在辨析中明理，在糾錯中提高

湖北省武漢第三寄宿中學(xué) 陳祖華

問題：對于題目“一段拋物線M∶y=-x（x-3）+c（0≤x≤3）與直線m：y=x+2有唯一公共點，若c為整數(shù)，確定所有c的值”，甲的結(jié)果是c=1，乙的結(jié)果是c=3或c=4，則（ ）.

A.甲的結(jié)果正確

B.乙的結(jié)果正確

C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確

D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確

這是2018年河北中考數(shù)學(xué)試題中的一道選擇題，我們在九年級一次考試中引用，發(fā)現(xiàn)錯誤率很高，引起了我們數(shù)學(xué)備課組的關(guān)注.一直以來，總讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)難學(xué)，作為教者的我們，在教學(xué)過程中是否尊重學(xué)科知識的規(guī)律？是否尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律？是否能讓教而不會的悲劇少重演？這些應(yīng)是我們長期深度思考的問題.為還原真相，現(xiàn)將課堂部分整理再現(xiàn)，以利于和各位同仁探討數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性，共同提高課堂的效率.

一、課堂過程再現(xiàn)

1.辨析之爭

由拋物線y=-x（x-3）+c（0≤x≤3）與直線y=x+2有唯一公共點，得Δ=b2-4ac=（-2）2-4（2-c）=4c-4=0，則c=1.所以選A.

生2：拋物線y=-x（x-3）+c（0≤x≤3）可以看作將拋物線y=-x（x-3）向上（c＞0）或向下（c＜0）平移|c|個單位得到的：

圖1

圖2

拋物線M∶y=-x（x-3）+c（0≤x≤3）與直線m∶y=x+2有唯一公共點，若c為整數(shù)，確定所有c的值的問題，可以直觀用圖1～5分別表示將拋物線向上平移1個單位、2個單位、3個單位、4個單位和5個單位而得到.其中圖2是向上平移2個單位的情況，與已知直線有2個公共點，不合要求，應(yīng)舍去.故c的值應(yīng)為1、3、4、5.

圖3

圖4

對于生1與生2的解答，如何評價？全班57人中有39人支持生1，占比68.4%，他們認(rèn)為按題意，生1已經(jīng)解答得很好，直接聯(lián)立方程，順理成章.但有27人，不能排除生2的解法錯誤，認(rèn)為生2利用平移直觀解釋了本題解的情況，在生1和生2的矛盾解答中無法判斷誰對誰錯.

圖5

在激烈的爭辯中，我在課堂中讓學(xué)生進行了小組互動學(xué)習(xí)，通過討論，有學(xué)生對生1的解法提出了批判：問題的關(guān)鍵是拋物線自變量的范圍起了作用，雖然此拋物線與直線有唯一公共點，但這個公共點可能不在所給的定義域內(nèi).此時，全班不自覺地響起了掌聲，生1解答的局限性得到明確.

2.“意外”收獲

當(dāng)全班學(xué)生還沉浸在生2解法的收獲之時，部分不服輸?shù)膶W(xué)生已開始了深入研究.

圖6

圖7

生4：（不依不饒并躍躍欲試）按生3的想法，我們不妨做些變式.由得x2-2x+2-c=0.我們可以將x2-2x+2-c=0看成的公共解的情況.即求拋物線y=x2-2x（0≤x≤3）與直線y=c-2（c為整數(shù)）的唯一公共點情況.我們可以利用圖7，顯然發(fā)現(xiàn)c-2的值為-1、0、1、2、3，得c的值為1、2、3、4、5.

3.“百花齊放”

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

其中圖10反映的是-c=-2，即c=2時的情況，不合題意，應(yīng)舍去，也可以得c的值為1、3、4、5.

圖14

圖15

圖16

圖17

圖18

圖19

圖20

圖21

圖22

不得不佩服學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.當(dāng)點燃了學(xué)生思維的火花，學(xué)生的創(chuàng)新能力、自主探究能力被成功喚醒，在這種積極的思維狀態(tài)下，就是難的問題他們也覺得簡單.通過變式，改變二次項和一次項的不同位置，從正向和逆向兩個方面，進行了全面變換，從本質(zhì)上解決此問題超出了教學(xué)的預(yù)設(shè).

