巧借定義妙轉化，多種思維齊突破
——2019年全國卷Ⅰ理第19題

江蘇省寶應縣曹甸高級中學 李兆江

直線與拋物線的位置關系是直線與圓錐曲線的位置關系中最特殊的一種情況，是解析幾何中綜合性較強、能力要求較高的內容之一，成為每年高考的考查重點和熱點之一，備受命題者青睞.2019年高考全國卷Ⅰ理科第19題，就是以熟悉的問題背景，常規的破解方法來設置問題，考查學生對直線與拋物線的位置關系的理解與掌握情況，涉及相關的數學知識與能力要求.

一、真題在線

【高考真題】（2019年全國卷Ⅰ理19）已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P.

（Ⅰ）若｜AF｜+｜BF｜=4，求l的方程；

本題以拋物線為問題背景，通過直線與拋物線的位置關系來展開，結合已知斜率的直線l與拋物線C及x軸的交點，借助已知條件中線段和｜AF｜+｜BF｜=4，以及平面向量的線性關系分別來求解直線l的方程與線段AB的長度問題，場景熟知，切入容易，難度適中，破解方法多樣.

二、真題解析

解析：（Ⅰ）方法1：（官方標答——定義轉化法）

可得9x2+12（t-1）x+4t2=0.

點評：與拋物線的焦點弦有關的弦長問題，經常考慮應用拋物線的定義來轉化與求解.通過利用拋物線的定義｜AF｜+｜BF｜=x1+x2+p，并結合已知條件確定x1+x2的值，為聯立直線與拋物線方程的函數與方程思維的應用起到化歸與轉化的目的.定義法處理拋物線問題或對應的圓錐曲線問題，是破解圓錐曲線問題中最為常見的思維方式之一.

方法2：（拋物線性質法）

設A（3a2，3a），B（3b2，3b）.

點評：與直線的斜率有關的問題經常借助點的坐標的設置，并利用直線的斜率公式加以轉化.而巧妙設出A（3a2，3a），B（3b2，3b），利用直線的斜率公式與拋物線的定義分別確定a+b與a2+b2的值，利用拋物線的性質確定直線AB的橫截距，為進一步確定直線l的方程指明方向.此種破解方法比較特殊，要巧妙借助直線AB的橫截距公式來處理.

（Ⅱ）方法1：（官方標答——坐標法1）

從而-3y2+y2=2，故y2=-1，y1=3.

點評：巧妙借助平面向量的線性關系得到y1=-3y2，同時借助直線與拋物線方程聯立，消去參數x得到關于y的一元二次方程，為進一步利用韋達定理與關系式y1=-3y2的聯系進行有效鏈接，從而破解兩點的坐標再求解線段的長度.在聯立方程過程中的消參，要有針對性，要結合題目條件加以合理選取，這樣可以有效簡化運算，提高解題效率.

方法2：（解方程組法）

可得9x2+12（t-1）x+4t2=0.

點評：本方法是官方標答（Ⅰ）中的方法1的延續，借助直線與拋物線方程的聯立，消去參數y得到關于x的一元二次方程，進而確定x1+x2與x1x2的關系式，再借助平面向量的線性關系可得y1=-3y2，利用直線的方程得到x1與x2的第三個關系式，通過求解方程組法確定對應的坐標值，再結合弦長公式求解線段的長度.

方法3：（坐標法2）

設A（3a2，3a），B（3b2，3b），由可得3a=-3·3b，即a=-3b.

點評：借助拋物線的基本性質，與問題（Ⅰ）中的方法2相對應，在其基礎上得到并利用已知條件，巧妙借助平面向量的線性關系得到a=-3b，從而聯立二元一次方程組來分別確定a、b的值，并結合點A、B的坐標，借助兩點間的距離公式來求解線段的長度問題.

方法4：（參數方程法）

三、規律總結

直線和拋物線的位置關系的相關問題，是以拋物線為載體，涉及諸如數（式）與形、形與形、數（式）與數（式）等轉化關系，經常還綜合平面向量、三角函數、不等式等相關知識，考查運算能力、邏輯推理能力、綜合分析能力和一些重要的數學思想方法，一直是高考的重點問題，而且常常以綜合題的形式出現，一般為中檔題和難題，在學習和復習的過程中要加以全面重視與重點突破.F