矩形性質的應用價值芻議

江蘇省連云港市新壩中學 周洪坦

數學家笛卡兒說：“數學是人類知識活動留下來最具威力的知識工具，是一些現象的根源，數學是不變的，是客觀存在的，上帝必以數學法則建造宇宙.”新課程標準指出，學生應學會在具體的情境中發現并提出問題，運用學過的定理、法則與概念解決相關問題，從而提高應用意識與實踐能力.矩形是初中階段研究的重要圖形，它具有一些特殊的性質，常與直角三角形、等腰三角形結合考查，在矩形性質的應用過程中，能使我們認識數學的抽象與嚴謹，體會數學的價值.

一、利用矩形性質求線段的長

矩形是特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的一切性質，還具有自己特殊的性質，即四個角都是直角，對角線相等.在矩形中求線段的長有兩個途徑：一是構造直角三角形利用勾股定理求線段的長，二是利用相似三角形對應邊成比例求線段的長.

例1如圖1，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取兩點E、F（點E在點F的左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上.

（1）求△PEF的邊長；

圖1

圖2

（2）如圖2，若△PEF的邊EF在線段BC上移動，PE、PF分別交AC于點G、H，求證：PH-BE=1.

解析：（1）如圖3，過點P作PQ⊥BC.

圖3

由△PEF是等邊三角形，得∠PFE=60°，PF=EF=2.

由∠PFE=∠ACB+∠FHC，得∠FHC=30°，則∠ACB=∠FHC，則FC=FH.

由PH+FH=2，BE+EF+FC=3，得PH-BE=1.

評注：本題在求PH與BE的差時，實際上建立了一個方程組，即然后兩個方程相減，可得PH-BE=1，較好地體現了方程的思想.

二、利用矩形的性質判定圖形的形狀

折疊矩形的一個角，使鄰邊重合，在矩形內得到面積最大的正方形；過矩形對角線的中點畫直線交矩形的兩邊，可得平行四邊形；過矩形對角線的中點作垂線可得菱形.在矩形內判定圖形的形狀，要利用矩形對邊平行且相等的性質，要利用四個角都是直角的性質.

例2如圖4，在矩形ABCD中，P是AD上一動點，O為BD的中點，連接PO并延長，交BC于點Q.

圖4

（1）求證：四邊形PBQD是平行四邊形.

（2）若AD=6cm，AB=4cm，點P從點A出發，以1cm/s的速度向點D運動（不與點D重合），設點P運動時間為ts，請用含t的代數式表示PD的長，并求出當t為何值時，四邊形PBQD是菱形，求出此時菱形的周長.

解析：（1）由四邊形ABCD是矩形，得AD∥BC，則∠PDO=∠QBO.

由O為BD的中點，得OB=OD.

（2）依題意得AP=tcm，則PD=（6-t）cm.

當四邊形PBQD是菱形時，PB=PD=（6-t）cm.

由四邊形ABCD是矩形，得∠A=90°.

在Rt△ABP中，AP2+AB2=BP2，AB=4，則t2+42=（6-t）2，解得，所以運動時間為時，四邊形PBQD是菱形.此時菱形的周長為

評注：“t為何值時，四邊形PBQD是菱形？”這句話相當于“四邊形PBQD是菱形時，求t的值”.在解答時，應從菱形出發，利用菱形的性質求出t的值.

三、利用矩形的性質求角度

因為矩形的四個角都是直角，所以作一個內角的平分線，可得45度的角，可得等腰直角三角形.在已知條件沒有角度的問題中求某個角的度數，一般有兩種解決辦法：一是證明這個角是等邊三角形的內角，那么它就是60度；二是證明這個角是等腰直角三角形的一個銳角，那么它就是45度.

例3如圖5，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交邊BC于點E，交邊DC的延長線于點F，以EC、CF為鄰邊作?ECFG，M是EF的中點，連接MC.

（1）求證：ME=MC；

（2）求∠BDM的度數.

解析：（1）由AF平分∠BAD，得∠BAF=∠DAF.

由四邊形ABCD是平行四邊形，得AD∥BC，AB∥CD，則∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，則∠CEF=∠CFE，則CE=CF.又四邊形ECFG是平行四邊形，則四邊形ECFG為菱形.

由四邊形ABCD是矩形，得∠ECF=90°，則菱形ECFG為正方形.

由EM=MF，得EM=MC.

圖5

圖6

（2）如圖6，連接BM.

四邊形ECFG為正方形.

由∠BAF=∠DAF，得BE=AB=DC.

由M為EF的中點，得∠CEM=∠ECM=45°，則∠BEM=∠DCM=135°.

∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°.

則△BMD是等腰直角三角形，則∠BDM=45°.

評注：當角平分線與平行線相遇時，就有等腰三角形出現，主要利用“兩直線平行，內錯角相等”和“等角對等邊”獲得證明.如本題“AB∥DF”與“AF平分∠BAD”結合，得到等腰三角形CEF.

四、利用矩形性質解分式方程

矩形的面積等于長乘寬，所以長=面積÷寬，寬=面積÷長.分式方程指分母中含有未知數的方程，所以把分式中的分子作為長方形的面積，分母作為長方形的長或寬時，矩形的要素與分式方程的要素之間就有了對應關系.

例4我們常用“去分母法”將分式方程轉化為整式方程，然而古代數學家斐波拉契在《計算數學》中運用“幾何代數”法，即運用面積關系將分式方程轉化為整式方程，從而求解分式方程的根.請同學們先閱讀材料，再解答問題：

解：如圖7，AB=10，CB=x，矩形ACGF和矩形CBED的面積均為36，GD=EH=3.于是，整個矩形ABHF的面積為3x+72，故，從而

圖7

圖8

【理解】如圖8，AB=x，BC=2，矩形ACDE的面積為60，矩形ABFH的面積為20，FI=5.請根據圖形特征完成下列問題：

（2）用“幾何代數”法解（1）中的方程.

解析：（1）由題意知

（2）由題意知矩形EHGD的面積=5（x+2），則矩形FBGC的面積=30-5x，從而AH=CG=

圖9

【嘗試】構造圖形，如圖9，AB=x，CA=x+2，矩形ABEF和矩形ACIG的面積均為60，，則BC=2，矩形FGHE與矩形BCIH的面積相等，則則CI=BH=，則矩形ACIG的面積又x＞0，解得x=6.

評注：解分式方程的關鍵是去分母，將分式方程轉化為整式方程.本題通過矩形面積，將分式方程轉化為整式方程，體現了分式的幾何意義.

教學活動是師生積極參與、交往互動的過程，較好效果的教學活動是學生與教師的統一，學習的主體是學生，教師是學習的組織者、服務者.要讓學生體會數學知識之間、數學與其他學科之間的聯系，增強學生分析、解決問題的能力.矩形性質的四個應用，體現了矩形與其他知識的聯系，通過問題的解決，有效增強了學生解決問題的能力.