基于經驗，注重活動，挖掘本質，落實素養*
——以“函數模型及其應用”為例

南京航空航天大學附屬高級中學 吳 茹

南京航空航天大學附屬高級中學 孔德鵬

一、問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：在學習和應用數學的過程中，學生能發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學核心素養.數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力，以及情感態度與價值觀的綜合體現.對于高中數學核心素養，很多一線老師已經從單純的理論學習階段上升到探索實踐階段，大家都在思考采取哪些有效的措施來提升學生的數學核心素養.數學問題的解決是中學數學中極為重要的一個環節，其中數學問題既有純數學問題，又有與數學有關的實際問題，后者涉及一種重要的數學素養——數學建模.如何把實際問題轉化為一個數學問題，這是一種必要的數學素養.本文以“函數模型及其應用”為例，探討基于數學核心素養的主題教學整體設計問題.

二、基于數學核心素養下的教學設計

（一）教材要素分析

1.對教學內容的基本認識

函數模型及其應用是新課程標準必修課程系列主題二函數應用的內容，它是在學生學習了指數函數、對數函數和冪函數這三種函數模型的基礎上，進一步從實際問題抽象出來，利用已經學過的函數模型來解決實際應用題.同時，讓學生深入感受到函數是刻畫現實世界中自然規律的重要模型，進一步幫助學生加深對函數模型的理解與認識，循序漸進、不斷深入，為后面研究其他數學模型的應用打下基礎.

函數模型及其應用是數學應用于生活的重要體現，其思想價值在于用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界.在解決問題的同時提升學生的數學抽象、數學建模、數學運算、數據分析等數學核心素養.函數模型及其應用是提升學生數學核心素養的上好素材，所以設計好、上好這部分內容有重要的理論與實踐價值.

2.學情分析

學生在高中以前積累了較豐富的解決應用題的經驗，特別是利用一次函數、二次函數等解決實際問題.在高中預備知識與函數主題的學習中，學生積累了豐富的基本活動經驗，對如何研究函數及研究函數的哪些性質有了進一步的體會，這些為本節課繼續研究函數模型的應用做了鋪墊.

3.教學重難點分析

函數模型及其應用是高中課程中數學建模的第一課，為后續的學習起到了堅實的基礎地位作用.數學抽象建立函數模型既是本節課的重點也是本節課的難點.

（二）編制教學目標設計

（1）經過探究余額寶年收益問題，讓學生經歷用數學解決實際問題的全過程，深化理解應用題的解題過程與方法，提升學生數學抽象、數學建模素養；

（2）通過利用函數構建模型，解決大量的實際生活問題，提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，讓學生體會用數學的眼光看現實世界，進一步提升學生的邏輯推理、數學運算、數學建模等核心素養.

三、課堂實錄

（一）問題情境，引入課題

師：聽說余額寶的年化收益率高達4%（已取近似值），而且也相對安全.某人有一萬元存入余額寶中漲利息，多少年之后此人的錢能夠翻一番？大家試試看.

生1：設總錢數為y萬元，年數為x年，它們的關系是y=1.04x，x∈N*.令1.04x=2，解得所以需要18年，才能使錢翻一番.

師：其實這種題型就是我們之前學過的哪種題型？

生2：應用題.

師：這道題通過我們剛剛學過的指數函數就可以解決，進而幫助我們解決實際問題，這是今天我們要一起研究的《函數模型及其應用》.（板書）

設計意圖：通過學生熟悉的實際生活中的問題，提高學生深入了解的欲望，激發學生的求知欲，從而發展學生的思維能力.把學生的認知水平提升到另一個更高的水平，讓學生真正做到學以致用，提升學生的數學建模等核心素養.

（二）層層推進，深入探究

師：談到函數模型，我們以前學過哪些函數模型？

生3：一次函數、二次函數、反比例函數，還有我們剛剛學過的分段函數、指數函數、對數函數與冪函數.

師：建立函數模型對于我們剛剛解決的數學問題至關重要，它也是解決應用題特別有難度的一個環節，那么我們首先就來攻克這個難點.大家請看例1（選自高中數學教學參考書（數學必修1）（2017年版）第98頁例1）.

師：誰來說說答案？

生4：解：由題意可知：

師：請一位學生點評生4的解答.

生5：他注意到自變量的實際意義，也看到單位的不同，最終統一單位.

師：以后我們在做應用題時，一定注意：自變量要有實際意義及單位要統一.（板書）

師：我們已經初步解決建立函數模型這一難點，那么接下來，我們嘗試利用函數模型來解決一些實際問題，大家請看例2（選自高中數學教學參考書（數學必修1）（2017年版）第100頁練習2）.

