幾何畫板在繪制正弦型函數(shù)圖像中的運(yùn)用

錢麗麗

【摘要】正弦型函數(shù)是三角函數(shù)部分很重要的一個(gè)內(nèi)容，它是三角函數(shù)知識點(diǎn)的一個(gè)內(nèi)容深化，但正弦型函數(shù)的圖像繪制比較煩瑣，所以在教學(xué)中往往被忽略，不利于學(xué)生對三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，幾何畫板則能很好地解決這一問題.本文中通過幾何畫板繪制正弦型函數(shù)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)圖像來演示函數(shù)圖像與它參數(shù)間的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】幾何畫板;正弦型函數(shù);圖像;參數(shù)

正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在物理和數(shù)學(xué)教學(xué)中都有著很重要的作用.函數(shù)中的參數(shù)A，ω，φ分別表示物理學(xué)上波的振幅、頻率和初相，在數(shù)學(xué)教學(xué)中它是在學(xué)習(xí)三角函數(shù)后知識點(diǎn)的一個(gè)延伸和補(bǔ)充，也是對三角函數(shù)認(rèn)識的一個(gè)深化，但正弦型函數(shù)圖像的繪制比較煩瑣，繪制過程往往被忽略，不利于學(xué)生對三角函數(shù)學(xué)習(xí).使用幾何畫板制作函數(shù)圖像有著明顯的優(yōu)勢，它能很容易地演示出參數(shù)與函數(shù)圖像間靜態(tài)或動(dòng)態(tài)的關(guān)系，且制作課件過程相對比較簡單，不需要掌握高深的編程技巧，文中所用的幾何畫板為5.06最強(qiáng)中文版，下面運(yùn)用幾何畫板的強(qiáng)大功能從函數(shù)圖像的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)制作來演示函數(shù)圖像與參數(shù)之間的關(guān)系.

一、用描點(diǎn)法作y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）函數(shù)圖像

引例 觀察摩天輪圖片，假設(shè)摩天輪的半徑為r，旋轉(zhuǎn)的角速度為ω弧度/秒，點(diǎn)P0表示座椅的初始位置，初始角度記為φ，當(dāng)輪子逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒后，點(diǎn)P0到達(dá)點(diǎn)P位置，則點(diǎn)P對應(yīng)的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為y=rsin（ωt+φ），作出當(dāng)r=20，ω=π12φ=π6時(shí)相應(yīng)的函數(shù)圖像.

分析 相應(yīng)函數(shù)圖像為y=20sinπ12t+π6，當(dāng)我們要作出一個(gè)不熟悉的函數(shù)圖像時(shí)，首先想到的是描點(diǎn)法，但用描點(diǎn)法手工繪制正弦函數(shù)型圖像，不僅計(jì)算量大，描點(diǎn)煩瑣，且極容易產(chǎn)生誤差，借助幾何畫板的強(qiáng)大功能則能輕松解決這些問題.下面給出具體繪制步驟：

（1）打開幾何畫板軟件，點(diǎn)擊菜單欄的“編輯/參數(shù)選項(xiàng)”，先把角的單位設(shè)置為“弧度”;

（2）建立直角坐標(biāo)系，“繪圖/定義坐標(biāo)系/隱藏網(wǎng)格”，隱藏網(wǎng)格是為了繪圖區(qū)顯得整潔清晰;

（3）制作表格，先設(shè)置參數(shù)及對應(yīng)函數(shù)值的初始值，并設(shè)定參數(shù)t的范圍在區(qū)間[-30，20]內(nèi)，取值間隔為0.5，計(jì)算出相應(yīng)的y值做成表格，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)繪制點(diǎn).“數(shù)據(jù)/新建參數(shù)”，設(shè)置t=的值為20，得“t=20”，“數(shù)據(jù)/計(jì)算”，輸入“20sinπ12t+π6”，結(jié)果顯示“20sinπ12t+π6=-10”，修改結(jié)果的標(biāo)簽為“y=-10”;

