預(yù)設(shè)追問促進(jìn)生成，善用“導(dǎo)圖”明確思維
——以三角形中位線教學(xué)為例

江蘇省南京市板橋中學(xué) 董婷婷

一、問題提出

筆者在進(jìn)行八年級數(shù)學(xué)教學(xué)時，深刻感受到學(xué)生畏懼學(xué)習(xí)幾何、幾何學(xué)習(xí)成績不理想等狀況，究其原因，歸結(jié)為幾點(diǎn)：初中幾何內(nèi)容相對于初中代數(shù)內(nèi)容和小學(xué)幾何內(nèi)容來說，更為抽象，對學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等能力有了更高的要求；初中生的思維能力正在由直觀慢慢向抽象過渡，但抽象層次尚且較低，故部分學(xué)生覺得初中幾何內(nèi)容很難，無處下手，不能很好地掌握，繼而失去學(xué)習(xí)信心.項(xiàng)武義說：“三角形是僅次于線段和直線的基本幾何圖形，而空間的大部分基本性質(zhì)都已經(jīng)在三角形的幾何性質(zhì)中充分體現(xiàn).”所以三角形及相關(guān)知識的學(xué)習(xí)對整個幾何學(xué)習(xí)都是至關(guān)重要的，如何開好這個頭、打好這個基礎(chǔ)，是一線教師需要深思的問題.筆者接到開設(shè)一節(jié)市級公開課的任務(wù)，課題便是“三角形的中位線”，于是做了以下設(shè)計(jì)與分析.

二、教材分析

“9.5三角形的中位線”是蘇科版數(shù)學(xué)八年級下冊第九章第五節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，是學(xué)生繼學(xué)習(xí)平行線、全等三角形、平行四邊形等幾何知識之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容，同時為之后的中點(diǎn)四邊形、相似三角形的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，其性質(zhì)定理的探索和應(yīng)用過程又需要運(yùn)用倍長中線、旋轉(zhuǎn)或平行等作圖方法和轉(zhuǎn)化思想，在今后的研究學(xué)習(xí)中起著畫龍點(diǎn)睛的作用.在對比了蘇科版和人教版兩套教材后，發(fā)現(xiàn)這節(jié)課內(nèi)容在位置編排、情境引入、證明思路、例題設(shè)置等方面都有很大的不同.

三、教學(xué)流程概述

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）引出概念

問題1：三角形中有哪些重要的線段？

追問1：這些線段為什么重要？它們特殊在哪里？

追問2：請總結(jié)一下這些線段的價值.

教學(xué)組織：學(xué)生依次答出高線、中線、角平分線；三角形一邊上的高線垂直于這條邊，三角形一邊上的中線平分這條邊，三角形的角平分線平分這個內(nèi)角.它們有特殊的位置和數(shù)量關(guān)系，如由中線可得兩個三角形的面積相等.

追問3：三角形中還有哪些特殊的重要線段？

追問4：我們研究了定義，還需從什么方面繼續(xù)研究它？

教學(xué)組織：學(xué)生上黑板再畫一些自己覺得特殊的線段，并說出特殊在哪里，重要在哪里，交流后，教師在黑板上保留一條中位線，引出三角形中位線的定義，并且指出定義、性質(zhì)、判定、應(yīng)用是學(xué)習(xí)幾何對象的一貫路徑.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從自己已有的知識和經(jīng)驗(yàn)入手，自然引出新課內(nèi)容，遵循了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識，引導(dǎo)學(xué)生從位置與數(shù)量兩方面研究幾何圖形.同時引導(dǎo)學(xué)生回憶研究幾何對象的方向，學(xué)會提出問題，研究學(xué)習(xí)策略，增強(qiáng)學(xué)習(xí)主動性.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）性質(zhì)探索

問題2：（1）在三角形中畫出一條中位線，猜想它的性質(zhì)，并用文字語言描述.

（2）結(jié)合圖形寫出猜想，并證明.

