效費比視角下相控陣雷達多波束跟蹤調度策略

劉一鳴，盛 文，施端陽,2

(1.空軍預警學院 防空預警裝備系，湖北 武漢 430019；2．中國人民解放軍95174部隊，湖北 武漢 430040)

隨著現代戰爭形態的演變，突防一方通過集火攻擊的作戰樣式顯著增加了預警體系中的資源消耗，進而達到提高突防成功率的目的。多功能相控陣雷達作為預警體系中的骨干裝備，在短時間內可以形成多個指向不同的發射和接收信號，同時自適應地調整波形參數。在實際作戰過程中，雷達將大部分資源用于跟蹤任務，所以對多目標跟蹤波束波形調度策略的研究是不可或缺的。

對相控陣雷達多目標跟蹤波束波形調度方法的研究起步較晚，但其與多傳感器管理方法有很多相似之處，許多學者將傳感器管理方法引入相控陣雷達多目標跟蹤的研究中并取得了豐碩的成果。其中應用最為廣泛的為協方差控制的方法，它將對每個目標預設期望協方差與實際協方差的偏差作為波束調度的依據，具有很好的自適應性。起初，Kalandros[1]提出了協方差的思想來衡量目標的跟蹤質量，將基于協方差控制跟蹤精度的思想應用到了多傳感器管理技術中來。文獻[2]中提出了基于協方差偏差均值最小準則和最大協方差偏差最小準則的相控陣雷達多目標資源管理算法。文獻[3-4]在協方差控制和交互多模型數據關聯算法的基礎上，對采樣間隔和輻射功率進行優化，提高了雷達射頻隱身能力和跟蹤精度。文獻[5]在最小化后驗估計誤差協方差的條件下，實現了對雷達波束、功率和波形參數的選擇。但以上研究僅對目標跟蹤精度進行了優化，忽略了雷達資源消耗與跟蹤精度的制約關系。文獻[6-7]通過當前時刻目標實際協方差與期望值的偏差和所選波形的能量的加權平均為調度代價，繼而選擇下一時刻的工作方式和參數。文獻[8-9]在檢測概率和跟蹤精度的約束條件下，預估了波束的駐留時間，通過定義的緊迫(調度)系數來確定下一時刻波束指向。文獻[10]中綜合考慮了雷達對目標的測距與測速精度的影響，采用最優化的方法對雷達照射目標的駐留時間與波束寬度進行求解。文獻[11]為了實現雷達網的低截獲性能，以調度間隔內平均截獲概率最小為準則，實現了對采樣間隔時間、駐留時間和發射功率的實時控制。

然而，協方差控制方法的調度性能在很大程度上受期望協方差矩陣和濾波算法的影響?？紤]到克拉美羅下界為參數估計誤差的理論上的下界，因此，以克拉美羅下界為跟蹤性能評價準則的資源管理算法得到了發展。文獻[12]以后驗克拉美羅下界(Posterior Cramer-Rao Low Bound, PCRLB)為跟蹤精度的度量，完成了傳感器與跟蹤目標間的最優分配。文獻[13-17]針對多輸入多輸出雷達的波束特性，以貝葉斯克拉美羅下界為跟蹤精度的評價指標，建立相應的優化模型，對波束指向、發射功率、重訪時間和駐留時間等參數實現了有效管理。以上研究為相控陣雷達跟蹤波束波形調度研究建立了基礎，但是還存在以下兩點不足：①調度函數的設計忽略了雷達資源消耗對不同目標所產生的跟蹤精度變化的差異對整體調度性能的影響；②現有研究中波束調度樣式默認采用單波束方式，缺少對多波束方式的研究。

針對上述問題，筆者提出了一種在多波束跟蹤方式下的兼顧跟蹤精度和資源消耗的波束波形調度策略，創新性地采用一步預測的資源消耗回報率來衡量不同目標預測跟蹤精度和資源消耗的關系，進而與目標當前實際跟蹤精度相結合來設計調度函數，考慮到預測的準確性，利用預測的后驗克拉美羅下界來衡量預測跟蹤精度，而實際精度仍采用誤差協方差來表征。