（4）同時(shí)選中“t=20”和“y=-10”，“數(shù)據(jù)/制表”，得到表格，選中“t=20”，“右擊/屬性/參數(shù)”，選擇鍵盤“+/-”調(diào)節(jié)以0.5單位，選中“t=20”和生成的表格，反復(fù)按“-”鍵，直至“t=-30”，繼續(xù)選中“t=-30”和表格，再反復(fù)按“+”鍵直至表格中的t=20，表格自動(dòng)生成;

（5）描點(diǎn)：“選中右擊表格/繪制表中數(shù)據(jù)”，即可在坐標(biāo)系中繪制出相應(yīng)的點(diǎn);

（6）連線：在t軸上畫一點(diǎn)A，“度量”出A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并“計(jì)算”出此時(shí)A點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值，選擇A點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)“繪制點(diǎn)”P（xA，yA），選中點(diǎn)P，“顯示/追蹤繪制的點(diǎn)”，然后雙向拖動(dòng)橫軸上的點(diǎn)A，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡把繪制的點(diǎn)連成一條曲線.

用描點(diǎn)法可作出正弦型函數(shù)的靜態(tài)圖，這里用到的列表、描點(diǎn)、連線的方法，也可以用到“五點(diǎn)法作正弦型函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像”，但要想知道正弦型函數(shù)中各參數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系及參數(shù)的改變對圖像的影響，必須制作動(dòng)態(tài)的函數(shù)圖像來討論.

二、制作y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的動(dòng)態(tài)圖像

從引例中看出，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的三個(gè)參數(shù)A，ω，φ分別表示摩天輪的半徑，旋轉(zhuǎn)的角速度以及動(dòng)點(diǎn)的初始角度，因此，制作函數(shù)圖像可以先制作一個(gè)半徑可調(diào)節(jié)的圓，圓半徑的變化即為A的變化，同時(shí)圓上取一動(dòng)點(diǎn)D，度量∠COD的大小作為初相位φ，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)來改變φ，而角速度的變化通過圓的旋轉(zhuǎn)快慢來演示相對比較困難，而且做出的函數(shù)圖像只能在一個(gè)周期內(nèi)，因此，在下面的繪制中，通過繪制線段條、改變線段的長度來體現(xiàn).

（1）“繪圖/定義坐標(biāo)系”，設(shè)置角度單位為弧度;

（2）繪制可調(diào)節(jié)大小的圓：過原點(diǎn)作線段OA（如果不限定振幅的最大值可以作射線），在OA上取一點(diǎn)B，選中O，B，“構(gòu)造/以圓心和圓周上的點(diǎn)”繪制圓O;“隱藏”線段OA，“度量”出OB的距離，標(biāo)簽改為“A”;

（3）設(shè)置“振幅增大/縮小”按鈕：選中點(diǎn)B，“編輯/操作類按鈕/動(dòng)畫”，方向：“向前/向后”，速度：其他/輸入0.1.其中方向“向前”表示“振幅增大”，“向后”表示“振幅縮小”，標(biāo)簽設(shè)置為“振幅增大”和“振幅縮小”;

（4）繪制初相位角：選中圓O和x軸，“構(gòu)造/交點(diǎn)”C，在圓周上任作一點(diǎn)D，選中點(diǎn)C和點(diǎn)D，構(gòu)造—線段，依次選中點(diǎn)C，O，D，“度量—角度”，標(biāo)簽改為“φ”;點(diǎn)擊畫板左側(cè)的標(biāo)記工具，在∠COD內(nèi)做出角的記號;

（5）設(shè)置“初相位角正/負(fù)”兩個(gè)按鈕：選擇點(diǎn)D，“編輯/操作類按鈕/動(dòng)畫”，方向：“逆時(shí)針/順時(shí)針”，速度：“中速”，標(biāo)簽設(shè)置為“初相位正角”和“初相位負(fù)角”;

