淺議高中生“數學運算”核心素養的培養

紀暉

【摘要】作為數學學科核心素養的一個基本方面，“數學運算”素養對學生的數學學習及發展尤其重要，因為具備良好的運算素養是學好數學的基礎性條件.向量的數量積運算作為一種含有方向因素的特殊運算，一方面，對學生運算素養的要求較高;另一方面，也是培養學生運算素養的良好載體.文章以之為例探討了在實際教學中如何兼顧學生數學運算素養的培養，希望對相關教學工作者有所助益.

【關鍵詞】核心素養;高中數學;向量數量積;教學實踐

核心素養是新一輪課程改革的亮點之一.作為數學學科核心素養的一個基本方面，“數學運算”素養對學生的數學學習及發展尤其重要，因為具備良好的運算素養是學好數學的基礎性條件，正如新課標中所明確指出的，“數學運算是數學活動的基本形式”，“是得到數學結果的重要手段”.而向量的數量積運算作為一種含有方向因素的特殊運算，一方面，對學生運算素養的要求較高;另一方面，也是培養學生運算素養的良好載體.這也是本文以之作為案例的原因所在.以下擬對此展開具體而較為細致的探討，希望對相關教學工作者有所助益.

一、切實明晰概念，奠定良好基礎

按照課標中的闡述，核心素養的本質是“必備品格和關鍵能力”，其養成無疑離不開大量的運算訓練.而實施運算活動的基礎無疑是對相關運算量概念的切實理解.由于向量數量積的運算是一種設計方向和角度的特殊運算，且較為抽象，更對學生的空間想象能力有一定要求，因而，概念的切實明晰就更顯得至關重要.在實際教學中，筆者是通過提出問題的方式引導學生思考、理解概念中隱含的要點，從而使其最終切實掌握概念.具體來說，在引出定義的基本描述后，首先提出如下兩個問題：“① 定義中兩個非零向量的夾角的范圍？② 向量數量積運算與線性運算有何區別？向量數量積大小的影響因素有哪些？”學生搞清了這兩個問題，也就掌握了定義的基本要點.然后則是在此基礎上理解投影的含義以及向量數量積的幾何意義，對此，在用多媒體直觀展示的同時提出如下問題：“① 向量數量積和投影均為數量，其何時為正，何時為負，是否可能為零？② 數量積a·b與b在a方向上的投影有何種關系？③ 在理解投影含義的基礎上敘述向量積的幾何意義.”可以看出，學生回答出以上問題后，對向量數量積的概念、要點及相關的需要注意的地方也就掌握得比較到位，從而為鍛煉核心素養奠定堅實基礎.

二、探究數量積的性質與運算律

掌握概念后，下一步就是學習向量數量積的性質和運算律.在這一環節中筆者仍是采取提出問題讓學生自主探究的方式，這主要是為了使學生充分發揮主觀能動性，在自主性的思考和探索過程中深入理解知識點并掌握其本質，從而留下深刻印象并快速實現知識內化，為核心素養的提升提供有利條件.該環節中提出的第一個問題側重基礎性：“① a⊥b的充分必要條件是？② a與b方向相同，則a·b=？方向相反時呢？③ a·a=？或|a|=？④ cosθ=？⑤|a·a|≤|a||b|，何時取等號？”在學生回答上述問題后即引出運算律：“大家知道實數乘法滿足交換率、結合律、分配率，那么類比于此，向量數量積的計算滿足什么樣的運算律呢？請結合剛才所掌握的知識自主推導出以下式子：a·b=b·a;（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）;（a+a）·c=a·c+b·c.”三個式子中第一個很簡單，多數學生可以完成;第二個，如果按照數量積的定義展開會出現困難，因而，筆者更給了適當的提示：分λ>0和λ<0兩種情況進行證明;第三個式子的證明難度較大，由筆者帶領學生一起完成.

三、運用所學知識解決具體問題

核心素養的養成需要經歷由知識向能力、由能力向素養的轉化過程，這一過程的實現離不開對知識的具體運用，即運用所學知識解決具體問題，正所謂實踐出真知，只有在用和練的過程中學生才能產生深刻感悟，獲得質的提升，最終形成素養.在實際的課堂教學中，教學要選取典型習題讓學生“趁熱打鐵”，及時鞏固強化，同時查漏補缺，并布置一定量的針對性訓練.在本文案例中，筆者對教材中的例題進行了補充和變式，出示了以下三道習題供學生練習：① （a+3b）·（2a-b）=？（a+2b）·（a-3b）=？② 已知|a|=6，|b|=4，（a+2b）·（a-3b）=-72，則a與b的夾角是多少？③ 已知向量a與b的夾角為45°，|a|=2，|b|=1，當向量λa+b與a+λb的夾角為銳角時，實數λ的取值范圍是多少？大體而言，這三道題難度逐漸加深，目的是既保證學生鞏固和強化對數量積概念的理解和運算律的應用，達到課標基本要求，為后面知識的學習奠定基礎，也為學生提供一定的拓展空間，促進其數學思維品質的發展，取得了較好的習題效果.

綜上所述，本文結合筆者教學實踐以向量數量積的教學為例，探討了在實際教學中如何兼顧學生數學運算素養的培養.事實上，核心素養的培養自引起人們關注以來，就是一個深廣兼具的研究課題，需要一線教師在教學實踐中不斷積極探索和深入總結.本文拋磚引玉，尚盼有識者指教.

【參考文獻】

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