一題多解，殊途同歸

江蘇省如皋市江安鎮江安實驗學校 高 飛

新課程標準指出，教師應激發學生的興趣，通過問題的牽引，促使學生思考，使每個學生都能得個性化發展.一題多解面向全體學生，對學生個性化發展具有重要作用，特別是幾何問題，有相當一部分學生喜歡數學，就在于幾何圖形的變換無窮.對多解的追求，使他們津津樂道，激發了他們思維的靈活性，下面，讓我們一起見證一題多解給我們帶來的快樂.

問題1：如圖1，在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，∠D=90°，且已知BC=2，CD=3，試求AB、AD的長度.

圖1

圖2

類型1：構造特殊直角三角形

解法1：如圖2，延長AD、BC交于點E.

因為∠B=90°，∠A=60°，根據三角形內角和為180°，得∠E=30°.

因為∠ADC=∠CDE=90°，CD=3，根據在直角三角形中，30°的銳角所對直角邊等于斜邊的一半，得Rt△CED中，CE=2CD=6，根據勾股定理，得

BE=BC+CE=8.

在Rt△AEB中，根據直角三角形中，30°的銳角所對直角邊等于斜邊的一半，得AE=2AB.根據勾股定理，得AB2+BE2=AE2，即AB2+64=（2AB）2，則3AB2=64，解得.所以AE=2AB=，所以AD=AE-DE=

解法2：如圖3，延長AB、CD交于點E.

∠A=60°，∠ABC=90°，∠D=90°，根據三角形內角和為180°，得∠E=30°，∠CBE=90°.

在Rt△BCE中，BC=2，根據直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，得CE=4.

所以DE=3+4=7.

根據直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，得AE=2AD=

圖3

圖4

類型2：將圖形分割為矩形與直角三角形

解法3：如圖4，過點D作DE⊥AB于點E，過點C作CF⊥DE于點F，垂足分別是點E、F.

因為DE⊥AB，CF⊥DE，∠B=90°，所以四邊形BCFE是矩形，所以EF=BC=2，BE=FC.

在Rt△AED中，∠A=60°，根據三角形內角和定理，得∠ADE=30°.根據直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，得AE=

∠CDF=90°-30°=60°，根據三角形內角和定理，得∠DCF=30°.

在Rt△DCF中，DC=3，根據直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，得根據勾股定理，得，所以

類型3：構造直角三角形和等邊三角形

解法4：如圖5，過點D作DF⊥AB于點F，作∠BCD的平分線CE交AB于點E，FD與CE相交于點O.

因為∠A=60°，∠B=90°，∠ADC=90°，根據四邊形內角和等于360°，得∠BCD=120°，根據三角形內角和定理，得∠ADF=30°，所以∠FDC=60°.

因為∠BCD的平分線CE交AB于點E，所以∠OCD=∠ECB=60°，所以三角形OCD是等邊三角形.又因為CD=3，所以OD=OC=CD=3.

在Rt△BCE中，根據三角形內角和定理，得∠BEC=30°，根據直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，得EC=2BC=4，所以EO=4-3=1，根據勾股定理，得

在Rt△OEF中，∠BEC=30°，根據直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，得根據勾股定理，得

圖5

圖6

問題2：如圖6，平行四邊形ABCD中，AD=2AB，點F、B、A、E在同一直線上，已知FB=AE=AB，試說明DF⊥CE.

類型1：利用等腰三角形的性質與判定

解法1：如圖6，四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形對邊平行且相等，得CB=AD，CD=AB，且CB∥AD，CD∥EF.

因為AD=2AB，FB=AE=AB，所以AD=AF，BC=BE，所以三角形AFD、三角形CBE都是等腰三角形.

根據等邊對等角，得∠1=∠F，∠2=∠E.

根據兩直線平行，內錯角相等，得∠3=∠F，∠4=∠E，所以∠1=∠3，∠2=∠4.

根據兩直線平行，同旁內角互補，得∠1+∠2+∠3+∠4=180°，所以2∠3+2∠4=180°，所以∠3+∠4=90°.

根據三角形內角和定理，得∠COD=90°，所以DF⊥CE.

類型2：利用平行四邊形的性質與判定

解法2：如圖7，連接MN、CF、BD、AC、DE.

四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形對邊平行且相等，得CB=AD，CD=AB，且CB∥AD，CD∥EF.

因為AD=2AB，FB=AE=AB，所以CD=FB，CD=AE.

根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得四邊形CDBF是平行四邊形，四邊形CDEA是平行四邊形.

根據平行四邊形對角線互相平分，得CN=BN，DM=AM.

因為AD=2AB，所以CN=CD=DM.

根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得四邊形CNMD是平行四邊形.

根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，得平行四邊形CNMD是菱形.

根據菱形的對角線互相垂直平分，得DF⊥CE.

圖7

圖8

類型3：利用三角形中位線定理

解法3：如圖8，連接BM、AN.

四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形對邊平行且相等，得CB=AD，CD=AB，且CB∥AD，CD∥EF.

根據兩直線平行，內錯角相等，得∠CDN=∠BFN，∠NBF=∠NCD.

因為AD=2AB，FB=AE=AB，所以CN=NB=AB=FB，則點A、F、N在以AF為直徑的同一個圓上，所以∠ANF=90°.

因為AB=AE，所以AN是△BCE的中位線.根據三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，得AN∥CE，所以DF⊥CE.

類型4：利用直角三角形的判定

解法4：如圖9，過點D作DG∥CE交BE的延長線于點G.

圖9

四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形對邊平行且相等，得CB=AD，CD=AB，且CB∥AD，CD∥EF.

根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，得四邊形CDGE是平行四邊形，所以CD=EG.

因為AD=2AB，FB=AE=AB，所以AD=AF=AG，所以點F、G、D在以FG為直徑的同一個圓上，所以∠FDG=90°.又因為DG∥CE，所以DF⊥CE.

總之，教師的教學應該建立在學生自身經驗、興趣與動機的基礎上，教師一味地講，學生只是被動接受，學生學到的是死知識.教師應讓學生自己發現問題，并有效探索問題，而一題多解為學生提供了一個交流互動的平臺，讓學生在做中學，在學中做，讓學生真正體會到了學習數學的樂趣.F