1 波束波形調度問題描述

在通常情況下，相控陣雷達一般采取跟蹤加搜索(Track And Search, TAS)的工作方式來完成相應任務，即在雷達工作過程中，獨立設置跟蹤和搜索波束。波束波形調度問題可描述為：在雷達搜索時間資源不變的情況下，考慮如何對跟蹤波束波形進行調度來實現多目標高質量跟蹤。

1.1 目標跟蹤模型

假設相控陣雷達位置坐標為(xp,yp)，在tk時刻目標的狀態方程和觀測方程可描述為

(1)

式中,Xk為目標的狀態向量，即Xk=[xk,vxk,yk,vyk]T;Fk-1和Hk分別為狀態轉移矩陣和觀測矩陣；Zk為目標的觀測向量，即Zk=[zxk,zyk]T;ωk-1和νk為服從零均值高斯分布的過程噪聲和量測噪聲；協方差矩陣分別為Qk-1和Rk。

(2)

式中，Fk-1(Tk-1)為tk-1時刻關于采樣間隔Tk-1的狀態轉移矩陣。

(3)

式中，Hk為觀測矩陣,Rk(τk)為tk時刻關于脈沖寬度τk的量測誤差矩陣。

(4)

式中Zk為tk時刻雷達的量測值。

1.2 波束調度函數

波束調度函數的選取決定了調度算法的性能，故從預測資源消耗回報率和當前時刻濾波跟蹤精度這兩方面來定義波束調度函數更為合理。后驗克拉美羅下界是系統可達最佳跟蹤性能的一種度量，代表了目標估計值和真值的誤差協方差矩陣的下界[18]。為了更準確地刻畫跟蹤精度的收益，選取調度間隔內目標后驗克拉美羅下界的變化率來表征，即

(5)

式中，Jk為tk時刻目標的費希爾信息矩陣(Fisher Information Matrix, FIM)，Ck為對應的后驗克拉美羅下界。對于Jk的求解問題，文獻[19]給出了一種通用的遞推求解方法，即

(6)

式中，P0和J0為初始時刻t0的誤差協方差矩陣和相應的后驗克拉美羅下界；(Jk-1)-1對角線上的元素包含目標位置和速度分量估計誤差的下界。為了便于目標后驗克拉美羅下界的量化以及后續的計算，故從Ck中提取位置分量估計誤差的下界，并取其2范數作為其量化值Dk，用ΔAk描述Dk的變化率，即

(7)

相控陣雷達消耗的資源可分為時間資源和能量資源，其中能量資源主要為發射功率和脈沖寬度，時間資源主要為采樣間隔。由于不考慮輻射控制的問題，可以假定發射功率值為最大值并保持不變，所以雷達跟蹤目標所消耗的波形資源Ek可由脈沖寬度τk和采樣間隔Tk來表征，即

Ek=τk/Tk。

(8)

借鑒效益理論中效費比這一核心概念來描述預測資源消耗回報率，可以實現對波束調度過程的精確控制，進而提高管理過程效益。然而，相控陣雷達系統中資源種類繁多，如波形資源、設備運算資源和存儲資源等，需對調度過程中的資源概念予以界定。由于跟蹤波束波形調度決策問題只關心波形能量的調度情況，故上述“資源”具體指發射波形資源，對應的“效費比”是波束調度效費比ηk，定義為預測精度變化率與發射波形資源消耗的比值，即

ηk=ΔAk/Ek。

(9)

最后再結合目標當前時刻的實際跟蹤精度來定義tk時刻目標調度函數ψk，即

ψk=ηk·f(Pk|k) ，

(10)

式中，f(Pk|k)為誤差協方差矩陣Pk|k位置估計誤差的2范數。

1.3 調度優化模型

將參數優化的結果直接應用到下一時刻的調度過程中。由于在優化過程中需考慮檢測概率和跟蹤精度的約束，故跟蹤參數的優化模型如下：

(11)

式中，Pd,k+1|k表示目標tk時刻在給定波形參數下預測的檢測概率；Pdmin表示最小檢測概率；f(Pk+1|k)表示目標tk時刻在給定波形參數下預測協方差矩陣的2范數；Pthr表示目標的跟蹤精度門限。

