Unity3D中的最短旋轉研究

李俊龍 郭仁春 姜檬 王志淳

摘? ?要：首先，文章介紹了剛體最短旋轉的概念，剛體從一個方位旋轉到另一個方位的過程中，可以有無限種方式，在這些方式中存在一種方式，繞某一軸旋轉一次就能到達指定方位，并且該角在﹣180°～180°之間，稱這樣的旋轉方式為最短旋轉。其次，給出最短旋轉的數學表達式，即兩個方位角的四元數之比。在Unity 3D中，表示剛體方位的參數分別是歐拉角和四元數。文章采用具體實例驗證最短旋轉與四元數的關系，給出了尋找最短旋轉的解決方案。

關鍵詞：Unity 3D;最短旋轉;四元數

在Unity 3D中，實現物體旋轉有多種方式，如旋轉矩陣、歐拉角和四元數等[1]。旋轉需要兩個基本參量軸和角，物體從一個方位旋轉到另一個方位可以采用多次改變軸和角的方式，依次旋轉。其中，有一種旋轉方式是只繞一個軸旋轉一次就能達到指定方位，且旋轉角度在﹣180°～180°之間，稱這樣的旋轉方式為最短旋轉。這個定義由于沒有其他文獻支持，因此本文為便于理解，采用最短旋轉的說法。

任意指定兩個方位，要找出其中的最短旋轉并不是一件容易的事。本文將給出最短旋轉的數學描述以及在Unity 3D中實現最短旋轉的方法。

1? ? 最短旋轉的數學描述

剛體的運動包括平動和轉動。描述剛體的空間位置，用三維空間坐標點（x，y，z）表示，在Unity 3D中有3個基本坐標系，分別是世界坐標系、慣性坐標系與本地坐標系。相應的，描述剛體的旋轉狀態，即方位，是本地坐標系與慣性坐標系所形成的角度變化，采用歐拉角（α，β，γ）來描述。由于本文不涉及平移，因此為方便討論，將慣性坐標系和世界坐標系重合。

眾所周知，“兩點之間線段最短”，同樣兩個方位之間也存在類似的關系，即最短旋轉，兩點之間的距離用兩點位置之差來描述。相應的，兩個方位之間的最短旋轉用兩個方位的四元數之比來描述。

如果方位a的四元數為q1，方位b的四元數為q2，剛體從方位a旋轉到方位b的最短旋轉的四元數為q，則q=q2÷q1，一般寫成q= q2×q1-1

設四元數q的4個分量分別是（x，y，z，w），該四元數隱含了旋轉軸向量n和旋轉角θ，設軸向量n的3個分量為（nx，ny，nz）。一般將軸n和角θ寫成“軸角對”的形式，即（n， θ）=（ nx， ny， nz， θ）。四元數q=（x， y， z， w） 與軸角對（n， θ）=（ nx， ny， nz， θ）之間的關系為：

在Unity 3D中，改變歐拉角和改變四元數是兩種基本的旋轉方式，Unity 3D提供了Lerp和Slerp兩種插值函數，在兩個方位之間進行采樣插值。對歐拉角的Lerp插值，很難實現最短旋轉，而四元數Slerp函數插值則非常容易實現最短旋轉，下面通過例子來進行驗證。

2? ? 在Unity3D中改變歐拉角實現旋轉

在Unity 3D中，制作一個空物體，命名為a，該物體位于世界坐標系的原點位置，在其下面放置一個立方體Cube和一個小球Sphere，調整立方體和小球的大小和位置，如圖1所示，讓小球位于立方體的一個角點。

將該段代碼拖拽到物體x上，將場景中的物體a和b拖放到代碼的公共變量卡槽a和b上，代碼中的Vector3.Lerp是系統提供的插值函數，包括3個參數：起始向量a的歐拉角、結束向量b的歐拉角、插值t在0～1的取值，運行結果如圖4所示。

從圖4可以看到，物體x上的小球畫出了一條奇怪的軌跡，說明用歐拉角插值不能實現最短旋轉。

3? ? 在Unity3D中改變四元數實現最短旋轉

代碼中q1和q2分別是a， b的四元數，Slerp是在兩個四元數之間進行插值，再次運行，結果如圖5所示。通過觀察可以看出，物體x繞某一固定軸一次旋轉到了指定位置，實現了最短旋轉。

在圖5中可以清楚地看出剛體繞軸n旋轉了θ角。這個旋轉過程用語言可以描述為：一個剛體從初始方位為a，其歐拉角為（-20，-30，9），旋轉到末方位b，歐拉角為（15，80，60），找到軸角對（n， θ）實現最短旋轉。方位a和b的四元數q1，q2可以通過各自的歐拉角求出，計算公式可參考蘇超凡等[2]的研究，手工計算結果如下：

4? ? 結語

仿照最短距離，本文給出了最短旋轉的概念并給出了最短旋轉的數學描述，即兩個方位的四元數的比值。在Unity 3D中，通過修改四元數很容易實現最短旋轉，并能夠直觀地給出旋轉軸和角，對理解四元數在Unity 3D中的應用具有重要作用。

[參考文獻]

[1]戈洪瑤，郭仁春.基于Unity 3D的歐拉角實現對物體旋轉的應用[J].湖北農機化，2019（13）：119-121.

[2]蘇超凡，郭仁春.Unity 3D中歐拉角與四元數關系的研究[J].計算機科學與應用，2019（5）：890-895.