追根溯源，巧妙構造輔助函數解選擇壓軸題

廣東省廣州市天河中學 王翠娜

全國高考選擇題大多以函數壓軸.近兩年來，隨著使用全國卷的省份越來越多，我們不難發現，選擇題中以函數的導數為工具，利用函數的單調性解不等式或比較大小或求取值范圍的壓軸題已經成為各地模擬題的熱點.但是這類題目需要學生有敏銳的數學觀察能力和熟練的代數變形能力，成為學生學習和考試的難點.只有抓住問題的本質特征，才能從根本上解決問題.隨著新課程標準的實施，高考越來越重視考查學生的數學思維能力和核心素養，這更需要我們追根溯源，回歸根本.本文以微專題的形式談一談如何構造輔助函數解決問題.請看下面的題目：

1.（2018屆天河區一模理）設函數f（x）在R上存在導數f′（x），?x∈R，有f（-x）+f（x）=x2；當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜x；若f（4-m）-f（m）≥8-4m，則實數m的取值范圍為（ ）.

A.［-2，2］ B.［2，+∞）

C.［0，+∞） D.（-∞，-2］∪［2，+∞）

2.（2018屆天河區二模理）已知定義在（0，+∞）上的函數f（x），滿足：（1）f（x）＞0；（2）2f（x）＜f ′（x）＜3f（x）（其中f ′（x）是f（x）的導函數），則的取值范圍為（ ）.

第1題我校平均分為1.532，難度系數為0.307，第2題我校平均分為2.312，難度系數為0.4089.經過了一個學期的復習，這樣的題目也做過不少，平均分并沒有提高多少，況且里邊還存在一些同學碰運氣猜對的情況，真正會做的就更少了.根本原因是學生沒有抓住最本質的東西，不知道從哪里下手構造函數，甚至完全沒有思路.此類題的解題技巧是構造輔助函數，利用輔助函數的單調性、奇偶性，實現問題的轉化，從而使問題得到解決.而如何根據條件的結構特征構造一個可導函數是解決這類問題的關鍵.這也是全國高考題對能力考查的創新，本質上是視角的轉換.我們的復習就是要用創新應對創新，用轉換適應轉換.在試題創新背后，一定存在著穩定的東西.備考者要沿著命題者的思路回到原點，感受知識到能力的過程，把隱性的解題經驗顯性化、算法化.本文以探求最本質的根源，尋找最一般的解題思路為出發點，追根溯源，回歸根本.

一、追根溯源（基本導數公式）

公式1：設F（x）=f（x）±g（x），則F′（x）=f′（x）±g′（x）.

公式2：設F（x）=f（x）·g（x），

則F′（x）=f ′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）.

公式4：設F（x）=xf（x），則F′（x）=f（x）+xf′（x）.

公式6：設F（x）=xn·f（x），

則F′（x）=nxn-1f（x）+xn·f′（x）=xn-1［nf（x）+xf′（x）］.

公式8：設F（x）=ex·f（x），則F′（x）=ex［f（x）+f′（x）］.

二、變形拓展（規律總結）

1.若已知條件為f（x）+f′（x）的“加”型結構：

（1）f′（x）+g′（x）≥0，構造函數F（x）=f（x）+g（x）.

（2）f ′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）≥0，構造函數F（x）=f（x）·g（x）.

（3）f（x）+f′（x）≥0，構造函數F（x）=exf（x），［exf（x）］′=ex［f（x）+f′（x）］.

（4）f（x）+xf′（x）≥0，構造函數F（x）=xf（x），［xf（x）］′=f（x）+xf′（x）.

（5）xf′（x）+nf（x）≥0，構造函數F（x）=xn·f（x），［xn·f（x）］′=nxn-1f（x）+xn·f′（x）=xn-1［nf（x）+xf′（x）］.

2.若已知條件為f（x）-f′（x）的“減”型結構：

（1）f′（x）-g′（x）≥0，構造函數F（x）=f（x）-g（x）.

（2）f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，構造函數

以上是常用的構造技巧，但具體還要聯系已知條件和結論，結合f（x）和f′（x）的關系式，以及根據不等式的“形狀”適當變形來選擇構造形式.但一定要明確題目給出的f′（x）的關系式，這是我們要構造的函數導數中的一個因式，我們就是根據這個來思考問題的.請看下面幾個例子.

例1 定義在R上的可導函數f（x），其導函數f′（x）滿足f′（x）＞2x恒成立，則不等式f（4-x）+8x＜f（x）+16的解集為（ ）.

A.（2，+∞） B.（4，+∞）

C.（-∞，2） D.（-∞，4）

解析：學生不知道條件f ′（x）＞2x怎么用.其實根據f ′（x）＞2x，可構造函數g（x）=f（x）-x2，則g′（x）=f′（x）-2x＞0，g（x）在R上單調遞增.

g（4-x）=f（4-x）-（4-x）2=f（4-x）-16+8x-x2，所以不等式f（4-x）+8x＜f（x）+16?g（4-x）+16+x2＜f（x）+16?g（4-x）＜f（x）-x2=g（x）?4-x＜x，從而得解.特別注意求解的不等式與構造的輔助函數之間的關系.

例2 （2007年陜西卷理）已知f（x）是（0，+∞）上的非負可導函數，且xf ′（x）-f（x）≤0，對任意正數a，b，若a＜b，則（ ）.

A.bf（a）≤af（b） B.af（b）≤bf（a）

C.af（a）≤f（b） D.bf（b）≤f（a）

例3 已知定義在R 上的可導函數f（x）的導函數為f′（x），滿足f′（x）

A.（-2，+∞）B.（0，+∞）C.（1，+∞）D.（4，+∞）

例4 函數f（x）的定義域為（0，+∞），其導數為f′（x），且滿足f（x）>0，f（x）

解析：處理本題的關鍵是合理利用f（x）

例5 設函數f ′（x）是函數f（x）（x∈R）的導函數，f（0）=1，且3f（x）=f ′（x）-3，則4f（x）>f ′（x）的解集為（ ）.

解析：利用“減”型結構里的公式6，這里m=1，n=3，f ′（x）=3［f（x）+1］.構造函數g（x）=，所以g（x）為一個常數函數，且g（0）==2，所以g（x）=，即f（x）=2e3x-1，f′（x）=6e3x.因為4f（x）>f′（x），所以4（2e3x-1）>6e3x.所以e3x>2.所以lne3x>ln2，所以x>.故選B.

復習時可以采用微專題的形式，讓學生先從幾個簡單題入手，直接套公式，構造法的原理先掌握住，再靈活變形遷移，由易到難，思維提升，可以很好地提高學生的數學思維能力，取得較好的復習效果.

例6 已知奇函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），f′（x）為其導函數，且滿足以下條件：

以上幾題構造函數的過程，遵循高中數學課程標準的基本理念“倡導積極主動，勇于探索的學習方式”，可以讓學生對照公式自己構造出來，“讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識”.這幾題會做了，天河區一模和二模的題自然就不是問題了.從題目中“提煉”出反映數學本質的東西，從數學本質上思考，我們才能品味到它們的必然性！當學生看到類似的題目時，能有一種“一覽眾山小”的感覺，那么我們的復習就成功了.