根據式(11)可以得到L個目標在tk時刻波束調度效費比的最大值，即ηk=[η1k,η2k,…,ηLk]，進而結合各目標當前時刻實際跟蹤誤差可得到相應的調度函數值。當某個目標當前實際誤差超過門限時，但其波束調度效費比很小，這會使得這些目標不能及時被調度，所以調度函數調整為

(12)

式中，γk為tk時刻定義的優勢系數，目的是讓跟蹤誤差超過門限的目標波束調度效費比絕對占優。

2 算法實現流程

上述調度策略下的資源管理框架描述見圖1。資源管理的目標是在雷達資源有限的情況下完成對多個目標的高質量跟蹤，調度過程主要由時間資源控制、調度序列控制及波形參數優化和波束調度決策3個子模塊構成，其中時間控制模塊貫穿整個調度過程中。

圖1 多目標跟蹤多波束調度策略管理框架

具體步驟描述如下：

步驟1 初始化。在t0時刻，監視區域內共有L個目標，其初始狀態變量X0=[X10,X20,…,XL0]，協方差為P0=[P10,P20,…,PL0]；同時，依據雷達的最大跟蹤距離和跟蹤精度門限，設定采樣間隔序列T= [T1,T2,…,Tm]，脈沖寬度序列τ=[τ1,τ2,…,τm]，同時重置時間指針tres=0。

步驟2 跟蹤目標數量及狀態更新。在tk時刻雷達消耗時間資源Tjsd,k搜索到新目標j后轉入跟蹤狀態，進而更新目標狀態變量Xk，時間指針步進tres=tres+Tjsd,k。

步驟3tk時刻目標調度序列控制及波形參數優化(為簡化表示，以下推導忽略目標編號)。

步驟3.1 一步預測的波束調度效費比計算：由式(11)可知，需要預測tk+1時刻的檢測概率Pd,k+1|k和誤差協方差矩陣Pk+1|k，才能計算出各目標的最優效費比和其對應的跟蹤波形參數。由于目標在雷達連續兩次調度時間段內距離變化很小，可以利用rk來近似rk+1，則在給定脈沖寬度τk+1條件下可得回波信噪比(RSNR)k+1|k為

(13)

式中,(RSNR)ref、τref和rref表示參考信噪比、脈沖寬度和目標距離。故可得預測的檢測概率為

(14)

將采樣間隔值Tk+1和脈沖寬度值τk+1代入式(2)～(4)中，得到一步預測協方差矩陣Pk+1|k，進而將其帶入式(5)～(10)中，得到波束調度效費比值ηk。

綜上所述，最優跟蹤波形參數的優化流程如圖2所示。

圖2 tk時刻跟蹤波形參數優化過程圖

步驟3.2 一步預測的調度函數值計算：將目標tk時刻誤差協方差矩陣Pk|k中位置分量估計誤差提取后并計算相應的2范數，即

(15)

圖3 跟蹤加搜索模式下多波束跟蹤調度示意圖

步驟4tk時刻多波束方式選擇調度目標。相控陣雷達跟蹤多波束調度是在跟蹤駐留時間Ttd,k內進行的，然而Ttd,k的大小受到搜索駐留時間和幀周期的限制，多波束調度是在搜索駐留時間和幀周期為定值的條件下進行的，故跟蹤加搜索工作模式下搜索和跟蹤調度示意圖如圖3所示。

(16)