（學生上黑板板演）

師：生6已經寫完，我們一起來看看.如果這道題目一共10分，你會給他幾分？

生7：給3分.沒有寫“解”扣1分；s1、s2和t沒有給出定義扣1分；在分段函數中，s2是有問題的，定義域為［0，16］，生6缺了［0，3］和［13，16］這兩段，扣5分；

師：嚴謹是數學學習的必要條件，以后我們不僅要好好審題，細節同樣要注意.現在我們一起把它補充完整.（將答案補全）

設計意圖：通過幾個具體的實際生活問題，進一步加深學生對數學建模的理解.例1是讓學生將實際問題進行數學抽象，利用函數關系來表達生活中的變量依存關系，提升學生數據分析核心素養.例2是一道行程問題，畫線段圖能有效幫助學生審清題意，同時自變量選擇的是慢車行駛時間，所以快車關于時間的表達式中的［13，16］這一段容易被學生忽略掉，這需要學生認真審題，仔細分析數據，在這個過程中，可以進一步提升學生直觀想象及邏輯推理等核心素養.

（三）總結歸納，建構概念

師：剛剛我們一起解決了兩道實際應用題，你是否能總結一下做應用題的一般流程？小組討論.

生8：先讀題，再建立函數關系，解一下，寫上答案.

師：總結到位，先審題，再建模，接下來解模，最后得到結論.

強調：（1）審題是前提；

（2）建模是關鍵，我們學過的數學模型有：方程、不等式、函數等.

設計意圖：通過前面幾個具體實例，讓學生總結出數學應用題的一般解題思路，完善數學知識框架，提高數學核心素養的起點.在整個教學過程中，設計出合理的問題串，讓學生經歷問題解決的過程，提升學生的數學探究能力.

（四）及時練習，鞏固提高

練習.（選自高中數學教學參考書（數學必修1）（2017年版）第100頁練習題第1題和第3題）

設計意圖：通過進一步動手操作，體會數學模型應用的廣泛性，從而更加深刻地理解函數模型及其應用，提高學生解決實際問題的能力，進一步提升學生數學建模、邏輯推理等數學核心素養.

（五）課堂小結，深化延伸

師：通過幾個實際問題的研究，我們發現通常按實際問題→建立數學模型→得到數學結果→解決實際問題的程序解決實際問題，其中建立數學模型是關鍵.

設計意圖：筆者通過對本節課的總結，讓學生不僅從知識層面上進行總結，還對獲取知識的過程進一步回顧與反思，使學生的思維能力得以提升.

四、兩點思考

本節課通過幾個具體實例的研究，使數學素養融入教學內容和教學過程，使數學建模、數學抽象等核心素養真正成為可以落實的教學目標.關于以發展學生數學學科核心素養為導向的數學教學，筆者有以下兩點思考.

（一）加強用數學語言表達世界，提升學生數學建模素養

數學建模是數學學科核心素養之一，是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.教師用好教材不等于教教材，要學會整合.對于新課尤其是抽象應用拓展類的課堂，要根據情況創設合適的情境，將數學問題融入一個學生感興趣或比較熟悉的場景中，然后發展學生的數學建模核心素養.在本案例的問題情境環節中，通過創設余額寶收益的情境，激發學生求知欲，啟發學生思考，引導學生探究問題的數學本質.在整個高中的數學課程中，通過大量的實際問題，建立一些基本數學模型，包括線性模型、二次曲線模型、指數函數模型、三角函數模型、參變數模型等.通過建立數學模型解決實際生活問題，讓學生有意識地用數學語言表達現實世界，讓學生感受“數學來源于生活，應用于生活”，學會用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界.培養學生學習數學的興趣，提升學生的實踐與創新能力.

（二）啟發引導，提高學生主動提出問題能力

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出：提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）.本節課從學生主動提出問題方面，筆者認為是比較成功的.在“創設情境，引入課題”環節，筆者讓學生幫助解決存款問題的整個過程，都由學生自己完成.學生在不斷提出問題、解決問題的過程中將問題解決.其實，這也是波利亞解題四步驟的體現與詮釋.在一定意義下，提出問題比解決問題更重要，提出問題的前提往往是用數學的眼光觀察事物.數學教學不僅要關注問題的分析、解決，更要關注問題的源頭，即關注問題的發現和提出.要解決一個自己不會做的問題，或者比較陌生的問題時，實際上處于“老虎吃天從何下口”的困難境地.要解決面前的問題，首先要主動提出問題，弄清條件是什么，問題是什么，厘清問題后，利用相關的知識和方法，將已知與所求建立聯系，分析并解決問題.培養學生提出問題的能力是一個長期的、循序漸進的過程，鼓勵學生提出問題、分析問題和解決問題.長此以往，學生就會養成提出問題、思考問題的習慣，從而激發學生主動學習的自覺性.

高中數學課堂不能局限于一兩道數學問題的解答，而要深入挖掘數學問題的育人價值，樹立以發展學生數學學科核心素養為導向的意識.在教學實踐中，我們要不斷探索和創新教學方式，引導學生會學數學、熱愛數學，促進學生實踐能力和創新意識的發展，感悟數學的科學價值與應用價值.