MATLAB軟件在線性代數教學中的應用

詹涌強

摘? 要：MATLAB是國際上流行的科學與工程計算軟件，線性代數課程是大學教育的一門重要基礎課。將MATLAB軟件與線性代數教學結合起來，能夠大大簡化計算的過程和步驟，提高計算效率，激發學生的學習興趣。文章根據作者自身的教學經驗，就MATLAB在線性代數教學中的應用作了詳細的闡述。

關鍵詞：MATLAB;線性代數;教學

中圖分類號：O1-4? ? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2019）34-0156-03

Abstract： MATLAB is a popular scientific and engineering calculation software in the world. The course of linear algebra is an important basic course in university education. The combination of MATLAB software and linear algebra teaching can greatly simplify the process and steps of calculation， improve the efficiency of calculation and stimulate students' interest in learning. According to the author's own teaching experience， this paper expounds in detail the application of MATLAB in the teaching of linear algebra.

Keywords： MATLAB; linear algebra; teaching

線性代數作為大學教育的一門重要基礎課，是學生入校后最早學習的課程之一，關系到學生后繼專業課程的學習，是非常重要的一門學科。在計算機迅猛發展的今天，將計算機軟件與線性代數教學相結合，已成為教學改革的熱點。而計算機軟件的不斷升級換代為大學數學的教學提供了優越的條件，MATLAB軟件作為眾多軟件的佼佼者，目前已經成為國際科學界最具影響力、最有活力的科學計算軟件。應用MATLAB軟件輔助線性代數的教學，將會在很大程度上降低教與學的難度，縮小數學理論與數學應用之間的距離，并能很好的培養學生的數學應用能力和創新能力，提高學生學習數學的興趣[1]。本文就MATLAB在線性代數教學中的應用進行了探討。

1 矩陣與行列式

矩陣與行列式是線性代數中兩個最基本的內容，線性代數的后續內容都是以矩陣與行列式為基礎展開的。在MATLAB中矩陣的輸入方法是：將矩陣的所有元素用方括號括起來，按矩陣行的順序輸入各元素，同一行的各元素之間用空格或逗號分隔，不同行的元素之間用分號分隔。例如輸入命令：

>> A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12]

則生成的矩陣A為：

A =

1? ? ?2? ? ?3? ? ?4

5? ? ?6? ? ?7? ? ?8

9? ? 10? ? 11? ? 12

行列式的結果是一個數，只有行和列相等的矩陣才存在行列式。行列式的輸入方法為：det（A），其中det為行列式英文單詞determinant的縮寫，A為行和列相等的矩陣，輸出的結果是一個數。例如輸入命令：

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 10];

>> det（A）

ans =

-3.0000

2 求向量組的極大無關組及將矩陣化為最簡形[2]

判斷向量組的線性相關性及求向量組的極大無關組在MATLAB中均可以很容易的實現，當我們將矩陣的每一列看成一個向量，根據線性代數的知識[3]，當向量組構成的矩陣的秩<向量的個數，則向量組是線性相關的，當矩陣的秩=向量的個數時，則向量組是線性無關的，故我們可以由矩陣的秩與向量個數的關系判斷出向量組的線性相關與線性無關性。求矩陣A的秩R（A）的命令為：rank（A）。

例 判斷向量組？琢1（3，1，1）T，2（1，-1，3）T，3（0，2，-4）T，4（2，-1，4）T的線性相關性。

>> A=[3 1 0 2;1 -1 2 -1;1 3 -4 4]

A =

3? ? ?1? ? ?0? ? ?2

1? ? -1? ? ?2? ? -1

1? ? ?3? ? -4? ? ?4

>> rank（A）

ans =

2

因為向量組構成的矩陣A的秩R（A）=2<向量的個數4，故向量組是線性相關的。

而求向量組的極大無關組可通過命令reef（A）進行。命令reef（A）可以將矩陣A化為最簡形矩陣。進一步可判斷出向量組的極大無關組及將極大無關組外的向量用極大無關組線性表示出來。如上例，再進一步求向量組（？琢1，？琢2，？琢3，？琢4）的一個極大無關組，并將其余向量用極大無關組表示。在MATLAB窗口輸入命令如下：

>> rref（A）

ans =

1.0000? ? ? ? ?0? ? 0.5000? ? 0.2500

0? ? 1.0000? ?-1.5000? ? 1.2500

0? ? ? ? 0? ? ? ? 0? ? ? ? ?0

通過將矩陣A化為最簡形矩陣以后，根據線性代數知識[3]，容易看出向量組？琢1，？琢2即是向量組的一個極大無關組，？琢3，？琢4可以用？琢1，？琢2線性表示，系數即是A化為最簡形以后？琢3，？琢4對應的系數，即：？琢3=0.5？琢1-1.5？琢2，？琢4=0.25？琢3+1.25？琢4。

