工程結構可靠度分析中統計矩法研究
——驗算點基本變量點位變化對結果影響討論

王培宇 （中南大學資源與安全工程學院，湖南 長沙 410000）

1 引言

工程結構可靠度分析是結構設計、安全評估的重要構成部分，將工程中的不定性因素以隨機變量形式表示，從概率角度對工程結構可靠度進行定量描述。[1]目前結構點的可靠度計算方法主要有：一次二階矩法、JC 法、驗算點法、蒙特卡羅（Monte-Carlo）法、隱式FORM法、統計矩法等[2]。

統計矩法是一種基于結構功能函數的統計矩計算可靠指標、失效概率的方法。統計矩法不需要考慮基本變量的概率分布，不需要考慮功能函數的顯、隱式形式，不需要考慮設計驗算點和反復迭代運算，是一種應用廣泛的可靠度計算方法[3]。

但在應用統計矩方法進行可靠度計算時，驗算點一般是按照功能函數中基本變量依次從左到右、從上到下的順序構建。本文將說明工程結構可靠度分析中統計矩法驗算點基本變量排列順序變化對可靠指標的影響。

2 統計矩法簡介

統計矩法求解結構可靠指標、失效概率，可分為兩部分：一是求解各驗算點的功能函數值，二是求解對應驗算點的試驗系數。然后通過各驗算點的功能函數值與對應驗算點的試驗系數可求解出可靠指標和失效概率[4]。

2.1 功能函數值求法

在工程結構可靠度分析統計矩法中Z=g（X1，X2，…，Xn）為功能函數，顯然Z也是隨機變量。

統計矩法驗算點形式普遍是按照功能函數中基本變量 Xi=（i=1,2，…，n）依次從左到右、從上到下的順序構建。統計矩法中在基本隨機變量定義域上分別對稱取兩個對稱點（xi1，xi2），一般取 xi1=μXi+σXi，xi2=μXi-。

按照統計矩法驗算點形式的普遍構建規律，一般統計矩法驗算點形式應為（x1，x2，…，xn）。對于 n 個基本隨機變量，則有2n個取值點，則取值點存在2n種組合方式，相應可求出2n個功能函數值。則統計矩法驗算點功能函數值為

2.2 試驗系數求法

試驗系數是由各基本隨機變量之間的相關系數求得，具體求法如下：

注：

①其中ρij是基本隨機變量Xi和Xj的相關系數。

②相關系數ρij的符號是基本隨機變量Xi和Xj符號的乘積。例如對于驗算點（μ1+σ1，μ2-σ2，μ1+σ1）所對應的功能函數值為p+-+，其中第二個下標的符號為“-”，第三個下標的符號為“+”，ij=（-）（+）=（-），則 ρ23為“-”。

2.3 可靠指標求法

3 驗算點基本變量點位變化影響證明

統計矩法驗算點形式普遍是按照功能函數中基本變量依次從左到右、從上到下的順序構建。

若驗算點基本隨機變量點位發生變化，也即驗算點基本隨機變量排列順序變化，對于n個基本變量，則有n！種驗算點形式。

根據數理證明中分析法思想[5]，若證明驗算點基本隨機變量點位變化對失效概率的影響，由（1）-（5）式，則只需證明驗算點基本隨機變量點位變化對可靠指標、失效概率產生影響。

3.1 驗算點形式對功能函數值的影響

若僅有3個基本隨機變量X1、X2、X3，且對應的均值與標準差分別為 μ1、μ2、μ3，σ1、σ2、σ2。

（x1，x2，x3）形式下驗算點共有 8 個如下：（μ1±σ1，μ2±σ2，μ3±σ3），并確定各驗算點對應功能函數值。

同理可以寫出其他形式驗算點得到的功能函數值，結果如下：

由結果（6）-（13）可知，驗算點基本隨機變量點位變化不會對對應功能函數值產生影響。推及至n個隨機變量，得到的結論依然成立。

可以如此理解，對固定功能函數，一個確定的驗算點不論點位如何變化，代入功能函數中，各變量的值都是固定不變的，變化的只是值的位置，不會對函數值產生影響。

3.2 驗算點形式對試驗系數的影響

若僅有 3 個基本隨機變量 X1、X2、X3，（x1，x2，x3）形式下各驗算點的試驗系數如下所示：

同理可以寫出其他形式驗算點得到的試驗系數，結果如下：

由以上得到的結果可知，驗算點基本隨機變量點位變化不會對對應試驗系數的值產生影響。推及至n個隨機變量，得到的結論依然成立。

當存在n個基本隨機變量，在點位發生變化時，只需證明各試驗系數中相關系數符號未曾發生變化，則試驗系數結果不受點位影響。

在基本隨機變量點位發生變化時，相應隨機變量前面的符號可隨之發生位置變化，也即確定的相關系數前的符號未發生變化。根據試驗系數定義式中相關系數的符號規定可知，相應試驗系數未發生變化。

3.3 驗算點形式對失效概率的影響

由3.1與3.2證明結論可知，驗算點基本隨機變量點位變化不會對功能函數值與對應試驗系數的值產生影響。

根據公式（1）-公式（3）可知，功能函數Z的原點矩、均值、方差均不發生變化，則根據公式（4）-公式（5）可知工程結構的可靠指標、失效概率也不發生變化。

因此，驗算點基本隨機變量點位變化不會對工程結構的可靠指標、失效概率產生影響。

4 結語

從3.1、3.2可以得知，驗算點基本隨機變量點位的變化，不會對功能函數值與相應的試驗系數的結果產生影響。也即點位變化影響的僅是功能函數值與相應的試驗系數位置的變化，對功能函數值與相應的試驗系數的對應關系、結果均不產生影響。

從3.3可以得知，驗算點基本隨機變量點位變化不會對工程結構的可靠指標、失效概率產生影響。

因此，在統計矩法中不必擔心因基本隨機變量點位變化所導致的結果差異，基本隨機變量點位變化不會對最終失效概率產生影響。