過虛擬交班點的能量最優制導律

李晨迪，王江，李斌,*，何紹溟，張彤

1. 北京理工大學 宇航學院，北京 100081 2. 北京理工大學 無人機自主控制技術北京市重點實驗室，北京 100081 3. 北方華安工業集團，齊齊哈爾 161006

隨著現代軍事技術的發展，對精確制導武器的需求與日俱增，超視距導彈武器系統一般采用復合制導體制[1-3]。復合制導中，導彈由中制導轉為末制導時，交接班問題是實現精確制導的關鍵。為了使導引頭開機時順利截獲目標，實現中末制導交班，往往對此時導彈的位置等信息有一定要求[1]，為了滿足對導彈中末制導交班的彈道約束，本文研究過虛擬交班點的制導律，為導彈提供可靠的中末制導交班條件。

近年來，基于軌跡跟蹤的制導律在無人飛行器領域被廣泛研究[4-5]。根據跟蹤方式，軌跡跟蹤法可分為兩類：連續軌跡跟蹤和路徑點(彈道點)跟蹤。與連續軌跡跟蹤相比，路徑點跟蹤只需要選取有限個彈道特征點，通過使導彈經過選定的彈道點而得到期望彈道，計算量較小。連續軌跡跟蹤往往需要通過復雜計算實時得到待飛軌跡長度，或者基于虛擬目標進行軌跡跟蹤[6]。文獻[7]提出了一種兩點間線性二次最優軌跡跟蹤制導律，用于跟蹤兩個彈道點之間的直線，其路徑改變點同樣基于需用過載最小得到，但該制導律不是全局最優。文獻[8]提出了一種數值優化方法，使得軌跡跟蹤制導律的能量消耗最小，計算復雜度較高。文獻[9]以反艦導彈為應用背景，通過離線參數優化得到每個彈道點的最優邊界條件，例如角度和過載，從而在兩個彈道點之間采用最優攻擊角度制導律，得到了全局能量最優的軌跡跟蹤制導律。

有時，需要導彈以特定的終端落角對目標進行攻擊，以增強毀傷效果[10]，近年來考慮終端角度約束的制導律受到廣泛關注。文獻[11-12]通過求解含剩余飛行時間的線性二次最優控制方程得到含終端角度約束的最優制導律的一般形式。文獻[13]應用Schwarz不等式研究了帶落角約束的任意加權最優制導律，得到了制導律的一般表達式。文獻[14]針對高速/低速目標攔截問題，采用時變偏置角速率設計了一種三維聯合偏置比例導引律。文獻[15]研究了一種無剩余飛行時間的偏置比例導引律，在比例導引的基礎上加上角度約束偏置項，通過改變導彈過載實現終端角度約束。文獻[16]針對空地導彈具有終端角度約束的制導問題，提出了一種在有限時間內穩定的新型二階滑模變結構制導律。

路徑點跟蹤制導問題在每兩個相鄰路徑點之間可以看作一般的制導問題，因此近幾十年研究得到的一些經典導彈制導律同樣可以應用于路徑點跟蹤問題。對于不考慮制導動力學滯后的制導問題，無終端落角約束時，導航比為3的比例導引為最優制導律[17]，當考慮終端落角約束時，彈道成型制導律則成為最優制導律[18-20]。但是在多個彈道點之間連續采用上述制導律的全局能量消耗是否為最優尚未得到研究驗證[21]。基于此，本文將過虛擬交班點的精確制導問題視為路徑點跟蹤的特殊情況，即包括虛擬交班點與目標點兩個彈道點，以氣動力控制的導彈為研究對象，分別研究了無落角約束與考慮終端落角約束情況下的全局最優制導問題，推導出了解析解。最后，對非線性模型進行仿真，結果表明，與經典最優制導律相比，無落角約束與考慮終端落角約束的情況下，該制導律可以將控制能量消耗分別減小49%和22%。

1 運動模型建立

1.1 非線性運動模型

為方便描述，將虛擬交班點與目標落點視為兩個導彈需要經過的路徑點，記作Pi(i∈{1,2})，導彈與目標路徑點Pi之間的相對幾何關系如圖1所示。圖中：XIOYI為慣性坐標系；V和a分別為導彈速度與法向過載；θ為彈道傾角；ri、qi和σi分別為導彈與第i個目標路徑點之間的相對距離、彈目視線角和速度方向誤差角。

圖1 彈目相對運動關系
Fig.1 Missile-target engagement relationship

導彈與目標路徑點之間的相對運動方程為

(1)

由幾何關系有

σi=θ-qi

(2)

1.2 模型線性化

本文將基于線性模型推導最優制導律的解析解。引入參考坐標系，對建立的非線性運動學模型進行線性化。如圖1所示，將坐標系OXIYI繞原點旋轉qR角，得到參考坐標系OXRYR。令yi=yPi-yM為導彈與Pi之間垂直于XR軸方向的相對位移，由幾何知識，yi=0?ri=0。

在參考坐標系XROYR下，彈目相對運動方程可表示為

(3)

式中：vi、ai分別為導彈與Pi之間垂直于XR軸方向的相對速度與過載，由幾何關系可得

a⊥=acosσi

(4)

在工程實際當中，飛行彈道由無控段、中制導段與末制導段3部分組成，對于中制導段與末制導段，可在每段飛行過程中分別視為彈目視線角變化較小，因此通過選取合適的qR可以使qi-qR為小量。同時，在實際情況中，導彈速度方向誤差角σi也為小量。基于以上合理假設，式(3)可改寫為