3 線性方程組的求解[2]

線性方程組的求解是線性代數的一個重要內容，對于齊次線性方程組AX=0，其解有兩種情況[3]：（1）R（A）=n（未知量的個數），方程組只有零解;（2）R（A）

在MATLAB命令窗口中輸入下面命令：

>> A=[2 4 -1 4 16;-3 -6 2 -6 -23;3 6 -4 6 19;1 2 5 2 19];

>> rank（A）

ans =

2

系數矩陣A的秩R（A）=2<5（未知量個數），方程有非零解，再求方程組的基礎解系。

>> null（A，'r'）

ans =

-2? ? - 2? ? -9

1? ? ?0? ? ?0

0? ? ?0? ? -2

0? ? ?1? ? ?0

0? ? ?0? ? ?1

得到方程組的通解為x=k1（-2，1，0，0，0）T+k2（-2，0，0，1，0）T+k3（-9，0，-2，0，1）T。

而對于非齊次線性方程組AX=b（b≠0），由線性代數的知識可知[3]，其解有三種情況：（1）R（A）

在MATLAB命令窗口中輸入下面命令：

>> A=[2 4 -1 4 16;-3 -6 2 -6 -23;3 6 -4 6 19;1 2 5 2 19];

>> b=[-2 7 -23 43]';

>> B=[A，b];

>> rref（B）

ans =

1? ? ?2? ? ?0? ? ?2? ? ?9? ? ?3

0? ? ?0? ? ?1? ? ?0? ? ?2? ? ?8

0? ? ?0? ? ?0? ? ?0? ? ?0? ? ?0

0? ? ?0? ? ?0? ? ?0? ? ?0? ? ?0

通過增廣矩陣的最簡形B可以看出，R（A）=R（A，b）=2

>> null（A，'r'）

ans =

-2? ? -2? ? -9

1? ? ?0? ? ?0

0? ? ?0? ? -2

0? ? ?1? ? ?0

0? ? ?0? ? ?1

>> x0=A＼b

x0 =

0

0

22/3

0

1/3

得到方程組的通解為：

x=k1（-2，1，0，0，0）T+k2（-2，0，0，1，0）T+k3（-9，0，-2，0，1）T+0，0，，0，

4 求矩陣的特征值與特征向量

在線性代數中求方陣A的特征值與特征向量是一個難點，計算量很大，學生不易掌握且容易算錯。而在MATLAB中求方陣A的特征值與特征向量則非常簡單，其命令為：[V，D]=eig（A）。其中V、D均為與矩陣A同階的矩陣，矩陣D的主對角線元素為A的特征值，矩陣V的列為矩陣A的單位特征向量，它與D中的特征值一一對應。例如，求下面矩陣A的特征值與特征向量。

在MATLAB命令窗口中輸入下面命令：

>> A=[1 2 3;2 1 3;1 1 2];

>> [V，D]=eig（A）

V =

0.6396? ? 0.7071? ?-0.5774

0.6396? ?-0.7071? ?-0.5774

0.4264? ?-0.0000? ? 0.5774

D =

5.0000? ? ? ? ?0? ? ? ? 0

0? ?-1.0000? ? ? ? 0

0? ? ? ? ?0? ?0.0000

從矩陣D可以看出，矩陣A有三個不同的特征值5、-1、0，特征值5對應的單位特征向量為矩陣V的第一列（0.6396，0.6396，0.4264）T，特征值-1對應的單位特征向量為矩陣V的第二列（0.7071，-0.7071，0）T，特征值0對應的單位特征向量為矩陣V的第三列（-0.5774，-0.5774，0.5774）T。

5 結束語

線性代數中的計算與化簡步驟多，過程繁瑣，學生容易出錯。而利用MATLAB軟件計算線性代數中的許多問題，命令簡潔、操作簡單，大大簡化了計算過程，可以直接得到答案。因此將MATLAB軟件與線性代數教學相結合，能夠大大提高學生學習的積極性和能動性，調動學生的學習興趣。但是，需要指出的是，教師教學時還是要以課本知識為主，MATLAB軟件只是起到一個輔助的作用，教學要把握好這個度。

參考文獻：

[1]平怡.MATLAB在大學數學教學中的應用研究[J].湖北廣播電視大學學報，2008，12（11）：135-136.

[2]楊威，高淑萍.線性代數計算與應用指導（MATLAB版）[M].西安：西安電子科技大學出版社，2013.

[3]同濟大學數學系.線性代數第五版[M].北京：高等教育出版社，2010.