基于復阻尼模型的改進時域計算方法

孫攀旭　楊紅　劉慶林

摘? ?要：針對復阻尼運動方程自由振動解中存在發散項，導致其不可計算結構自由振動響應，同時基于復阻尼模型的時域計算結果不能穩定收斂的問題，在復阻尼模型的基礎上，利用時頻域轉換得到改進時域運動方程;引入地震加速度在時間步長內是線性變化的假定，利用改進時域運動方程的特點，提出地震作用下基于復阻尼模型的改進時域計算方法.算例分析表明：相比復阻尼模型的時域運動方程，改進的時域方程可適用于結構自由振動響應的時域計算，且計算得到的地震作用下結構動力響應是穩定收斂的;相比基于改進時域運動方程的傅里葉級數法，本文提出的改進時域計算方法計算量更少，計算效率更高. 隨著阻尼比的增大，復阻尼模型的改進時域方法和黏性阻尼模型的時域方法計算結果差異逐漸增大.當結構阻尼比為0.5時，在部分地震波作用下兩種方法計算得到的加速度峰值相對誤差可達到20%以上.

關鍵詞：復阻尼;改進;地震作用;時域;黏性阻尼

中圖分類號：TU311.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標志碼：A

Improved Time Domain Calculation Method Based

on Complex Damping Model

SUN Panxu1，YANG Hong1，2，LIU Qinglin3

（1. School of Civil Engineering，Chongqing University，Chongqing 400045，China;

2. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area

of the Ministry of Education，Chongqing University，Chongqing 400045，China;

3. School of Traffic and Engineering，Shenzhen Institute of Information Technology，Shenzhen 518172，China）

Abstract：There are divergent items in the free vibration solution of complex damping vibration equation. The structural free vibration responses cannot be calculated based on complex damping model， and the structural time domain calculation results are not stably convergent. On the basis of the complex damping model， the improved time domain motion equation can be obtained by time and frequency domain transformation. In the time step， it is assumed that the relationship of earthquake acceleration is linear. By the characteristics of the improved motion equation， the improved time domain calculation method under earthquake action is put forward. The cases show that， compared with the time domain motion equation of complex damping model， the improved time domain motion equation can be applied to the time domain calculation of structural free vibration responses. The structural time domain calculation results are stably convergent under earthquake action. Compared with the Fourier series method， the calculation amount of the proposed method is less and the computational efficiency of the proposed method is higher. With the increase of damping ratio， the difference between the improved time domain calculation method of complex damping model and the time domain calculation method of viscous damping model is increasing gradually. When the damping ratio is 0.5， the biggest relative error of structural acceleration peak values which are calculated by the two methods is over 20% under some seismic wave.

Key words：complex damping;improved;earthquake action;time domain;viscous damping

在結構動力計算中，基于黏性阻尼模型的Rayleigh阻尼模型由于數學處理的便利性得到了廣泛應用[1]，但Rayleigh阻尼模型的計算結果與所選取的控制頻率有關，其合理性不易被判定[2]. 相比黏性阻尼模型，復阻尼模型的計算結果僅依賴于結構材料的阻尼特性，不受結構自振頻率組合選擇的影響，計算結果的合理性易被判定[3]. 復阻尼模型認為阻尼力與位移成正比，且滯后一個相位角，在穩態簡諧振動中得到每周耗能與頻率無關，但其運動方程的自由振動解存在發散項[4]. 朱敏[5]、李鵬[6]等采用常平均加速度法對復阻尼方程求解;潘玉華等[7]采用高斯精細時程積分法求解復阻尼運動方程;張輝東等[8]采用 積分法研究了復阻尼模型結構彈性時程響應，由于復阻尼模型時域運動方程通解中存在發散項，導致上述方法的計算結果存在不穩定性;朱鏡清等[9-10]舍棄通解中發散項的計算方法，雖然保證了計算結果的穩定性，但是在數學上是不正確的[11].為消除不穩定問題，部分學者對復阻尼運動方程進行改進，或依據新阻尼模型構建運動方程. Reggio等[12]將Maxwell-Wiechert本構模型等效于復阻尼本構模型;周正華等[13]采用Maxwell-Kelvin型本構逼近復阻尼本構;Wang[14]采用Rayleigh阻尼矩陣等效復阻尼矩陣;Lee等[15]將黏性阻尼理論與復阻尼模型相結合;尚守平等[16]提出阻尼力與加速度成正比，進而得到新的運動方程;Pan等[17]研究了卷積型阻尼運動方程的構建和求解，但上述方法得到的計算結果與復阻尼模型存在一定的誤差.