追問1：哪兩條線段平行？

追問2：所對的線段可以怎么稱呼它？

追問3：為什么叫第三邊？

設(shè)計(jì)意圖：促使學(xué)生出現(xiàn)認(rèn)知與表達(dá)之間的不平衡狀態(tài)，產(chǎn)生尋求平衡的需求，同時對性質(zhì)中的“第三邊”加深理解，為后續(xù)學(xué)生能夠正確應(yīng)用性質(zhì)奠定基礎(chǔ).培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)題意畫圖的能力，根據(jù)文字語言寫出幾何語言，進(jìn)行三種語言之間的相互轉(zhuǎn)化，同時讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、操作、驗(yàn)證的過程，感受數(shù)學(xué)研究學(xué)習(xí)的合理性.學(xué)生獨(dú)立思考五分鐘，教師巡視學(xué)生作輔助線的情況，并引導(dǎo)學(xué)生思考在需要證明的兩個結(jié)論中，哪個結(jié)論是我們比較熟悉的，哪個結(jié)論是我們不太熟悉的.

本活動中設(shè)置了幾次讓學(xué)生獨(dú)立思考的環(huán)節(jié)，分別安排在教師的幾次提示之后，根據(jù)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的整體情況來判斷介入提示的時機(jī)和深入程度，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，減少學(xué)生對教師的依賴，把課堂真正還給學(xué)生.

這里分享該課的一個教學(xué)片段：

圖1

生：我作了BC上的中點(diǎn)F，連接這三個中點(diǎn)（如圖1），這樣作是想證明DE等于BF且平行于BF.

追問4：這樣作輔助線是否可以得到證明呢？你覺得困難出在哪里？知道為什么不容易證明出你想要的結(jié)論嗎？

生：好像證明不出來.

生：我想證明△ADE與△DBF全等，但是給的條件不夠.

生：原因不知道.

師：題目中給出的大多是關(guān)于中點(diǎn)的條件，你再作BC的中點(diǎn)，相當(dāng)于還是增加了中位線，條件類型單一，且你試圖用中位線的性質(zhì)去證明中位線的性質(zhì)，自然是困難的.但是這名同學(xué)想到把DE和BC之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為DE和BF之間的關(guān)系，這一點(diǎn)是非常關(guān)鍵的.

教師繼續(xù)追問：作了BC的中點(diǎn)相當(dāng)于將線段BC怎樣了？

生：相當(dāng)于把線段BC截成了相等的兩段.

師：第一名同學(xué)是把BC截成了兩段來解決二分之一的問題，但是并沒有證明出來，這對你有沒有什么啟發(fā)呢？

圖2

學(xué)生再思考三分鐘，教師巡視學(xué)生完成情況

師：是否可以換一個方向思考這個結(jié)論呢？這個結(jié)論等價于什么呢？

生：這個結(jié)論等價于二倍的DE等于BC.

生：我們可以延長DE得到二倍的DE，讓它等于BC.

師：請大家繼續(xù)思考，看是否能夠構(gòu)造出輔助線并證明.

接著，學(xué)生發(fā)現(xiàn)線段的倍長關(guān)系是此次證明中相對較陌生又較困難的一個關(guān)鍵點(diǎn)，是此結(jié)論中的一個題眼，故需要遵循學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，循序漸進(jìn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題眼，讓知識順其自然生成，在此基礎(chǔ)上，教師完善并形成這個教學(xué)內(nèi)容的板書思維導(dǎo)圖，如下：

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）新知應(yīng)用

例1把一個三角形三邊的中點(diǎn)順次連接起來得到的新三角形，稱為中點(diǎn)三角形，如圖4，D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，若BC=6，DE多長？這里有沒有特殊的四邊形？

設(shè)計(jì)意圖：探索完性質(zhì)證明方法后，從位置和數(shù)量兩方面進(jìn)行性質(zhì)的應(yīng)用，設(shè)計(jì)兩個不同層次的問題，由簡單到復(fù)雜、由封閉到開放，采用半開放的問題設(shè)計(jì)拓展知識面、加強(qiáng)三角形與四邊形的轉(zhuǎn)化意識，充分運(yùn)用之前雖未得證成功但由學(xué)生自己探索出的輔助線作法，總結(jié)出與三角形中位線相關(guān)的基本圖形.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）小結(jié)反思（略）