（6）制作角速度條：選中x軸，“構(gòu)造/軸上的點(diǎn)”，標(biāo)記為E，選中點(diǎn)E和x軸，“構(gòu)造/垂線”，在垂線上取一點(diǎn)F，F(xiàn)在E點(diǎn)上方，“隱藏垂線”，“構(gòu)造”線段EF，在EF上取一點(diǎn)G，G可在線段EF之間運(yùn)動(dòng)，選中點(diǎn)E，G，“度量/距離”，標(biāo)簽“EG”改為“ω”;

（7）設(shè)置“角速度增大/減小”按鈕：選中點(diǎn)G，“編輯/操作類按鈕/動(dòng)畫”，方向：“向前/向后”，速度：其他/輸入0.02，標(biāo)簽設(shè)置為“角速度增大/減小”;

（8）在x軸上畫一點(diǎn)M，選中M，“度量/橫坐標(biāo)”;

（9）求出動(dòng)點(diǎn)M對應(yīng)的函數(shù)值：“數(shù)據(jù)/計(jì)算”，在彈出的小鍵盤上輸入“A的值”*sin（“ω的值”*“M點(diǎn)的橫坐標(biāo)”+“φ的值”），此時(shí)得到點(diǎn)M的函數(shù)值;

（10）繪制曲線上的動(dòng)點(diǎn)P：選中“M點(diǎn)的橫坐標(biāo)”和“M點(diǎn)的函數(shù)值”，“繪圖/繪制點(diǎn)P”;

（11）選中點(diǎn)P和點(diǎn)M，“構(gòu)造/軌跡”.

（12）隱藏不需要用到的點(diǎn)和線段.

（13）選擇“文件/保存”，文件名為“繪制正弦型函數(shù)動(dòng)態(tài)圖”.

正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像與性質(zhì)

如果不追究正弦型函數(shù)的參數(shù)來源，還可把三個(gè)參數(shù)都用三個(gè)不同的線段條表示出，用改變線段條的長短來改變參數(shù)值，其做法與上述做法中角速度的線段條做法相同.

三、繪制函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的彩色圖像

我們在改變初相位，觀察函數(shù)圖像平移的時(shí)候，往往會(huì)眼花繚亂，除了可在函數(shù)圖像上做一個(gè)標(biāo)記外，還可以對圖像進(jìn)行色彩設(shè)置以示區(qū)分.制作方法如下：

（1）打開文件名為“繪制正弦型函數(shù)動(dòng)態(tài)圖”，“顯示/顯示所有隱藏”;

（2）選中函數(shù)圖像，按“delete”鍵清除圖像，選中點(diǎn)P和“φ的值”，“顯示/顏色/參數(shù)”，彈出“顏色參數(shù)”對話框，在“參數(shù)范圍”欄兩個(gè)框中分別輸入“-3.14”和“3.14”，單擊“確定”，關(guān)閉對話框.

（3）依次選中點(diǎn)M和點(diǎn)P，“構(gòu)造/軌跡”，做出正弦型函數(shù)圖像;

（4）選中點(diǎn)D，“編輯/操作類按鈕/動(dòng)畫”，并把標(biāo)簽設(shè)置為“改變圖像顏色”

（5）選擇“文件/保存”，文件名為“繪制正弦型函數(shù)的彩色圖像”.

四、結(jié)束語

用幾何畫板繪制正弦型函數(shù)的方法很多，比如，在給出某個(gè)已知函數(shù)的情況下，可以利用幾何畫板中的函數(shù)功能直接畫出該函數(shù)的靜態(tài)圖像，還可以給正弦型函數(shù)的三個(gè)參數(shù)各設(shè)置一個(gè)初始值，選中參數(shù)，制作“動(dòng)畫”按鈕，輸入讓參數(shù)更改數(shù)據(jù)的范圍和間隔的時(shí)間，設(shè)定好了以后，控制按鈕，參數(shù)值會(huì)自動(dòng)更改，也可呈現(xiàn)出動(dòng)態(tài)效果，能很容易觀察參數(shù)變化與函數(shù)圖像變化的關(guān)系.因?yàn)橹谱鬟^程比較簡單，所以在此就不再另外演示了.

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