凸顯求解過程，促進深度學習*
——以分式方程解的教學為例

山東省淄博市臨淄區教學研究室 劉 濤 楊靜霞

數學深度學習是相對初中數學教學中出現的被動式、孤立式、機械式的淺層學習而言的，指在淺層學習的基礎上，由接受式學習向探究式學習轉化，由低階思維能力向高階思維能力發展，由簡單直觀型知識結構向拓展抽象型知識結構延伸，實現原有知識經驗基礎上的主動建構，逐漸完善個人數學知識體系，并有效遷移應用到真實情境的過程

一、教學內容分析

1.教材分析

縱觀我國現行各版本教材，對分式方程解的論述都稍顯簡略.如山東教育出版社八年級上冊教材（2014年版）中只提到了“增根”，簡略分析增根產生的原因，進而指出得到增根后應把它舍去（詳見教材第39頁和第40頁）；人民教育出版社八年級上冊教材（2013年版）論述較為詳盡，特別是對分式方程解的說明，指出分式方程的解首先是去分母后整式方程的解，同時使分式方程分母的值不為0，但對“增根”只字未提（詳見教材第150頁和第151頁）.關于分式方程有增根、無解、有解的認識及根據解的情況確定分式方程中字母系數的取值問題，目前已有大量的文獻資料供參考.但在實際教學中，如果教師將結論、做法直接傳授給學生，學生就會被動地接受知識，導致學習效果事倍功半.

事實上，關于分式方程解的討論與分式方程的求解過程是緊密相連的.因此，設計基于求解過程的教學，讓學生在問題情境中充分探究，把握問題的來龍去脈，才能促進學生深度學習，提升學習效率.本節課的教學試圖通過引導學生對分式方程求解過程的探究，借助問題導向，順通思維，明確本質，在不斷將學習推向深入的同時做到對分式方程解的融會貫通，并能舉一反三、靈活應用.

2.目標分析

深刻認識分式方程的解的三種情況（有增根、無解、有解），并能根據解的具體情況確定方程中字母系數的取值；通過過程探究，溫故知新，提升利用所學知識解決新問題的能力；養成遵循法則、嚴謹認真的數學學習品質.

3.重、難點分析

重點：深刻認識分式方程“有增根”“無解”“有解”之間的區別與聯系.

難點：根據解的情況確定含字母系數的分式方程中字母系數的取值.

二、課堂教學實施

1.回顧舊知，激活思維

師：在“分式與分式方程”這一章，我們是如何解分式方程的？主要做法是什么？

生：首先通過去分母，將分式方程轉化為整式方程，然后解這個整式方程，從而得到未知數的值.

生：得出未知數的值以后還要進行檢驗，如果未知數的值使得原分式方程的分母為0，那么這樣的解是增根，如果每個解都是增根，則原分式方程無解.

設計意圖：比起整式方程，分式方程的求解過程變得相對復雜，特別是解后驗根的環節必不可少，本課關于分式方程有增根、無解、有解的討論，即是建立在對求解過程深入剖析的基礎之上，即只有學生明確了分式方程求解的全過程，才能根據解的情況逐個尋找問題解決的突破口.此舉既讓學生回顧了解分式方程的完整步驟，又為后面的問題探究做足鋪墊.

2.問題探究，激疑答惑

問題1：使分式的分母為0的根一定是分式方程的增根嗎？

例：你能確定下面分式方程的增根嗎？你是如何確定的？

生：我認為第一個方程的增根為“x=3”，第二個方程的增根為“x=1”或“x=-1”.

師：你是如何這么快就得到答案的？

生：通過令分式方程的分母等于0，便可快速得出.

師：請大家通過解分式方程得出答案.

生：通過實際解方程，我們求得兩個方程的增根分別為“x=3”，“x=1”.

師：第二個分式方程的增根與有些同學的猜想不一樣，為何只有“x=1”這一個增根，而未出現“x=-1”這個增根？請大家思考，分式方程的增根應具備怎樣的特點？

生：在第二個分式方程中，雖然“x=1”和“x=-1”都使分式方程的分母為0，但僅僅具備這一點是不夠的，在實際的求解中，通過解分式方程轉化后的整式方程“x+1=2x”，只能得到“x=1”.