針對復阻尼模型自由振動解中包含發散項的問題，本文在不改變復阻尼模型的物理本質基礎上，利用時頻域轉換原則，得到復阻尼模型的改進時域運動方程表達式，使得自由振動解中不再含有指數增長項，從而實現自由振動響應的時域計算;依據運動方程的特點，引入地震加速度在時間步長內是線性變化的假定，進一步提出了復阻尼模型的改進時域計算方法，可計算地震作用下結構的動力響應.

1? ?復阻尼模型的改進時域計算方法

1.1? ?復阻尼模型的改進時域運動方程

基于復阻尼模型的時域自由運動方程為：

式中：η為損耗因子;i為虛數單位，即i = ;ω為結構的無阻尼自由振動頻率，即ω = .

方程（1）對應的特征方程為：

令λ =? χ + iδ，則：

依據式（3），可知方程（1）的通解實部為：

由χ2 > 0，可知式（4）右邊項中包含有指數增長項，即發散項，因此基于復阻尼模型的時域自由運動方程為病態方程，通解中包含有發散項，導致復阻尼模型無法計算自由振動響應.

針對復阻尼模型的缺陷，對其進行改進.地震作用下基于復阻尼模型的單自由度體系時域運動方程為：

式中：g（t）為地震加速度，利用復化對偶原則[18]可得到g′（t）.

對方程（5）進行傅里葉變換，可得：

式中：為振動頻率;（i）為x（t）的傅里葉變換;

G（i）為g（t）的傅里葉變換.

振動頻率不為零時，方程（6）進一步轉化為：

對方程（7）進行傅里葉逆變換，可得復阻尼模型的改進時域運動方程為：

方程（8）在實數域中的表達式為：

1.2? ?結構的自由振動響應

方程（9）對應的自由振動方程為：

采用復平面法求解方程（10），假定其解為：

x（t） = Ae? ? ?（11）

由式（11）可得到結構的振動頻率為：

= α? ? ?（12）

由式（11）可得：

（t） = i（α + iβ）Ae（t） = -（α + iβ）2Ae? ? ? ? （13）

將式（11）和式（13）代入方程（10），得：

-（α + iβ）2 + i（α + iβ） + ω2 = 0? ? ?（14）

式（14）進一步轉化為：

-α2 + β2 - β + ω2 = 0-2αβ + α = 0? ? ? ? （15）

求解方程（15），可得：

α1=ω，β1=α2=-ω，β2=

（16）

自由振動響應的表達式為：

x（t） = [C1cos（f t） + C2sin（f t）]e? ? （17）

其中：

C1 = x（t0）C2 = f? = ? ?（18）

式（17）中不包含發散項，因此復阻尼模型的改進時域方程可計算結構的自由振動響應.

1.3? ?地震作用下結構的動力響應

對于復阻尼模型的改進時域運動方程，考慮到阻尼項中包含有結構的振動頻率，而結構的振動頻率為未知項，因此傳統的常平均加速度法、 Newmark-β法等時程計算方法不能直接用于其時域計算.

