高等代數(shù)課程教學探究

耿俊

【摘要】本文通過研究內(nèi)積向量空間中任意兩個線性子空間的投影與反射乘積的可交換性，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的知識創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù);實例探究;創(chuàng)新能力

高等代數(shù)是高等院校數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學、信息與計算科學以及統(tǒng)計學等專業(yè)開設(shè)的一門核心基礎(chǔ)課程，該課程對培養(yǎng)學生的抽象思維、邏輯推理、空間直觀、運算能力具有重要作用，鑒于其高度的抽象性和邏輯的嚴謹性，學生很難真正領(lǐng)會到代數(shù)的思想方法，更不容易激發(fā)學生探究新知的興趣.因此，在教學過程中，如何培養(yǎng)學生的知識創(chuàng)新能力，是值得我們探索的問題.本文通過探討投影與反射乘積的交換性，使學生意識到創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力的重要性.

設(shè)l1和l2是R2中兩條直線，P是R2上的任意一點.考慮P點先以l1為軸反射，然后反射點再以l2為軸反射的變換rl2l1與P點先以l2為軸反射，然后反射點再以l1為軸反射的變換rl1l2.試問：滿足什么條件，反射rl2l1和rl1l2的效果相同？顯然，當且僅當l1⊥l2或l1=l2時，這兩種反射的效果相同.同樣，可以研究R3中任意一點對R3的直線、平面或一條直線與一個平面混合情況反射的順序.

下面，我們將上述問題的探討推廣到一般內(nèi)積向量空間中的任意兩個線性子空間上.

一、子空間上的投影

設(shè)U是一個內(nèi)積向量空間，V是U的線性子空間.對u∈U，u可以唯一分解成u=pV（u）+u′，其中pV（u）∈V是u到V上的投影，u′⊥V，即U=VV⊥.同時，投影變換pV滿足下列基本性質(zhì)[1，2]：

通過上述實例分析可知，在高等代數(shù)課程的教學中，教師要準確把握教學內(nèi)容，深刻理解知識的來龍去脈，揭示課程的本質(zhì)的有機聯(lián)系，這樣既可以讓學生鞏固基礎(chǔ)知識，又能夠提高學生分析問題的能力，進而調(diào)動學習積極性，培養(yǎng)學生的知識創(chuàng)新能力.

【參考文獻】

[1]王艷.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].北京：北京理工大學出版社，2015.

[2]戴維C.萊.線性代數(shù)及其應(yīng)用：第3版[M].北京：電子工業(yè)出版社，2016.

[3]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[4]丘維聲.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[5]劉炳初.泛函分析：第3版[M].北京：科學出版社，2016.