分析學情預設點評，引領交流自主探究
——以“三角形的高、角平分線及中線”的教學實踐為例

江蘇省興化市邊城學校 朱篩東

數學學科核心素養是對抽象的數學概念、科學的推理過程和模型化的知識建模等基本數學思想的概括和詮釋.特別是對抽象的數學概念的詮釋，在課堂教學中尤為重要.筆者對近期所執教的“三角形的高、角平分線及中線”這節課深有感悟.本文從教學設計、課堂環節預設、課后反思等方面來分析學情，預設點評，引領交流和自主探究，與同行們進行探討與交流.

一、從學情預設教學過程的引導方向

在預設教學過程的導學案時，考慮到學生剛剛建立三角形的三邊、三角的概念，必須抓住這樣的學情實際，所以筆者讓學生在課前準備了剪刀和一些紙板，讓學生親歷剪裁、折紙、畫圖等實踐過程，來對三角形的高、角平分線及中線概念進行認知，從而激發學生探究知識的興趣.在掌握基本概念之后，讓學生自主探究用尺規等較為準確地作出三角形三邊的高，觀察三條線的特點，繼續探究三角形的三條角平分線、三條邊的中線，觀察三條線的特點.通過親身經歷作圖的過程，領會數學幾何圖形蘊含的規律性，從而激發學生追求數學知識的欲望，以及敢于探究新知的創新能力.

二、教學流程：預設教學過程的導學案

閱讀：閱讀學案給出的相關內容并與同桌進行交流.

整理：引導學生從概念、圖形、符號語言的角度分析、掌握三角形中三種重要概念，將相關內容填寫在導學案上.

活動：

活動1：剪裁三角形并折紙，分別折出三角形的一條高.

預設質疑1：所有三角形的三條高都能通過折紙的方法折出來嗎？

活動2：在導學案相應的位置上作出所給出的三角形的三條高.見圖1（三角形分別為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）.

預設質疑2：對于銳角三角形，可以直接作出三角形的三條高，而直角三角形的三條高在哪里？鈍角三角形的三條高又在哪里？

預設質疑3：仔細觀察，說明所作的三個三角形的三條高所在直線的位置關系.

預設解疑：任意三角形的三條高都交于一點，只不過銳角三角形三條高的交點在三角形內部，直角三角形三條高的交點為三角形的直角頂點，鈍角三角形三條高的交點在三角形的外部.

圖1

活動2：在導學案相應的位置上作出所給出的三角形的三條中線，見圖1.

預設質疑1：這三個屬于不同類型的三角形，它們的中線在哪里？

預設質疑2：這三條中線的位置是怎樣的？三角形的一條中線把三角形分成的兩部分的面積又是怎樣的？

預設解疑：三個不同類型的三角形的三條中線都在三角形內部，并交于一點；三角形的一條中線把三角形分成兩個面積相等的三角形.

活動3：用類似的方法探究三條角平分線.（預設質疑和解疑不再細說）

例題引導：

例1請作出圖2中△ABC的邊BC上的高.

預設目的：防止學生將垂足找在線段BC上.∠B為鈍角，BC邊上的高應該在BC的反向延長線上.通過例題強化理解畫高時的兩個注意點：一是哪個點是起點，二是垂直于哪條邊（所在的直線）.

圖2

圖3

例2在小學的時候，我們已經知道三角形三個內角之和是180°.如圖3，在△ABC中，BE、CD分別平分∠ABC和∠ACB.

（1）若∠A=72°，求∠BOC的度數；

（2）若∠BOC=136°，求∠A的度數；

（3）根據（1）和（2）的結果，試判斷∠BOC與∠A的數量關系，并說明理由.

預設目的：這是一道經典的以三角形的角平分線為載體的例題，其中蘊含著由特殊到一般的辯證思想，案例是通過三角形的兩條內角平分線，探究其夾角與第三個內角之間的關系.不妨讓學生進一步思考：三角形的一個外角平分線、一個內角平分線與第三個內角之間的關系，三角形的兩外角平分線與第三個內角的關系，等等.

練習鞏固，略.

小結作業，略.

三、對課堂教學生成的部分過程的反思

教學實錄：講解三角形的中線部分.

教師示范說明三角形的中線的特征.讓學生用紙板剪裁三角形、折中線，然后在導學案相應的位置上作出所給出的三角形的三條中線.

師：三角形的中線應該如何定義？概念中給出的連接兩點的線段與過兩點的直線有什么區別和聯系？

生：三角形的中線是連接一個頂點和它對邊的中點的線段，與過兩點的直線有著本質的不同，兩點連線代表的是線段，有一定的長度，直線是無限延伸的，不能確定長度.（綜合多名學生的回答所得）

師：注意現在所學習的中線是三角形中重要的線段，但在解決問題時需要用規范、簡練的數學語言去說理和表達，現在讓我們一起整理一下三角形的中線中的數學語言.

引導學生總結，注意通過PPT逐一展示.

三角形的中線：

描述概念：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段是三角形的中線.

直觀圖形：見圖4.

圖4

師：好了，這部分知識已經弄清楚了.請再看不同的三角形三條中線的位置有何特點.

生：三角形的三條中線都在三角形內部（與三角形的高可能不一樣），且它們交于一點（與三角形的高一樣），這個交點在三角形內部（與三角形的高可能不一樣）.

教學反思：通過上述課堂教學生成的部分過程的實錄，筆者有以下感悟：

（1）初中生的心里特征就是對探究的知識具有興趣.筆者讓學生在課前準備了剪刀和一些紙板，讓學生親歷剪裁、折紙、畫圖等實踐過程來對三角形的高、角平分線及中線概念進行認知，就是為了驅動學生探究知識的熱情.

（2）自然學科都有著自己規范的語言.簡明扼要的表達是數學語言核心素養，用語言文字完整地表達它，就有可能是長篇大論了，其內容也可能含糊不清.上述案例中，師生一起整理三角形的中線，其中特別強調了數學語言的表達方式，旨在引導學生重視數學語言的表達.同時體現了對于同一概念的三種不同表征形式，這充分說明了數學概念在學生心中的表征往往是多元化的，這種多元化對于概念的正確理解是舉足輕重的，它們之間是彼此滲透的.

（3）幾何問題需要重視推理表達.初中階段學生構建幾何體系經歷從直觀到理性的過程，他們從圖形中學會以直觀、猜想、合情推理等逐漸走向說理、證明、思辨.在以上案例中，筆者不是圖形作法的簡單的描述重現，而是強調數學語言及其簡單推理運用，是一種從直觀到理性的認知.如“教學實錄”的交流過程中，雙邊活動“三角形的中線應該如何定義？概念中給出的連接兩點的線段與過兩點的直線有什么區別和聯系”對問題進行拓展，為學生向縱深探究指明了方向.教師創設質疑情境，讓學生經歷生疑、探疑、釋疑、解疑這一過程，充分體現了教師的工作重心是引導、傾聽、答疑，這樣才能讓學生達到更好的學習效果.

總之，教學相長.通過三角形的高、角平分線及中線的教學實踐，筆者深知教知識容易，而教好知識是很難的.數學理論性強，博大精深，學生的認知水平較低，難以從直觀思維走向形象思維，需要教師的呵護和引導.本節課的創設目的就在于此.因此，本文從課堂預設開始到課堂生成過程實錄，再到教后有感而發，目的在于與各位同仁再次研討對初中學科素養的深化.