將時間離散化，按照時間步長Δt對時間進行離散，任意時刻可表示為tk = kΔt（k = 0，1，2，…）. 謝禮立等[19-20]提出了基于黏性阻尼模型的時域精確法，用于計算地震作用下結構的動力響應，假定地震加速度在時間步長內是線性變化的，以tk時刻的位移和速度作為初值，計算tk+1時刻的位移、速度和加速度，進而完成時域數值計算.本文引入地震加速度在時間步長內是線性變化的假定，在tk時刻到tk+1時刻，地震加速度可表示為：

g（t） = g（tk） + （t - tk）? ?（19）

依據式（19），tk時刻到tk+1時刻，地震作用下基于復阻尼模型的改進時域運動方程可進一步表示為：

（）+（）+ω2x（）=

-g（tk）-? ?（20）

其中，

= 0，t = tkΔt，t = tk+1? ? （21）

方程（20）對應的齊次方程通解與自由振動解形式相同，即：

xc（） = e[C1sin（f ） + C2cos（f ）]? ? （22）

求解方程（20）的特解時，考慮到地震加速度在時間步長內是線性變化的，沒有振動頻率，因此結構在每個時間步長內僅含有一種振動頻率，即有阻尼自由振動頻率，可得：

= f? = ? ? （23）

假定結構的特解為：

xp（） = a + b? ? （24）

由式（24）可得：

p（） = ap（） = 0? ? （25）

將式（23）～（25）代入方程（20）可得：

a+ω2（a+b）=-g（tk）-? ?（26）

求解方程（26），可得：

a = -b = ?- ? ? （27）

方程（20）的特解為：

xp（t） = - + -

（28）

由式（22）和（28）得到方程（20）的通解為：

x（） = e[C1sin（f ）+C2cos（f ）] -+

-

（29）

（） = e[C1f cos（f ）-C2f sin（f ）] +

（-）e[C1 sin（f ）+C2 cos（f ）] -

（30）

進一步計算出tk+1時刻的位移、速度和加速度為：

x（tk+1）=e[C1sin（f Δt）+C2cos（f Δt）] -+

-

（31）

（tk+1） = e[C1f cos（f Δt）-C2f sin（f Δt）] +

（-）e[C1 sin（f Δt）+C2 cos（f Δt）] -

（32）

（tk+1） = e[-C1f2 sin（f Δt）-C2f2 cos（f Δt）] +

2（-）e[C1f cos（f Δt）-C2 f sin（f Δt）]×

（-）2e[C1 sin（f Δt）+C2 cos（f Δt）]

（33）

其中：

C1=[x（tk）+（tk）-+? ? ?g（tk）+] C2=x（tk）-+

（34）

依據式（31）～（34），由tk時刻結構的x（tk）和

（tk），可計算出tk+1時刻x（tk+1）、（tk+1）和（tk+1），從而實現基于復阻尼模型的改進時域計算方法.

2? ?復阻尼模型的改進時域計算方法驗證分析

2.1? ?自由振動響應的驗證分析

以結構自振頻率為4 rad/s的單自由度體系為例，分別構建模型A、模型B、模型C和模型D，4種模型僅阻尼比不同. 模型A的阻尼比ξ = 0.02，損耗因子η = 2ξ = 0.04[3];模型B的阻尼比ξ = 0.05，損耗因子η = 2ξ = 0.10;模型C的阻尼比ξ = 0.10，損耗因子η = 2ξ = 0.20;模型D的阻尼比ξ = 0.20，損耗因子η = 2ξ = 0.40. 4種模型的初始位移為10 cm，初始速度為10 cm/s，利用本文方法計算其自由振動響應，所得結果如圖1所示.相比復阻尼模型的時域運動方程，改進的時域運動方程可計算自由振動響應，不存在發散現象.隨著阻尼比的增加，結構自由振動響應的收斂速度增大，與實際相符.

2.2? ?地震作用下的動力響應驗證分析

目前，地震加速度時程采用三角多項式逼近已經是一種常用的數值方法，借助于快速傅里葉變換方法，可快速確定三角多項式中的參數，地震作用加速度可采用三角多項式展開[21].

式中：A0為常數;Ai和Bi為三角插值公式系數;θi為諧波頻率.

將式（35）代入方程（9）可得：

依據方程（36）可實現基于改進時域運動方程的傅里葉級數法，完成地震作用下結構動力響應的計算.

