2019年上海交通大學自主招生數學試題(部分)及其詳解

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

2019年上海交通大學自主招生數學試題涉及集合、命題、函數、解三角形、平面向量、數列、不等式、立體幾何、平面解析幾何、二項式定理、復數與平面幾何等內容，難度適中.文章還給出了部分試題的出處.

本文中的題目是筆者綜合多位考生的回憶得到的，題目不全.解答由筆者獨立完成.

A. -5 B. -3 C. 3

D. 隨a,b取不同值而取不同值

4.已知復數z滿足|z|=1，且z2-2az+a2-a=0，求負數a的值.

5.若關于x的方程x3-3x2+(m+2)x-m=0的三個根是某個三角形的三邊長，求實數m的取值范圍.

圖1

A.f(x)=2xB.f(x)=x3

13.已知實數a,b滿足4a2-5ab+4b2=19，求a2+b2的最大值.

15.已知a1=7；當n≥2時，an表示7n的末兩位數字之和.求a1+a2+a3+…+a2019.

16.已知銳角△ABC的外接圓的圓心為O，點O到直線BC,CA,AB的距離分別為k,m,n.若BC=a,CA=b,AB=c，則k∶m∶n=( ).

C.sinA∶sinB∶sinCD.cosA∶cosB∶cosC

17.定義平面上的兩點(m,n),(a,b)的折線距離d=|m-a|+|n-b|.若坐標平面上的點P到六個點(-1,2),(3,1),(3,5),(-2,4),(4,4),(6,6)的折線距離之和最小，則點P的坐標為.

18.若集合A={(x,y)|y≥x2},B={(x,y)|x2+(y-a)2≤1}，則A∩B=B的充要條件是( ).

20.請寫出命題“單調函數不是周期函數”的否命題、逆命題、逆否命題.

21.若C是以O為圓心、r為半徑的圓周，兩點P、P*在以O為起點的射線上，并且滿足|OP|·|OP*|=r2，則稱P、P*關于圓周C對稱.那么，雙曲線x2-y2=1上的點P(x,y)關于單位圓周C:x2+y2=1的對稱點P*所滿足的方程是( ).

A.x2-y2=x4+y4B.x2-y2=(x2+y2)2

C.x2-y2=2(x4+y4) D.x2-y2=2(x2+y2)2

22.在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為a1,a2,a3,a4,a5；以D為起點，其余頂點為終點的向量分別為d1,d2,d3,d4,d5.若m,M分別為(ai+aj+ak)·(dr+ds+dt)的最小值與最大值，其中{i,j,k}?{1,2,3,4,5},{r,s,t}?{1,2,3,4,5}，則( ).

A.m=0,M>0 B.m<0,M>0

C.m<0,M=0 D.m<0,M<0

圖2

24.已知a>b>c,a+b+c=0，直線y=-bx與拋物線y=ax2+bx+c交于A,B兩點.若點A,B在x軸上的射影分別為A1,B1，則當a,b,c變化時，|A1B1|的取值范圍是( ).

25.已知集合A?{1,2,3,…,2000}，且集合A中的任意一個元素均不是另一個元素的5倍，求集合A的元素個數的最大值.

26.在與水平地面垂直的墻壁上掛有一幅矩形畫，畫的上、下邊緣分別在觀察者水平視線上方am和bm處.若要使觀察者的視角最大，則觀察者與墻壁的距離是( ).

參考答案

又因為lg(log310)=-lg(lg3)，所以

f(lg(log310))+f(lg(lg3))=5+f(lg(lg3))=8,

f(lg(lg3))=3.

注本題即2007年復旦大學千分考第75題.

2.由題設，可得0logatanθ>0,x

再由0

注本題與2012年卓越聯盟自主招生數學試題第3題實質相同，這道題是：

圖3

綜上所述，可得所求當a=0時，實數a的取值范圍是(-∞,-6)∪(6,+∞).

即a<-6.

即a>6.

因而所求實數a的取值范圍是(-∞,-6)∪(6,+∞).

注本題就是2008年高考上海卷理科第11題.

4.可設z=cosθ+isinθ(0≤θ<2π)，因而方程z2-2az+a2-a=0即

[(cosθ-a)2-sin2θ-a]+2isinθ(cosθ-a)=0，

(cosθ-a)2-sin2θ-a=sinθ(cosθ-a)=0。

進而可得下面的三種情形：

由題設可得它們均是正根，所以0

6.由題設，可得

再由題設，可得

n-m=m=3k(k∈N*).

所以n-m的最小值是3.

7.解法1 由題設及數學歸納法，可證得xn>0(n∈N*)，所以

若xn∈Z，可得3(n-4)/3∈N*，進而可得所求n的最小值是4.

解法2 由題設，可得

x3=(33-2/3)31/3=33-1/3,x3?Z;x4=(33-1/3)31/3=1,x4∈Z.

因而所求n的最小值是4.

8.可得

所以

9.解法1 由均值不等式，可得

把它們相加后，可得

進而可得答案.

當x,y,z均是正數時：

x2+y2sin2θ≥2xysinθ(當且僅當x=ysinθ時取等號),

y2cos2θ+z2≥2yzcosθ(當且僅當ycosθ=z時取等號).

把它們相加，得

x2+y2+z2≥2(xysinθ+yzcosθ)(當且僅當x∶y∶z=sinθ∶1∶cosθ時取等號).

當x,y,z均是負數時，也可得上述結論成立.

所以由三元均值不等式，可得

注本題即2011年華約自主招生試題第9題，與2016年北京大學全國優秀中學生暑期夏令營數學試題第7題也實質相同.

