2019年臺州中考數學第16題解法分析與再探究

浙江省寧波市鎮海蛟川書院 劉繼華

一、試題呈現

（2019年臺州）如圖1，直線l1∥l2∥l3，A、B、C分別為l1、l2、l3上的動點，連接AB、BC、AC，線段AC交直線l2于點D.設直線l1、l2之間的距離為m，直線l2、l3之間的距離為n，若∠ABC=90°，BD=4，且，則m+n的最大值為___________.

圖1

圖2

二、解法展示

1.構造相似，利用函數求最值

解法1：如圖2，過點B作PQ⊥l2交l1于點P，交l3于點Q，過點A作AF⊥l1交l2于點E，交l3于點F.

設AP=x，則EB=FQ=x.又BD=4，則DE=4-x.

2.利用斜大于直求最值

解法2：如圖3，延長AB交l3于點E，作△BCE的中線BO.

圖3

圖4

3.構造輔助圓求最值

解法3：如圖4，延長AB交l3于點E，構造過C、B、E三點的⊙O.由∠CBE=90°，得OE為直徑.

同解法2可得CE=10，則點B在半徑為5的半圓CBE上運動，點B到l3距離的最大值即為n的最大值，當⊙O與l2相切時，nmax=5.

4.數形結合，以數解形

解法4：如圖5，以B為原點建立平面直角坐標系.

由∠ABC=90°，得kAB·kBC=-1，則=-1，則pq=6a2①.

由BD=4，得點D（-4，0）.

由kAD=kCD，得，則3p+2q=-20 ②.

圖5

圖6

三、試題變式

1.條件與結論互換變式

變式1：如圖6，其他條件與原試題相同，若∠ABC=90°，m=2，n=3，則BD的最小值為___________.

思路點撥：如圖7，延長AB交l3于點E，構造過C、B、E三點的⊙O.

圖7

2.改變條件變式

表1

現以①和②為例：

變式2：如圖8，將“A、B、C分別為l1、l2、l3上的動點”變為“A，B，C分別為l2，l3，l1上的動點”，“BD=4”變為“AD=4”，其他條件、問題與原試題相同.

圖8

圖9

思路點撥：如圖9，當⊙O與l3相切時

變式3：如圖10，將“∠ABC=90°”變為“∠ABC=60°”，其他條件與問題和原試題相同.

思路點撥：方法1：如圖11，延長AB交l3于點E，構造過C、B、E三點的⊙O，連接OC、OE，作OH⊥l3交⊙O于點G.

圖11

由l2∥l3，得

易得CE=10.

因為∠ABC=60°，所以∠CBE=120°，∠COE=120°，∠OCE=∠OEC=30°，CH=HE=5，OH=則CO=，點B在半徑為的弧CBE上運動.

點B到l3距離的最大值，即為n的最大值.

當⊙O與l2相切時，點B與G重合，則，故

方法2：事實上，不難發現，當⊙O與l2相切時，△CBE為等腰三角形，，此時n=

3.結論一般化

如圖10，其他條件與原試題相同，若∠ABC=θ，BD=a，且=t，則m+n的最大值為___________.

思路點撥：由變式3的方法2，可得

四、探究反思

1.試題解讀，實現整體把控

本題以平行線、直角三角形為背景，考查了平行線的性質、特殊三角形的性質與判定、相似、圓的基本性質等核心知識.以往以此圖為背景的中考試題，如2013年廣東深圳數學中考第13題、2013年海南省中考第14題，圖形是固定的，一般利用特殊三角形、相似三角形、平行線等相關知識即可解決，但這道題巧妙融入運動觀點，涉及的思想方法更加豐富，滲透了函數思想、方程思想、轉化思想、數形結合思想等重要思想方法，使不同能力的學生對試題感悟及解法達到不同水平，“使不同的人在數學上得到不同的發展”.

2.解法反思，積累解題經驗

有些學生疑惑為什么別人能想出多種解法，我卻一種也想不出.波利亞解題表的精髓就是聯想，教師要充分發揮解題表的輻射功能.這道題的突破口就是∠ABC=90°，這個條件使人聯想到的方法是直角三角形、相似、圓、勾股定理，k1·k2=-1等.

解法1是常規解法，圖形中有直角這一關鍵條件，學生在已有學習經驗積累基礎上，比較容易聯想到一線三直角，所以輔助線的產生水到渠成，接下來是將邊表示出來，當遇到長度未知的線段時，自然想到用字母表示相關線段長度，發展了學生的符號意識，通過相似建立起了兩個變量之間的對應關系，函數思想自然而然產生.

圖12

圖13

解法2與解法3思維要求比較高.直接求最值的困難使學生萌發轉化的思想，直角這一特殊條件，容易使人聯想到構造直角三角形，構造輔助圓，將m+n的最大值轉化為先求n的最大值.

在各類解法中，解法2、解法3解法簡潔，值得思考的是，在后續變式中，采用了解法3，構造輔助圓，因為這一解法更能觸類旁通，體現實質.例如，當∠ABC=60°時，利用解法2斜大于直，如圖12，作△BCE的中線BM，BM的長度是個變量，此種方法看似不適用了，這是因為這種添輔助線的方法沒有理解問題本質，若要用解法2，需要構造過C、B、E三點的輔助圓⊙O，連接BO，作ON⊥l2于點N，當ON=BO時，OH為定值，HN最大.

解法4是解析法，是高中方法，適合一小部分初中優秀學生，僅供參考.如果教師在平時教學中拋磚引玉，必然會激發這部分學生的探究欲望.

3.變式教學，提升思維品質

每道中考題都是經過專家精心命制的，如果能細細品味，潛心探究，一定會有意猶未盡之感.作為一線教師，在平時教學中，應該挖掘每道題的潛在價值，變式教學是一種很好的途徑.以這道中考題為例，通過條件和結論互換、改變條件、結論一般化等方式進行變式，使學生從多角度、多渠道思考問題，感受條件與條件、條件與結論之間的聯系，更深刻地理解問題本質，提升學生的思維能力.通過變式，使學生進一步感悟不同的解法，并逐步內化成為屬于他們的自然解法，提升解題能力.