單自由度體系的初始狀態為靜止狀態，利用本文提出的基于改進時域運動方程的時域計算方法（PZ1）和基于改進時域運動方程的傅里葉級數法（PZ2），計算其在地震作用下的結構加速度響應，所得結果如圖2和圖3所示. 其中，El Centro 波東西分量，采樣周期為0.02 s，歷時40 s;Taft波南北分量，采樣周期為0.02 s，歷時54 s.本文方法計算的加速度最大值相對誤差較小（見表1和表2），證明了本文方法的正確性.El Centro 波東西分量作用下，本文方法的計算耗時為3 s，傅里葉級數法的計算耗時為110 s;Taft波南北分量作用下，本文方法的計算耗時為5 s，傅里葉級數法的計算耗時為380 s.因此，相比傅里葉級數法，本文方法的計算量更少，計算效率更高.

3? ?與黏性阻尼模型時域計算結果的對比分析

黏性阻尼模型存在每周期耗散能量與外激勵頻率相關的特點[22-23]，這與大部分材料在實驗中每周期耗散能量與外頻率無關的現象不一致[24]，能夠更真實地描述實驗現象的復阻尼模型具有每周期耗散能量與外激勵頻率無關的優點，但其自由振動運動方程的通解中存在發散項，造成復阻尼模型時程迭代計算結果不收斂.復阻尼模型的改進時域運動方程保留了每周期耗散能量與外激勵頻率無關的優點，同時保證了自由振動響應的穩定收斂.因此，基于黏性阻尼模型和復阻尼模型的阻尼力是不同的，隨著阻尼比的增大，兩種阻尼模型得到的阻尼力差異逐漸增大，導致動力響應的時域計算結果差異逐漸增大，當阻尼比較大時，其差異不可忽略.

單自由度體系的初始狀態為靜止狀態，利用本文提出的基于復阻尼模型的改進時域計算方法（PZ1）、基于復阻尼模型的高斯精細積分法（FZ）[7]和基于黏性阻尼模型的時域精確法（NZ）[19-20]，計算其在El Centro 波東西分量作用下的動力響應，所得結果如圖4所示. 小阻尼情況下，隨著地震作用時間的增大，PZ1、FZ和NZ的時域計算結果穩定收斂，且近似相等.當阻尼比增大時，隨著地震作用時間的增加，FZ的時域計算結果出現發散現象.因此復阻尼模型的時域計算方法僅能適用于阻尼比較小和地震作用時間較短的結構體系動力響應計算分析.利用PZ1和NZ計算不同阻尼比下自振頻率為4 rad/s的單自由度體系加速度峰值，計算結果如圖5所示. 隨著阻尼比的增大，PZ1和NZ的計算結果差別逐漸增大，與理論分析結果一致. 當阻尼比為0.5時，分別采用PZ1和NZ計算不同自振頻率的單自由度體系加速度峰值，計算結果如圖6所示.在El Centro波東西分量作用下，PZ1和NZ計算得到的加速度峰值相對誤差最大可達到30.12%;在遷安波東西分量作用下，PZ1和NZ計算得到的加速度峰值相對誤差最大可達到26.60%，差異不可忽略.

4? ?結? ?論

經過理論推導和算例分析，得出如下結論：

1）為克服復阻尼模型不能計算結構自由振動

響應的缺點，在不改變復阻尼模型的物理本質基礎上，利用時頻域轉換原則構建了復阻尼模型的改進時域運動方程表達式，可剔除通解中發散項，進而實現自由振動響應的時域計算.

2）依據基于復阻尼模型的改進時域運動方程

特點，引入地震加速度在時間步長內是線性變化的假定，提出了相應的時域計算方法，可計算地震作用下結構的動力響應，且計算結果穩定收斂.同時，相比基于改進時域運動方程的傅里葉級數法，本文提出的時域計算方法計算量更少，計算效率更高.

3）小阻尼情況下，基于復阻尼模型的改進時域計算方法和基于黏性阻尼模型的時域計算方法得到的結果近似相等，隨著阻尼比的增大，兩種方法的計算結果差異逐漸增大，當阻尼比較大時，其差異不可忽略.

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