二、意外的驚喜

有時候，當(dāng)一種方法被學(xué)生掌握并利用時，會帶來很多意外的驚喜，讓你感覺到學(xué)生實實在在的獲得感與進步，這時教育的效果才真正體現(xiàn)：

⑴當(dāng)a≤x≤a+1時，函數(shù)y=x2-2x+1的最小值為1，求a的值.

圖23

這是在解決了前面的問題后學(xué)生直接得出的結(jié)果.顯然點A、B即為y=1這條直線與已知拋物線y=x2-2x+1的交點，分a≤x≤a+1在拋物線對稱軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況，直接發(fā)現(xiàn)a+1=0或a=2，得a的值為-1或2.不得不說的是，這種題，過去講了很多，學(xué)生一直覺得難.

⑵如圖24，已知拋物線m∶y=-x2+bx+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C，其對稱軸為直線x=1，拋物線n經(jīng)過點A，與x軸交于另一點E（5，0），交y軸于點

①求出拋物線n的解析式.

②點M為拋物線n上一動點，作MN∥y軸，交拋物線m于點N，求點M自點A運動到點E的過程中，線段MN的最大值.

圖24

圖25

這道題很常規(guī)，自然可以用常規(guī)解法解決此問題.為呈現(xiàn)驚喜，只反饋學(xué)生給出的②的另解：依題意，MN=畫出這個函數(shù)的大致圖像，如圖25，圖中實線部分反映的就是動點M自點A運動到點E的過程，顯然在點P時對應(yīng)的函數(shù)值最大，此時x=5，得MN的最大值為12.

學(xué)生積極發(fā)言，認(rèn)真探討，不斷培養(yǎng)學(xué)生的能力定在情理之中.學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的一定是最好的，自己總結(jié)完成的一定是記憶深刻的.不僅解決了數(shù)學(xué)問題，還能變式拓展.

實際上，在教學(xué)過程中，為什么強調(diào)認(rèn)真預(yù)設(shè)？目的就在于能有很好的教學(xué)設(shè)計，只有充分預(yù)設(shè)，才能有美好的生成.我們強調(diào)過程性，強調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，避免結(jié)論性教學(xué)直接強加給學(xué)生，實際上這就是強化學(xué)生活動經(jīng)驗的過程.教育是慢的藝術(shù)，所有教師都應(yīng)在教學(xué)設(shè)計上精益求精，尋找適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ龑?dǎo)學(xué)生大膽進行有效探究，在探究中總結(jié)共性并積累解決問題的經(jīng)驗，這樣抽象的數(shù)學(xué)思想方法就在潛移默化中掌握運用了.

不去了解學(xué)生，不關(guān)心學(xué)生的訴求，會遠(yuǎn)離教育的本質(zhì).國家發(fā)布的中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)要求，希望處于教學(xué)一線的我們能把核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)質(zhì)量落實到各科教學(xué)中.在教學(xué)中回避滿堂灌，力求調(diào)用多感官運用在學(xué)習(xí)活動過程中.積極倡導(dǎo)啟發(fā)式、探究式、討論式、參與式教學(xué)，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新意識.在我們的課堂教學(xué)中能立刻行動起來，改變我們的教育觀念和教學(xué)方法，讓學(xué)生“學(xué)會、會學(xué)、樂學(xué)”.傾注一個教育者的愛心、恒心、耐心，在教育過程中，以愛為核心，以情做引線，讓學(xué)生享受成功的快樂.在我們的教育教學(xué)活動中，樹立全面發(fā)展觀念，樹立人人成才觀念，樹立多樣化人才觀念，樹立終身學(xué)習(xí)觀念，樹立系統(tǒng)培養(yǎng)觀念.深度學(xué)習(xí)，全面影響每一個學(xué)生.做學(xué)生成長道路上的關(guān)鍵引路人，一直是我們不懈的追求.