淺談利用空間直線參數(shù)的幾何意義求方程問題

張三華

【摘要】研究曲線或曲面的性質(zhì)，通常是幾何問題代數(shù)化，就是研究曲線或曲面方程的性質(zhì)，因此，如何求曲線或曲面方程顯得尤為重要.本文利用空間直線參數(shù)的幾何意義求方程問題，方法簡單，易于理解，計算量少.

【關(guān)鍵詞】參數(shù);幾何意義;球面;平面

求方程問題，通常是找出動點坐標(biāo)滿足的條件，從而求出方程;也可以找出確定方程的點的坐標(biāo)或待定參數(shù)，再寫出方程.在求點的坐標(biāo)或待定參數(shù)時，通常解三元或多元方程，甚至是二次方程，計算量大，容易出錯.利用空間直線參數(shù)的幾何意義求方程，在求點的坐標(biāo)時，可以把三元方程轉(zhuǎn)化為一元方程，把二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程來求解，這樣計算量少，容易理解，不易出錯.

一、利用空間直線參數(shù)的幾何意義求球面方程

球面方程有標(biāo)準(zhǔn)式方程和一般式方程.求球面的標(biāo)準(zhǔn)式方程就是確定球面的球心和半徑.在確定球心的坐標(biāo)時，通常解三元一次方程或三元二次方程，計算量大，容易出錯.利用空間直線參數(shù)的幾何意義，在求點的坐標(biāo)時，可以把三元方程轉(zhuǎn)化為一元方程，把二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程來求解，這樣大大減少了計算量.

例1 已知球面的半徑為7，而且和平面3x+6y+2z+21=0相切，切點為P（1，1，-15），求球面方程.

解 過點P（1，1，-15）作已知平面的垂線，其方程為

x-13=y-16=z+152，

把此直線的方向向量v={3，6，2}化為單位向量

v°=37，67，27，直線方程為

x-137=y-167=z+1527，

由題意和空間直線參數(shù)的幾何意義有，球心坐標(biāo)滿足：

x-137=y-167=z+1527=±7.

解之得球心為（4，7，-13），（-2，-5，-17），故所求的球面方程為

（x-4）2+（y-7）2+（z+13）2=49，（x+2）2+（y+5）2+（z+17）2=49.

二、利用空間直線參數(shù)的幾何意義求平面方程

平面方程有點位式、截距式、點法式、法式和一般式.在求平面方程時根據(jù)已知條件選擇不同形式求解.如果求平面的一般式方程，要解四元一次方程或四元二次方程.如果選擇平面的點位式或點法式求其方程，就要確定一點的坐標(biāo)，一般要解三元一次方程或三元二次方程.因此，選擇利用空間直線參數(shù)的幾何意義，解一元一次方程就可以確定該點的坐標(biāo)，從而寫出平面方程.

例2 已知平面π1：2x+6y-3z+10=0和點P（0，6，-1），求平面π2，使得點P到平面π1，π2的距離相等.

解 由已知有點P到平面π1的距離為7;過點P作平面π1的垂線，其方程為

x2=y-66=z+1-3，

把此直線的方向向量v={2，6，-3}化為單位向量

v°=27，67，-37，直線方程為

x27=y-667=z+1-37，

此直線與π1，π2的交點滿足：

x27=y-667=z+1-37=±7，

解之得點P1（-2，0，2），P2（2，12，-4）;

經(jīng)驗證P1（-2，0，2）在π1上，所以點P2（2，12，-4）在π2上，因此，所求平面的點法式方程為

2（x-2）+6（y-12）-3（z+4）=0，

整理化簡有

2x+6y-3z-88=0.

【參考文獻(xiàn)】

[1]呂林根，許子道.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]呂林根.解析幾何學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書[M].北京：高等教育出版社，2006.