重組學材精選情境，重視定義貫穿學程
——以銳角三角函數單元教學為例

江蘇省宜興市洋溪中學 許 琳

三角函數是重要的數學分支，在初中階段只安排學習了很少的一部分，或者說只是開頭，即學習了銳角三角函數的相關內容.不少教材接續(xù)在相似三角形之后學習，也是從相似三角形引出直角三角形的邊角關系，從而定義了正切函數、正弦函數與余弦函數，而且安排了多個課時才完成了這些新知的教學.從單元教學的操作角度出發(fā)，我們也可以讓學生“先見森林，再見樹木”，即先整體呈現新知結構，然后各個深入，系統(tǒng)學習.本文就是基于單元教學而展開的銳角三角函數教學實踐，我們先整理該課教學流程，并給出教學立意的闡釋，供研討.

一、銳角三角函數單元教學課例

教學環(huán)節(jié)（一）創(chuàng)設情境，引出新知

問題1：在平面直角坐標系中畫直線y=x，探討直角三角形中邊與角之間的關系.

教學組織：在直線y=x（第一象限的部分）上取一個點A（1，1），觀察點A橫、縱坐標的比值；繼續(xù)取一個點B，給定點B的橫坐標為一個任意數值，計算出點B的縱坐標，分析此時點B的橫、縱坐標之比.進一步推廣到直線y=x（第一象限的部分）上任意一點P，點P的橫、縱坐標之比都是確定值1.

問題2：在平面直角坐標系中畫直線y=2x，用類似的方法求該直線在第一象限上點的橫、縱坐標之比.

教學組織：學生研究后發(fā)現該直線在第一象限上點的橫、縱坐標之比值是確定值，而且可進一步研究該直線上任意一點的橫坐標與該點到原點的距離之比值也是確定的，為進一步引出正弦、余弦的定義做準備.

問題3：如圖1，在平面直角坐標系中，過原點O在第一象限內引一條射線OM，該射線與x軸的夾角為α，研究該射線上任意一點的橫、縱坐標的比值是否變化.

圖1

教學組織：在射線OM上取點P、P′，作PN、PN′垂直于x軸，垂足分別為點N、N′，結合相似三角形的性質，可確定點P橫、縱坐標的比值是確定的.進一步，分析PN∶OP的值也是確定的，從而引出關于銳角α與上述比值之間的對應關系.

圖2

講授定義：如圖2，在直角三角形ABC中，叫作∠A的正弦，叫作∠A的余弦，叫作∠A的正切.我們把∠A的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱∠A的三角函數.

教學環(huán)節(jié)（二）理解新知，初步運用

例題：（1）如圖3，直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求∠A的正弦函數值、余弦函數值、正切函數值.

圖3

圖4

（2）如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，分別寫出∠A和∠B的正弦函數值、余弦函數值、正切函數值.

教學組織：通過兩個特殊直角三角形，讓學生理解新知、運用新知解決問題.同時讓學生體會一般角度（相對于特殊角度如30°、45°而言）所對應的三角函數值.練習之間，追問學生互余的兩個銳角的三角函數值有什么關系，從而發(fā)現以下性質：

Rt△ABC中，∠C=90°，則sin∠A=cos∠B，cos∠A=sin∠B.并安排學生進行證明.因為在Rt△ABC中，∠C=90°，所以，所以sin∠A=cos∠B.可見，證明的過程就是緊扣正弦、余弦的定義去推理，也是加強定義理解、重視定義教學的有效方法.

教學環(huán)節(jié)（三）運用新知，列表梳理特殊銳角的三角函數值

根據直角三角形的邊和角的性質及三角函數的定義，安排學生自主探究列表梳理30°、45°、60°的三角函數值（安排算得較快的學生上臺，板演在黑板上的表1 中）.

表1

教學組織：列表之后，組織學生交流如何求這些特殊角的三角函數值，重視回到定義去解題的思路.在此基礎上，引導學生觀察表格發(fā)現一些規(guī)律或性質，如猜想：sinα=cos（90°-α），cosα=sin（90°-α），sin2α+cos2α=1，讓學生從特殊走向一般進行證明，證明的過程也體現了“回到定義”的教學追求.

教學環(huán)節(jié)（四）課堂小結，布置作業(yè)

引導學生回顧本課所學內容，建構知識結構，讓學生理解新知從何而來，將來去向何處，讓學生知道銳角三角函數的學習才開個頭，后續(xù)還有很多要學習的內容，如銳角三角函數的圖像和性質，銳角三角函數的應用（如參與解直角三角形）等.布置作業(yè)略.

二、教學立意的進一步闡釋

1.對比研習初、高中教學要求，精心創(chuàng)設情境導入

三角函數是一門重要的數學分支，三角學更是博大精深、聯系甚廣，初中、高中階段對三角函數的要求并不一樣，初中只是略微開端，只研究銳角三角函數，而且并不涉及函數圖像和更多的函數性質，所以很多初中教材多是附著在相似三角形或坡度問題上引入銳角三角函數的概念，與高中階段借助“單位圓”的引入方式并不相同.而且把正切函數、正弦函數、余弦函數分開介紹給學生，使得知識呈現碎片化，不利于學生整體認識這幾個新的概念.基于以上認識，我們從學生熟悉的正比例函數圖像出發(fā)，把目光聚焦在第一象限，研究這些射線上點的坐標之比，借助八年級函數的概念（兩個變量、單值對應）引出銳角三角函數的定義，學生也容易理解.

2.引導“回到定義”獲取思路，預設追問重視定義

在銳角三角函數單元教學起始課中，在幾個新的函數定義之后，及時跟進了幾個練習進行訓練，而這些訓練題的求解都要通過講評時的追問暴露學生的思維，讓學生“回到定義”講解思路，既是鞏固新知的需要，更是重視定義的教學追求.到了后續(xù)推證一些命題或等式時，也需要讓學生在回答時反復提到是如何回到定義來思考、來證明的，這也是重視回歸定義的教學價值.順便提及，單元起始課教學，重在概念教學、定義教學，而不是大量習題驅動下的解題教學，這是當前有些新授課教學方式走偏的不當選擇，誤以為通過大量練習來鞏固和理解定義，擠壓了新概念、定義生成的教學，是得不償失的、不可取的.

3.滲透“特殊與一般”研究方法，加強習題變式教學

本課教學的各個不同環(huán)節(jié)都充分體現了從特殊到一般的研究方法，比如，開課情境創(chuàng)設時，變換不同的正比例函數，從特殊的正比例函數y=x或y=2x，到過原點在第一象限作任意一條射線，并研究這些射線上點的橫、縱坐標之比，體現了從特殊到一般、從簡單到復雜的研究方法.在例、習題訓練時，從重要勾股數組如“3，4，5”“5，12，13”過渡到特殊銳角如30°、45°等的研究，也是從特殊到一般的思路.在特殊銳角三角函數值的表格整理之后，安排學生分析表格中函數的一些性質，并走向一般進行證明，也體現了特殊與一般的研究路徑.

三、在寫后面

最近一段時間，由于各級教研賽課提出了單元教學的要求，使得單元教學得到了較高的關注，這種課型需要整合教材，重組教材，對教師備課及課堂駕馭提出較高的要求，真正體現了教師的專業(yè)地位，對教師創(chuàng)造性思維也提出較高要求.上面通過一節(jié)銳角三角函數的課例展示我們對單元教學的實踐和理解，不一定準確，期待更多單元教學的課例展示，豐富我們的理解和認識.