生：作為分式方程的增根，它要滿足兩個條件，既是分式方程去分母后轉化成的整式方程的解，又使得分式方程分母的值為0.

設計意圖：許多學生對增根存在著錯誤的認識，認為增根就是使得分式方程分母的值等于0的未知數的取值，通過“反襯對比”讓學生意識到增根來源于分式方程的求解過程之中，使分式方程分母的值等于0只是增根的一個特征.同時，通過對增根的學習，進一步引導學生認識到探究求解過程對問題解決的重要性，進而培養他們嚴謹、認真的數學學習習慣.

問題2：分式方程有增根等同于無解嗎？

例：解下面兩個分式方程，從解的情況來看，你有何發現？

學生先獨立求解，然后小組內交流看法.

生1：從解的情況來看，相同點是這兩個分式方程都無解，解方程（1）得到“0x=13”，顯然是無解的，解方程（2）得“x=-2”是增根，原方程也無解.

生2：不同的地方在于，雖然兩個方程都無解，但第一個方程無增根，第二個方程有增根.

師：說得非常好！通過剛才的探究，你能說說分式方程的增根與無解之間有何關系嗎？

生3：對分式方程來講，增根導致了無解，但無解并不一定意味著有增根.

設計意圖：這是對無解進行初步探究，主要圍繞無解與增根之間的關系展開，讓學生明白分式方程無解并非只有有增根這一種情況，對思維的發散起到至關重要的作用.

師：結合剛才的探究啟發，我們再來解決下面的問題.

問題3：知道分式方程無解，你能確定字母系數的值嗎？

例：（1）若關于x的方程無解，則m的取值為_________.

教學預設：學生容易將分式方程轉化為整式方程，分別得到：

①x=m+1；

②（1-m）x=2.

但在進一步求解m的值時，有的學生依然將無解等同于方程只有增根這一種情況，即令x的值分別為4，2，從而得出m的值分別為3，0.

師：除了根據方程產生增根這種情況求解m的值，你還有別的想法嗎？

生：本問題的方程（2）中，m的取值還可能為1，即當m=1時，原分式方程也無解.

師：很好！那么問題（1）中m的值是否存在多解？（1）與（2）的區別在哪里？

生：我們將分式方程轉化為整式方程后，發現①式中無論m如何取值，都能得到相應x的值，而②式中則不然，當m=1時，這個整式方程無解.

師：根據前面的分析，你能總結出由含字母系數的分式方程無解，應如何來確定字母系數的取值嗎？

生：可以從兩個方面，一是從分式方程產生增根這個角度，二是從分式方程轉化成的整式方程無解這個角度.

設計意圖：問題3是問題2的順承與延拓，僅僅借助問題2，學生對分式方程無解的認識并不到位，通過將分式方程求解過程中轉化得來的整式方程擺在一個至關重要的位置，凸顯了對求解過程進行深層剖析的思維路線.同時，本例中兩個轉化后的整式方程特點不一，形成鮮明對比，為進一步探究思考指明了方向.通過此環節的學習，學生對分式方程無解有了較為全面的認識，并能用來確定字母系數的取值.

師：基于對無解的學習，我們應該如何認識分式方程有解呢？請以問題3中的兩個分式方程有解為例，確定m的取值.

生：問題3中的分式方程有解時，我們得到（1）中m的取值范圍是“m≠3”，（2）中m的取值范圍是“m≠1”或“m≠0”.

師：還有補充或問題嗎？

生：我認為（2）中m的取值范圍應該是“m≠1”且“m≠0”.

師：區別在哪里？

生：“或”意味著只要滿足一個取值要求即可，而“且”則是兩個取值要求必須同時滿足.

師：對！大家今后考慮問題一定要全面，用語一定要規范、嚴謹.

設計意圖：對分式方程來講，有解是無解的逆向思維，因此完全可以放手給學生，讓其獨立完成對有解的探究學習.當分式方程有解時，分式方程無增根且分式方程轉化后的整式方程本身有解，這時，得到的m的取值應該是一個范圍而不再是確定的數值，學生可以從前后取值情況獲得體驗.同時，規范了“或”“且”這兩個邏輯用語的使用，利于學生嚴謹這一思維習慣的養成.

