對一道概率統計題命制過程的思考

陳萬壽 龍宇

[摘? ?要]概率統計高考試題設計背景新穎，與現實問題的聯系緊密，主要考查學生解決實際問題的能力.立足高考數學考查背景，主要分析一道概率統計問題的命制過程，并思考如何命制“好”概率統計題以供學生進行練習.

[關鍵詞]概率統計;二項分布;頻率分布直方圖

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）32-0025-02

統計與概率是高中數學的重要內容.概率統計高考試題強調應用性，以實際問題為背景，構建數學模型，突出考查統計與概率的思想和考生的數據處理能力及應用意識.對此，筆者立足以上考查背景，主要分析廣東順德區的一道考前測試題目的命制意圖與命制過程.

一、題目及解答

【題目】在高考結束后，省考試院會根據所有考生的成績劃分出一段線和二段線.同學們就可以結合自己的成績與劃線進行決策——填報高考志愿.作為一個學科的評價，也需要有一個標準進行判斷.以數學學科為例，在一次考試中，將學生的成績由高到低排列，將學生的成績分為一、二、三檔三個層次，前[22%]定為一檔，前[58%]到前[22%]定為二檔，后[42%]定為三檔.在一次全市的模擬考試中，學生數學成績的頻率分布直方圖如圖1：

（1）根據直方圖的信息可知第三檔的分數段為[（0，70）]，試估計第二檔及第一檔的分數段;

（2）在歷年的統計中發現，數學成績為一檔的同學其總分過一段線的概率為[0.8]，數學成績為二檔的同學其總分過一段線的概率為[0.5]，數學成績為三檔的同學其總分過一段線的概率為[0.1]，每位同學是否過一段線相互獨立.在此次模擬考試中，甲、乙、丙三位同學的數學成績分別為[65，94，122].請結合第（1）問中的分數段，估計這三位同學總分上一段線的人數的平均值.

二、題目的考查意圖與引申

1.題目的考查意圖

本題以高考成績為背景，對所有考生而言，背景公平，且在第（2）問中體現出所有學生即使在數學學科上有差異，但都有機會通過高考劃線的一段線，可為正在復習備考的學生提供積極的心理暗示，也增強學生對數學學科應用的認同感.

本題共設計了兩個問題，第（1）問考查學生對頻率分布直方圖的認識以及對統計量“中位數”的認識與理解;第（2）問考查了兩個隨機變量間的關系，即數學成績與總分成績之間的關聯，但設問方式則是離散型隨機變量的分布以及期望.第（1）問中的分數段是“中位數”的變異，要求學生充分理解“中位數”的定義及算法，并在此基礎上進行推廣.此問題的難度適中，也具有一定的應用價值，也考查了學生學習遷移的能力.

第（2）問是在第（1）問獲得結論的基礎上進行的應用判斷，考查學生的閱讀能力，能夠將文本中出現的信息轉化為兩個隨機變量間的關聯.本題原本的設計是估計三位同學總分上一段線的人數.后改為目前的問法，讓學生在解題的過程中更加有指向性.

2.關于頻率分布直方圖的編制與思考

數學考試成績的分數極差為[150]，該按照什么標準進行分組呢？從理論上講，組距越小，越能反映總體的實際情況.但組距太小，就會造成分組過多，讓學生耗費過多的精力在計算上，與目前的高考“多考一點想，少考一點算”相矛盾.如何進行一個折中的選擇就是對命題教師的考驗.

基于上面的分析，可以選擇的組距有：10，15，20，30，50.當組距為[20]時，[150]不能做到均勻分配，與學生常規思維沖突，放棄該組距;組距為[50]，整個成績僅僅被分為三段，誤差太大，也放棄該組距;[15]與[30]視為同一類.為了減小運算量，最終選擇組距為[30]進行設計.接下來又出現一個新的問題，如何設計每一段的概率.

為了科學性，使用真實的數據是最合理的.這又涉及運算量的問題，且收集數據較為困難，所以就要進行編制與調整.筆者最終以自己所授課班級學生的考試成績為依據，進行優化與調整，再折算為頻率/組距，必然存在一個坐標為無限小數，為此，筆者在頻率分布直方圖中設計了一個未知量[a].該設計避免了數據上的問題，也對學生的認知產生了一定的沖擊.解題的過程中，要回避[a]的求解，利用頻率的基本性質求解.該設計對學生的能力考查又提高了一個層次.

3.關于數學成績與總分之間關系的設計

本環節的設計可以考查的知識點很多，比如：數學成績過一段線的情況與總分過一段線是否相關？我們可以統計相關數據進行分析，并以散點圖（如圖2）的形式呈現.通過此方式考查學生收集處理數據的能力.

還可考查數學成績與總分之間的線性回歸方程，通過數學成績預測總分的情況.在本題中，筆者另辟蹊徑，設定兩個變量相關，并分別給出了三個條件概率，考查學生分析問題、解決問題的能力.本環節的設計還與第（1）問相結合，形成一個整體.該次考試是在高考前的最后一次模擬測試，設計數據的目的是為提高學生的學習信心（數學成績為三檔的同學也有[0.1]的可能過一段線），充分體現了人文關懷.

筆者在第（2）問中設計了甲、乙、丙三位同學進行分析，三位同學分別是三個檔次的代表，學生可以通過概率的獨立性進行運算.對分布列理解透徹的學生可通過題干信息識別出每一位同學是否過一段線服從二項分布，根據隨機變量的可加性，可分別計算三個期望值再求和.因此，筆者在圖1的基礎上，提出了一個備用問題：你能根據散點圖信息，統計學生數學成績預測所有學生總分過一段線的平均數嗎？

（特約編輯 安? ?平）