11.A.由凸函數的定義可知，其圖象下凸，進而可得答案.

12.由|z1|=4知，可設z1=4cosθ+4isinθ.

13.解法1由題設，可得

解法2由題設，可得

14.解法1 如圖4所示，設△ABC的內切圓⊙O(其半徑為r)與三邊AB,BC,CA分別切于點D,E,F.由切線長定理，可設AD=AF=u,BD=BE=v,CE=CF=w.

圖4

由海倫公式，可得

所以

解法2 由題設及正弦定理，可得

sinA+sinC=3sinB,

注本題即2010年華約自主招生試題第5題.

15.由7n+4-7n=7n(74-1)=100·24·7n，可得7n+4與7n的末兩位數相同，這里n∈N*，約定71的末兩位數是07即7.

進而可得{an}是周期數列且一個周期是4，還可得a1=7,a2=13,a3=7,a4=1，所以

a1+a2+a3+…+a2019+a2020=505(a1+a2+a3+a4)=505(7+13+7+1)=14140.

又因為a2020=a4=1，所以a1+a2+a3+…+a2019=14139.

16.D.設△ABC的外接圓半徑為R，三邊長分別為a,b,c，外心O到三邊a,b,c的距離分別是k,m,n，可得2S△OAB=R2sin2C=cn=2RnsinC,n=RcosC，…所以k∶m∶n=cosA∶cosB∶cosC.

注對于任意△ABC，相應的結論是k∶m∶n=|cosA|∶|cosB|∶|cosC|.

證明如下：當C是鈍角時，可得

2S△OAB=R2sin(2π-2C)=-R2sin2C

=-2R2sinCcosC=cn=2RncosC,

n=-RcosC=R|cosC|.

進而可得欲證結論成立.

本題即2012年北約自主招生數學試題第4題.

17.(3,4).設點P的坐標為(x,y)，可得點P到題中六個點的折線距離之和

L=(|x+2|+|x+1|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|)+(|y-1|+|y-2|+2|y-4|+|y-5|+|y-6|).

由零點討論法，可得

對于函數

f(x)=|x+2|+|x+1|+2|x-3|+|x-4|+|x-6|,

當且僅當x=3時，f(x)取到最小值.

對于函數

g(y)=|y-1|+|y-2|+2|y-4|+|y-5|+|y-6|,

當且僅當y=4時，g(y)取到最小值.

進而可得答案.

注本題與下面的一道高考題如出一轍：

(2009上海高考理科第13題)某地街道呈現東—西、南—北向的網格狀，相鄰街距都為1.兩街道相交的點稱為格點.若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標系，現有下述格點(-2，2)，(3，1)，(3，4)，(-2，3)，(4，5)，(6，6)為報刊零售點.請確定一個格點(除零售點外)____為發行站，使6個零售點沿街道到發行站之間路程的和最短.(答案：(3,3).)

18.B.通過畫圖可知，題設即B?A，也即圓x2+(y-a)2=1在拋物線y=x2內(拋物線內指含焦點的區域，因而a≥1).

進而可得題設即拋物線y=x2上的任意一點(t,t2)均不在圓x2+(y-a)2=1內，也即t2+(t2-a)2≥1(t∈R),

19.解法1 可先用數學歸納法證得an>0(n∈N*)，因而

解法2 可先用數學歸納法證得an>0(n∈N*)，進而可得題設中的遞推式即

再由an>0(n∈N*)，可得

20.逆命題：若一個函數不是周期函數，則它是單調函數；

否命題：若一個函數不單調，則它是周期函數；

逆否命題：若一個函數是周期函數，則它不是單調函數.

令x=x0t,y=y0t,得

x2-y2=(x2+y2)2.

此即點Pn的軌跡方程.

注本題即2010年復旦大學千分考第140題.

22.D.如圖5所示，線段AD是正六邊形ABCDEF的主對角線.

圖5

在所有的ap·dq(p,q∈{1,2,3,4,5})中，只有a1·d5與a5·d1為正數，且在所有的|ap·dq|(p,q∈{1,2,3,4,5})中，最小的是|a1·d5|與|a5·d1|，所以(ai+aj+ak)·(dr+ds+dt)的展開式的9項之和是負數，所以題中的最大值M<0，進而可得答案是D.

23.C.如圖6所示建立空間直角坐標系B-xyz，其中點C在x軸的正半軸上，點D在坐標平面xOy內.

圖6

可設A(3a,3b,3c)(c>0),C(3d,0,0)(d>0),D(3e,3f,0)，進而可得E(a,b,c),F(a+2d,b,c),G(a+2e,b+2f,c)，再求得平面BCG,CDE,DBF的方程分別是cy-(b+2f)z=0,cfx+c(d-e)y+(be+3df-af-bd)z-3cdf=0，cfx-cey+(be-af-2df)z=0.

25.可得所求答案是

26.B.如圖7所示建立平面直角坐標系xOy，設畫的上、下邊緣分別是點B,A，|OB|=a,|OA|=b，本題即在x軸的正半軸上尋找一點C，使得∠ACB最大.

圖7

如圖7所示，過點A,B作一個圓與x軸相切(切點C在x軸的正半軸上)，則點C即為所求的最大值點(參見圖7，用平面幾何中圓的知識極易獲證此結論).

也可這樣求解(參見圖7)：設點C在x軸的正半軸上，|OC|=x(x>0)，可得

注本題與下面的一道高考題實質相同：

圖8

(1986年全國高考理科第19題)如圖8，在平面直角坐標系中，在y軸的正半軸(坐標原點出外)上給定兩點A、B.試在x軸的正半軸(坐標原點出外)上求點C，使∠ACB取得最大值.