結合以上步驟，多波束跟蹤調度算法流程如圖4。

圖4 tk時刻多波束調度流程圖

步驟5 時間指針步進tres=tres+T1td,k，其中T1td,k為tk時刻實際跟蹤駐留時間；返回步驟2，直到完成相應的搜索與跟蹤任務。

3 仿真驗證

為了驗證上述方法中調度函數和多波束調度方式兩點創新性工作的有效性和優越性，在同一仿真場景下，選取常規的波束波形聯合調度策略[6]和單波束調度策略進行對比驗證。

3.1 對比方法介紹

方法1 該方法中的調度函數選為實際跟蹤精度與波形能量的歸一化加權平均值。

方法2 該方法在上述調度策略的基礎上，采用單波束調度方式對目標進行跟蹤。

3.2 仿真場景

仿真場景如圖5所示，雷達位置為(0,0)，其兩個責任區[0,π/2]×[0,3 000 km]和[π/2,π]×[0,3 000 km]內共存在16個目標，飛行速度為8馬赫，假設飛行過程中為勻速直線運動。在一個幀周期Tsi=9 s的時間內，在跟蹤資源占比為70%的情況下對跟蹤波束波形調度問題進行仿真。假設雷達的基準探測距離rref=2 500 km，其對應的信噪比(RSNR)ref=17.2 dB，脈沖寬度τref=5 ms，初始量測噪聲協方差矩陣R0=[(10 m)2, (10 m)2]，過程噪聲協方差Q0=diag[(51/2m)2, (101/2m/s)2, (51/2m)2, (101/2m/s)2]，跟蹤誤差門限設為300 m。

圖5 仿真場景

3.3 仿真結果與分析

圖6 3種方法各目標跟蹤精度對比

在上述多目標場景下，為了更精確地反映目標的跟蹤情況，仿真中將均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)作為跟蹤質量的評價指標，信號平均脈沖寬度和平均采樣間隔時間作為資源消耗的評價指標。圖6給出了3種方法下各目標調度過程中平均均方根誤差和誤差超門限次數比例的統計結果。可以看出，相比于其他兩個對比方法，筆者提出的方法在調度過程中的跟蹤質量更高，同時跟蹤誤差超門限次數比例也更低。圖7給出了3種方法下各目標調度過程中平均脈沖寬度和平均采樣間隔的統計結果?？梢钥闯?，筆者提出的方法消耗更少的脈沖寬度資源，同時保持較低的采樣間隔時間。最后，表1給出了3種方法下所有目標相應指標的平均值，經計算可以得出，筆者提出的方法相對方法1平均跟蹤精度提高約15.57%，相對方法2提高約11.06%。綜合以上分析可得，筆者提出的方法在跟蹤精度優于其他方法的同時，可以消耗更少的脈沖寬度資源，保持適中的采樣間隔時間水平，有效地降低了失跟率。

圖7 3種方法各目標跟蹤消耗時間資源對比

表1 3種方法下評價指標統計結果

為了更好地展現3種方法在調度過程中對跟蹤目標精度的控制情況，選取在3種方法中調度情況均較好的目標2進行分析。結果如圖8所示，可以看出筆者提出的方法在目標跟蹤誤差超過門限后能及時對其進行調度，在很大程度上避免了目標失跟，然而其他兩種方法沒有這種控制效果；同時隨著時間的推移，目標跟蹤精度的變化趨于穩定，且能保持在較低的跟蹤誤差水平上。

圖8 3種方法下目標2調度過程均方根誤差的變化情況

圖9 文中方法調度過程波束照射情況(小圓圈表示波束照射)

最后將筆者提出的方法在調度過程中波束照射的情況描述為圖9。從圖9可以看出，在整個調度過程中雷達對各目標的照射次數相當，雖然各目標在不同時刻的調度函數值存在差異，但各目標本身的運動特性相似，所以調度函數在各決策時刻所反映的目標間的差異體現在目標的狀態上，而并不是目標本身的屬性。

4 結束語

筆者借鑒了效益理論中效費比的概念，定義了跟蹤波束波形調度過程中的效費比和調度函數，在跟蹤加搜索的工作模式下并結合多波束方式，提出了一種效費比視角下相控陣雷達多波束跟蹤波束波形調度策略。仿真分析表明，所提出的調度的策略：

(1)可以在各決策時刻選取最為合適的目標進行調度，在保證跟蹤精度的同時，減少了各目標的平均脈沖寬度，提高了平均采樣間隔時間。

(2)在目標數量較多時，能夠及時對跟蹤精度超出門限的目標進行調度，有效地降低了失跟率。

(3)在整個調度過程中，對各目標的照射次數相當，適合集火突防場景下威脅度相近的群目標的跟蹤波束波形調度問題，具有較大的軍事應用價值。