淺談小學數學中的雞兔同籠的問題

陳弘

【摘要】雞兔同籠是中國古代就有的名題，本文淺析在小學數學中所涉及的雞兔同籠問題，并結合較多的案例和練習題進行鞏固加深概念，繼而設計到多種不同的方式方法解決該問題.

【關鍵詞】雞兔同籠;解題技巧與方法;解方程

雞兔同籠是我國古代比較有名也很有趣的一類題.大約在1500年前，古書籍中就記載了此類相關的有趣的問題.有本書中是這樣寫的：“今有雉兔同在一籠，其中上有三十五個頭，下面有九十四足，問雉兔各有幾何？”這四句話的大概意思就是：有不定量的雞和兔子被關在同一個鐵籠里，然而從上面看的話，有35個頭;但是從下面數的話，有94只腳.那么問籠中有幾只雞和兔子.

一、典型案例及解決方法

雞兔同籠問題從小學到初中會有多種不同的方式解決，而且方法不同涉及的思維方式也不同，但不變的是，都是讓同學們在腦中設想、構建假設的模型這一過程中體會到數學的魅力[1]，進而逐漸地提高自身思維、解題思路.按照教材安排來講，本屆知識被放在六年級教材最后一節，主要目的是為了開拓學生的思想視野、培養數學建模的初級能力.

在古書中有這么一種被叫作“砍足”或“斷足”法，基本步驟如下：

兔數（94÷2）-35=12（只），

雞數35-12=23（只）.

這一思路比較新奇，到后來這種思維方法叫化歸法.化歸法的意義就在于，先不采取直接的分析，而是把題中已知的條件或問題進行合理變形，轉化，最終達到把它歸成某個已經解決的問題.除此之外，還有其解題方法來看雞兔同籠問題，公式總結來看有如下幾種方法：

方法1：總體（兔子的腳數×總的個數-總的腳數）÷（兔子的腳數-雞的腳數）=雞的總只數，

即總共的只數-雞的只數=兔子的只數.

方法2：分類（總的腳數-雞的腳數×總的只數）÷（兔子的腳數-雞的腳數）=兔子的總數，

總的只數-兔子的只數=雞的總只數.

方法3：分類（總的腳數÷2）-總的頭數=兔子的只數，

總的只數-兔子的只數=雞的只數.

這種方法是解決問題此類問題比較常見的形式，主要是為了學生剛接觸此類問題時，漸漸地找到其中隱藏的不同規律，并且盡可能地利用現有的規律來解決問題.這方法本身是一個由特例到普遍的代表，或者是由形象化到抽象的，但是，這種方法仍舊有較多的不足和局限，特別是考試的時候，需要占用較多的時間，大大降低了做題的效率和進度.但是值得注意的是，雖然此方法有諸多弊端，但不僅是一個思考到實驗再到確認的過程，提高此方法的效率，不斷演變出新的方法解決問題，是教學的主要目的，也能夠提高學生化解難題的能力.

二、思維擴展型解題技巧

假設在一個籠子中共有46個頭，共有128個腳，那么雞和兔子各有幾只？

解析 假設46只都是兔子，那么應該一共有4×46=184只腳，但是這個和已知相關題目給出的128只腳多了184-128=56只腳.那么假設，如果用一只雞來換一只兔子，相比要減少4-2=2只腳.但是46只兔里應該換幾只雞才能使差數就沒有呢？顯然，56÷2=28，要用28只雞，去換28只兔子就可以了.所以，雞一共有的數就是28，相反兔子的總數是46-28=18.

解 （1）雞一共有多少只？

（4×6-128）÷（4-2）=28（只）.

（2）那么相反，兔子有多少只？

46-28=18（只）.

此類解體的基本關系是：雞的總數=（每只兔子腳數×兔子總數-實際的腳數）÷（每只兔子的腳數-每只雞的腳數），

兔的總數=雞和兔總數-雞的數量，

當然，反過來看也是可以的.

（3）一元一次方程

解：設兔有x只，根據總數來看雞的數量就是有（35-x）只.

4x+2（35-x）=94.

（4）二元一次方程

解：設雞有x只，兔有y只.

x+y=35，2x+4y=94.

對教師在教授“雞兔同籠”這一類數學問題時，一定要創新發展新的思維方式，重點偏向于，引導學生通過思考、假設、驗證、推理等綜合的手段來解決問題.其次，教師還要正確認識“雞兔同籠”問題，在教學的領域方面，以簡單、容易理解的形式，在課堂上教授，并且達到最好的效果.再者，在學生已有的思想、理論、知識的基礎上，仔細認真的體會和感受，多形式多方法的數學思想，引導每一名學生，在有限的時間內，充分體會數學分析法，在分析和解決問題中的重要性和重要意義，并且盡可能讓更多的學生能夠從研究、思考雞兔同籠問題，而得到的經驗與思考方式，運用到其他問題中，深刻地體會到數學的重要影響.

三、總 結

綜上所述，教材中引入“雞兔同籠”此類開放性的問題，用不同的創新思維方式解決，同時也滿足了不同學生的需求，意在注重學生的全面發展.這一類問題，主要在于讓每個同學切實的體驗設想，經過自己的猜測試驗后得出結論，不僅有利于提高協作的能力，也可以大大的促進思想的轉變.

【參考文獻】

[1]郜舒竹.“雞兔同籠”算法源流[J].教學月刊小學版（數學），2012（Z2）：26-29.