圖3

四、對教學(xué)的幾點(diǎn)啟發(fā)

1.順應(yīng)錯誤，攫取思維之源

本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)是如何作輔助線繼而探究出三角形中位線性質(zhì)證明方法，雖然在課堂上進(jìn)行過“將三角形分成兩部分拼成一個平行四邊形”的操作過程，并且進(jìn)行了多次引導(dǎo)啟發(fā)，學(xué)生還是很難想到如何添加輔助線，部分學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)變換想出作法但不能完整地寫出證明過程，同時，筆者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生在作輔助線時取了BC邊的中點(diǎn)F，并連接DF、EF，然后陷入困境.于是筆者在課堂上及時聽取并分享學(xué)生的作法，呈現(xiàn)并放大學(xué)生在證明過程中出現(xiàn)的困惑，分解剖析他的輔助線作法和意圖，激發(fā)學(xué)生在證明思路上的需求，明確證明的具體目標(biāo)，最后挖掘出錯誤解法中非常有用的價值，例如，關(guān)于輔助線的作法和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)為正確的思路和解法，即讓學(xué)生想到“截長”不行就考慮“補(bǔ)短”，再由“找中點(diǎn)”是為了“截長”聯(lián)想到“延長”可以起到“補(bǔ)短”的作用，繼而讓更多的學(xué)生獲得將三角形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問題的思路.

2.緊扣關(guān)鍵，敲開思維之門

初中幾何教學(xué)中常常遇見這樣的問題：教師盡心盡力教授，學(xué)生一聽就懂、聽過就忘、一做就錯.這是因?yàn)槌踔袔缀味ɡ矸倍啵處熡譀]有重視對學(xué)生審題和分解重組能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生不會解題或者用更煩瑣的方法，拖長了解題的時間，增加了解題的難度.所以教師要培養(yǎng)學(xué)生抓住“題眼”的能力，找到解決問題的突破口.正如本環(huán)節(jié)中教師引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論中哪些是學(xué)生熟悉、可解決的部分，哪些是不熟悉、不可解決的部分，或者所有分結(jié)論都指向的某個結(jié)論，這些往往就是本題的題眼.學(xué)生發(fā)現(xiàn)證明兩條線段平行且相等是熟悉又好解決的，而是不熟悉的，那么此題的題眼就是這個，重點(diǎn)從這個開始突破.找到突破口以后，就有了思考的方向，集中火力探索所需的條件或者畫出相關(guān)的輔助線，從而解決問題.

3.利用導(dǎo)圖，明確思維脈絡(luò)

波利亞在《怎樣解題》中說，我們在尋找解題方法時，可以試試在題目上做些變化，如類比、特殊化、普遍化、分解和重組，其中在幾何證明過程中，分解與重組能在很大程度上幫助學(xué)生分析并解決問題.故本環(huán)節(jié)教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生分解條件“D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)”則能得到“AD=BE，AE=EC”，接著明白要得出結(jié)論還需要找到另一條線段讓它與BC平行且相等，同時需要證明DE等于這條線段的一半.引導(dǎo)學(xué)生畫出輔助線，繼而將新條件“AE=EC”和“DE=BF”重組，得到一對三角形全等，最終解決問題.這些煩瑣的想法不能只停留在抽象的思維中，而需要簡要而顯性地暴露在學(xué)生面前，于是教會學(xué)生畫思維導(dǎo)圖顯得尤為重要.思維導(dǎo)圖又叫心智導(dǎo)圖，能將思維形象化，是一種非常實(shí)用的表達(dá)發(fā)散性思維的圖形工具.思維導(dǎo)圖在初中幾何教學(xué)中的地位舉足輕重，可以說得思維導(dǎo)圖者得幾何天下.指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用思維導(dǎo)圖解決幾何問題的策略與技巧，并有意識進(jìn)行運(yùn)用和訓(xùn)練，能較大程度地提高解題能力，提升數(shù)學(xué)思維.