提高空間想象能力的“三個妙招”

蘇漢杰 田雪

數學中的空間想象能力是指對物體或圖形的形狀、大小、結構和位置關系的想象能力.從平面幾何到立體幾何，不論是圖形還是概念的拓展變化，對學生來講都是難點，很多學生不易建立空間概念，在頭腦中難以形成較為準確、直觀的幾何模型以及線面之間的位置關系.在立體幾何教學時可以通過下面“三個妙招”提高學生的空間想象能力.

一、借助實物、模型提高對空間圖形的認識能力

識別空間圖形不能完全憑直觀，特別是剛開始學習時更是這樣.因為空間圖形中的直觀圖不可能在平面內完全真實表現出相應的幾何實體，最多能看到一些元素的位置關系：如平行、相交、從屬等關系，而對垂直、線段的長短、角的大小關系，往往難于從圖形中直觀看到.可是，學生往往習慣憑圖形中的直觀地看到某些線段或角的不等而否認相等的事實，就不能完全直觀地看出它的相等的線段和角.因此，必須加強識圖的訓練，例如，在學習時對照身邊的實物（圖1、圖2），借助幾何模型，建立起實體與圖形之間的正確關系，逐步積累識別立體幾何直觀圖的經驗;在做習題時，根據題設條件和有關知識進行分析，去判斷圖形中的各種關系，這時，同樣可以借助身邊的一些實物或者自己做的幾何模型，來幫助理解題目中的立體幾何圖形和空間線面關系.

圖1

圖2

二、通過畫圖、識圖提高對空間圖形的理解能力

學生必須學會畫空間圖形的基本規律、方法和技巧，總結出畫各種基本圖形的規范和方法，這是畫復雜的空間圖形的基礎，要區分平面幾何與立體幾何圖形的差異（畫立體圖形最常用的方法是斜二測畫法），在掌握了畫圖的基本方法和技能的基礎上，應逐步減少實物、模型的運用，獨立畫一些復雜的直觀圖（比如，正六棱柱，簡單的組合體等），不斷鞏固提高畫空間圖形的技能技巧，對常見的幾何體，如長方體、正方體、三棱柱、三棱錐、四棱錐等，要能夠很快畫出簡圖，并力求準確美觀;對畫出的幾何直觀圖，要能夠準確的辨別幾何體以及其中的線面關系.在畫圖和識圖的過程中，學生對幾何體及空間線面關系的認識就會更加深入.

三、利用平面圖形和立體圖形的“轉化”提高邏輯思維能力

（一）平面到立體的“轉化”.學生在初中學習過平面幾何，并能夠根據學習的相關定理對一些簡單的平面幾何問題進行推證和求解.運用平面幾何有關知識作素材，通過聯想、對比與類比，使思維從平面拓展到空間，這是學好立體幾何的基礎和根源.

（二）立體到平面的“轉化”.立體幾何中的平行和垂直的證明，最終又要回到平面上來;異面直線成角、線面角、二面角最終都會轉化成平面上兩條直線成角問題來解決，平面圖形中的三角形和四邊形仍然是解決這些問題最常見的載體.這些例子說明，立體幾何問題不僅可以轉化為平面幾何問題來研究，而且其推理和解決問題的思想和方法也有很多相似之處.這也符合人們把復雜問題（立體幾何問題）轉化為簡單問題（平面幾何問題）來解決的思路方法.

（三）平面與立體的“不同”.在學習過程中，掌握平面幾何的概念、定理推廣到立體幾何，把立體幾何問題轉化為平面幾何問題來研究的思想方法的同時，要注意平面幾何與立體幾何中的有關概念、定理的區別和聯系.空間和平面圖形的概念和性質，有相同的，有類似的，也有不同的.例如，關于兩直線平行的定義，在平面和空間是完全一致的，而對垂直，不同點是在平面內必是相交垂直，而在空間可以是相交垂直，也可以是異面垂直;又如，命題“垂直于同一條直線的兩直線平行”在同一面內必成立，但在空間就不一定成立了（墻角的三條線就是兩兩垂直的），通過這樣的對比，能夠有效地糾正自己隨便將平面圖形搬到空間上來的錯誤，認識到平面與立體也有“不同”.