B是拋物線G上異于點M的不同兩點，且以線段AB為直徑的圓恒過點M.

(1)當點A與坐標原點O重合時，求直線MB的方程；

(2)求證：直線AB恒過定點，并求出這個定點的坐標.

解(1)略.

(2)由拋物線G:y2=2px(p>0)過點M(1,-2)，可求得拋物線G:y2=4x，因而可設A(s2,2s),B(t2,2t).

因而直線AB恒過定點，且這個定點的坐標是(5,2).

題5 (2019年北京市東城二模)已知點P(1,2)到拋物線C:y2=2px(p>0)準線的距離為2.

(1)求C的方程及焦點F的坐標；

(2)設點P關于原點O的對稱點為點Q，過點Q作不經過點O的直線與C交于兩點A,B，直線PA,PB分別交x軸于M,N兩點.求|MF|·|NF|的值.

解(1)(過程略)拋物線C的方程為y2=4x，焦點F的坐標為(1,0).

(2)可設A(s2,2s),B(t2,2t)(0

所以|MF|·|NF|=(s+1)(t+1)=2.

(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

(2)求證：A為線段BM的中點.

圖1

圖2

定理如圖2所示，若過點D作拋物線C:y2=2px的兩條切線DP,DQ(P,Q均是切點)及割線l交拋物線C于不同的兩點M,N，再過點M作切線DQ的平行線分別交直線QP,QN于點A,B，則A為線段BM的中點.

證明可設P(2ps2,2ps),Q(2pt2,2pt)(s≠t)，可求得切線DP:x-2sy+2ps2=0,DQ:x-2ty+2pt2=0，進而可求得兩條切線DP,DQ的交點D(2pst,p(s+t)).