3.對應訓練，辨析本質

問題4：你能由分式方程解的情況，得到字母系數的取值嗎？

例：已知關于x的方程，則a取何值時，

（1）分式方程有增根？

（2）分式方程無解？

（3）分式方程有解？

設計意圖：圍繞一個分式方程，對有增根、無解、有解三種情況“并聯”討論，有利于在概念的比較辨析中鞏固所學知識，滲透分類討論思想，提升學生的學科素養.

4.當堂總結，反思提高

（1）經過本節課的學習，對分式方程有增根、無解、有解，你有了哪些新的認識？如何根據分式方程解的情況，確定分式方程中某些字母的取值？

（2）對分式方程有增根、無解、有解的討論離不開對求解過程的剖析，這對你今后的學習有何啟發？

設計意圖：一是引導學生構建本課的結構框架，形成全面、系統的知識網絡與思維體系；二是啟發學生回顧通過不斷深究求解過程從而解決疑難問題的做法，遷移了學習方法.

5.布置作業，拓展訓練

設計意圖：兩道作業題，既有對本課所學知識的進一步鞏固，又有一定的拓展推廣.第（1）題要求學生先猜想增根，進而求出具體的m的值，存在多解的情況.第（2）題中“解為正數”即分式方程是有解的，而且解為正數，可以轉化為不等式，從而解決問題.

三、教后反思與啟示

1.剖析求解過程，讓疑難問題的解答變得有章可循

以本課為例，在對分式方程進行求解時，有的學生僅僅注意到增根使得分式方程分母的值為0，卻忽視了其同時必須是分式方程轉化后的整式方程的解；在對分式方程無解進行討論時，有些學生僅僅注意到有增根這種情況，卻忽視了分式方程轉化后的整式方程本身也可能存在無解的情況.究其原因，學生對分式方程的求解過程分類討論不全面，不能完全站在客觀、理性的角度去分析問題.如果把整個求解過程比作一根長繩，對其解的情況的討論就好比順藤摸瓜式地去探尋繩子上每一個節點.在數學學習中，按部就班地對求解過程進行細致剖析，可以快捷地找到問題的癥結所在，為一些疑難問題的解決提供了可以遵循的思維路線，使得學生的思維有了著陸點，從而大大地提升了解題的效率.

2.強化過程教學，是實現學生深度學習的有效手段

深度是需要有過程保證的，無法想象一個簡略的學習過程會是深度學習，因此在設計深度學習的時候，要充分豐富知識的發生過程，以讓學生的思維有足夠的空間.以分式方程的求解為例，有的學生能比較熟練地求得方程的解，但根據解的情況討論字母系數的取值時不知如何下手.學生在解方程時確實是一步步按照規范要求去做，卻為何仍然不能舉一反三，做到靈活應用？究其原因，教師教的往往只是解分式方程的“一般套路”，學生學到的也只是一個固定模式，對求解過程中的每一步鮮有深入的考究.以問題3的（2）為例，在解分式方程的第一步去分母時就要考慮“x-2”的值可能等于0的問題，這便是增根的由來；同時，在將整式方程“（1-m）x=2”化為“”時首先要考慮“1-m”的值可能等于0的問題，這便是整式方程無解產生的地方，同時導致分式方程無解.實踐證明，設計基于過程體驗與探究的教學，注重問題導向，強化遷移意識，通過豐富的變式實例，有效地促進了學生深度學習.

3.通過教學重心下移，實現了教學過程的由空到實

分式方程解的有關問題，廣泛存在于學生的學習之中，然而如何進行教學設計，進而最大限度地解決學生學習的困難卻是一個不小的挑戰.為了使更多的學生有所收獲，就要讓教學重心下移，把思考的任務下放給學生，充分給予學生思考的空間與展示自我的機會，拋開問題本身的繁雜抽象，從充實強化具體的過程教學入手，促使學生在不斷豐富的過程中勇敢探究，學習過程便實現了由空到實的目的.本節課在探究對增根的認識時，先讓學生從大膽猜想開始，在初步建立認知沖突后進行實際求解驗證，最后對主要結論進行總結升華，進而實現了教學過程的豐實與學生核心素養的提升.