關于異向思維在高等數學教學中應用的探討

張文鋼 張秋穎 李春桃

【摘要】異向思維在科學發現與發明過程中有其重要的地位，它是培養創造型人才的途徑之一，本文從高等數學解題教學出發，闡述了如何培養學生異向思維能力的方法.

【關鍵詞】高等數學;異向思維;培養

培養學生獨立思考，提高學生解題能力是高等數學教學中的一項非常重要的任務.異向思維與其他智力因素有著密切的聯系，它在科學發現與發明過程中，也有其舉足輕重的地位.因而，在高等數學解題的教學中，教師要注意培養學生的異向思維能力.這對啟迪學生的思維，發展智力有著不可低估的積極意義，是培養創造型人才的途徑之一.所謂異向思維，就是一種不循常理，善于變換，從不同角度來探求問題的解決辦法的思維方式.是創造性思維中一種極為重要的思維形式，它的特點是：富于創造性，思路不落俗套，善于標新立異，獨辟蹊徑;富于多向性，思路寬闊輻射，善于多方求索，不拘一格;富于靈活性，思路活潑多變，善于聯想推導，隨機應變.千方百計去完成所研究的中心課題，并在探索過程中尋求最佳方案.如何在高數解題教學中培養學生的異向思維能力呢？結合多年的教學實踐，談談筆者自己的幾點看法和認識.

一、提倡綜合分析，激發異向思維

傳統的解題教學的弊病主要表現在：課堂上講授的例題過多或片面地強調程式化和模式化，不僅達不到使學生鞏固、理解和運用所學知識的目的，而且在很大程度上阻礙和抑制了學生的思維活動.不可否認，學生在解題時思維僵化、刻板、呆滯等不良因素是大量存在的，這與教師的陳舊教學方式有著直接關系.因此，解題教學時，教師要盡量去克服“就題論題”的教學模式，不能忽視對學生的思維方法、方式的培養和訓練.不僅要發揮教師在課堂教學中的主導作用，更要發揮學生在課堂教學中的主體作用，把學生的解題活動變為思維活動，讓學生在問題的求解過程中從多個角度、多個層次去展開思維，使學生在解題過程中得到思維方式方法的訓練，啟迪并引導學生從觀察過渡到聯想，從有所發現到有所創造.

例如，證明x≠0時，ex>x+1.這是一道靈活性較強的題目，按照常規思維，學生將會按教材的內容，利用拉格朗日中值定理來證明：先做一函數，記為f（x）=ex-x-1，則f（0）=0，由拉格朗日中值定理知f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0），即f（x）=（eξ-1）x（其中ξ在0與x之間）.當x>0時，ξ>0，因此，（eξ-1）x>0，即f（x）>0;當x<0時，ξ<0，因此，（eξ-1）x>0，即f（x）>0;所以對x≠0時，總有f（x）=ex-x-1>0，即ex>x+1.證畢.

另有一部分學生則按教材的另一內容，利用函數的單調性來證明上述習題.證明如下：

記f（x）=ex-x-1，由于f′（x）=ex-1，當x<0時，f′（x）=ex-1<0，f（x）單調減少，則有f（x）>f（0）=0;當x>0時，f′（x）=ex-1>0，f（x）單調增加，則有f（x）>f（0）=0.故對x≠0時，總有f（x）=ex-x-1>0，即ex>x+1.證畢.

解題的任務是完成了，然而學生的創造性思維沒有得到很好的訓練與發揮，教師在這時應進一步給學生以鼓勵和巧妙的引導，讓他們通過自己的思考和努力來尋求解答上述習題的最快捷途徑.教師及時引導學生觀察ex在x=0的泰勒公式：ex=1+x+R1（x）=1+x+12eξx2（ξ在0與x之間），所以ex=1+x+12eξx2，當x=2時，12eξx2>0，故x≠0時，ex>x+1.證畢.

這樣更能拓展學生的思維，使其充分認識到“學海無涯”.

二、提倡一題多解，訓練異向思維

在教學實踐中我們深深地體會到，學生的異向思維能力主要靠有目的訓練和培養來提高，應當選好含有一題多解的典型習題，然后精心設計，啟發點撥，分析思路，這對培養學生的不屈不撓的創造精神將起著積極作用，我們不妨來看下題：

證明數列：x1=2，x2=2+2，…，xn=2+xn-1，…（根號取算術根）的極限存在并求出這個極限.

按照常規思維，學生將按“單調有界數列必有極限”這個定理來做，先證{xn}單調增加，因x2=2+x1>2=x1，不妨設xn>xn-1，則xn+1=2+xn>2+xn-1=xn，由數學歸納法可知{xn}單調增加.再證{xn}有上界，xn<2，由于x1<2，設xn<2，從而有xn+1=2+xn<2+2=2，即{xn}有上界，故數列{xn}極限存在.設 limn→∞xn=a，由等式xn+1=2+xn，兩邊取極限得a=2+a，解得a=2或a=-1（舍去），故 limn→∞xn=2.通過異向思維，教師向學生指出上題可以利用中學知識很簡潔地予以解決.由于x1=2=2cosπ22，

運用之妙，存于一心.當學生獲得正確的思維方向后，教師要明智地退到“二線”當“顧問”附之點撥，把學生的思路引往深處、高處.學生創造的智慧的火花，就會隨之迸發出來.

三、采用變式教學，培養異向思維

變式教學就是在教學中，變化地引用教材的內容和形式，從不同的角度，用不同的方法進行教學，在變式教學中，必然迫使學生不斷更換應用知識的方位和方式，加快學生的思維節奏，使學生的大腦處于高速運轉的狀態，在變中求異、求新.有助于發展學生的思維靈活性與廣闊性，以收到增強應變能力的良好效果.

如對一個重要極限，在學期末的復習時我們除了清楚教材中的傳統幾何證法之外，教師還可以用洛必達法則與麥克勞林公式來印證前面的結果.

四、展開課堂討論，發展異向思維

課堂教學中的討論，可以使學生從多種渠道認識問題、分析問題、發現問題、解決問題，達到有所創新，課堂教學離不開教師的講，更不能說講就是“灌”，問就是啟發，我們要明白，“講”是為“學”服務的，要以“講”導“學”.只有在教師的生動精辟的講解下，再加上學生通過熱烈的課堂討論，才能更好地提高學生學習的積極性和主動性，才能真正地做到印象深刻.例如，就函數展開為關于x的冪函數，讓學生展開討論，最后成功地解決了這道習題，下面我們就來看一看學生的創造性思維的全過程.

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