(5)

記系統狀態向量為x=[x1,x2]T=[y1,v1,y2,v2]T，輸出向量為y=[y1,y2]T，線性化的系統狀態方程可以寫為

(6)

式中：

(7)

2 最優控制問題描述

為得到控制量的全局最優解，提出以下形式的性能指標：

(8)

式中：tf,i為導彈到達第i個路徑點的時刻。

本文研究的過虛擬交班點的固定目標最優控制問題可以表述如下。

問題1過定點的最優制導律問題

對線性化的系統(6)，解得使性能指標(8)取極小值的制導指令a，并滿足約束:

yi(tf,i)=0i∈{1,2}

(9)

問題2帶終端落角約束的過定點最優制導律問題

對于帶有終端落角約束的最優控制問題，在上述無落角約束情況下，需額外滿足約束

θ(tf,2)=θd

(10)

式中：θd為期望落角。

3 過定點的最優制導律設計

本節根據取控制能量最小的性能指標，選取零控脫靶量(ZEM)[19]作為唯一狀態變量，對系統進行變換，從而實現系統降階，對上述兩個最優控制問題進行推導，以得到最優制導律的解析解，并對其進行分析。

3.1 系統降階

為了方便對最優解的解析形式進行推導，對狀態向量進行坐標變換，使系統降階。以第i個點為例，進行變換

(11)

式中：變換矩陣Φi(tf,i,t)為

(12)

其中：tgo,i為導彈至第i個點的剩余飛行時間(time-to-go)，將式(12)代入式(11)可得

(13)

得到Zi即零控脫靶量，它表示從當前時刻起，導彈不再執行任何控制指令的情況下到達第i個點的脫靶量。

對式(13)求導可得

(14)

經過以上狀態變換，系統(6)由4階降為2階。

3.2 最優制導律設計

對于變換后的系統，最優控制問題1轉化為在相同性能指標下，對系統(14)求最優解，即找到適當的a使Zi盡快減小到0，同時控制能量最小。

根據ZEM的物理意義，新的系統狀態的終端約束為

Zi(tf,i)=0i∈{1,2}

(15)

根據線性系統理論，式(14)可改寫為

(16)

將式(15)代入式(16)，可得

(17)

定理1H為希爾伯特空間，{α1,α2,…,αn}為H中的一個線性無關集，c1,c2,…,cn為一組已知常數，在H中滿足約束條件(x|α1)=c1,(x|α2)=c2，…，(x|αn)=cn的所有解構成一個集合V，此時V是一個余維數為n的線性流型，若xmin∈V，并且具有最小范數，則有

bi滿足：

對于最優控制問題1，式(17)中a(τ)與tf,i-τ分別對應定理1中的x與αi，由定理1可得，含有拉格朗日乘子λi的最優解形式為

(18)

式中：拉格朗日乘子λi即定理1中的bi。

以t≤tf,1為例，求解拉格朗日乘子的表達式。將式(18)代入式(17)，可得

(19)

同理可以求得

(20)

定義λ=[λ1,λ2]T,Z=[Z1,Z2]T,由式(19)和式(20)可得

Z=Gλ

(21)

式中：

(22)

由式(21)可得

λ=G-1Z

(23)

將式(23)代入式(18)，可最終得到

(24)

3.3 討論與分析

為了更好地理解上述推導得到的制導律，進行如下分析與討論。

討論1用tf,i=t+tgo,i計算到達時間，當導彈位于路徑點附近時，可以視為得到精確的到達時間。

討論2考慮到實際應用問題，對式(24)中的Z作如下處理：由于qi-qR為小量，所以有

(25)

求導得

(26)

由式(26)可得

(27)

在實際工程應用中，由彈目視線角速率、速度和彈目距離等可測物理量，可計算得到制導指令。

(28)

這與經典的比例導引制導律(Proportional Navigation Guidance, PNG)形式一致。根據文獻[18]，在只有一個目標點時，導航比為3的比例導引為最優制導律，與式(28)一致。進一步可以得出結論，僅在相鄰兩點之間連續采用比例導引并不是能量最優的，因為比例導引只保證當前段彈道能量最優，沒有終端落角約束，因此總的控制能量消耗與本文提出的最優制導律不同。

討論4將t≤tf,1時刻的過載指令表達式展開得

(29)

將式(27)代入式(29)，可得

(30)

式中:

(31)

式(30)與含有偏置項的比例導引(BPN)形式一致，將其看作導航比隨時間變化的BPN，根據文獻[14]有

(32)

式中：q0為與初始條件有關的常數。

(33)

此時，制導指令為

(34)

由于

(35)

可得

(36)

4 考慮終端落角約束的過定點最優制導律設計

在一些情況下，需要導彈以一定的終端落角攻擊目標，以達到更好的毀傷效果。本節在第3節的基礎上加入終端落角約束，對有落角約束的過定點最優制導律進行設計。

4.1 最優制導律設計

經過系統降階后，第2節中的最優控制問題2轉化為，對系統(14)求最優解，使目標函數達到極小值，并在滿足約束(15)的同時，還滿足以下終端落角約束:

θ(tf,2)=θd

(37)

由線性系統理論可得

(38)

過載指令由兩部分組成:

a=aZ+aθ

(39)

式中：aZ、aθ分別為與ZEM和彈道傾角相關的調節項。根據定理1，有

(40)

同樣地，以t≤tf,1為例求解拉格朗日乘子，將式(39)代入式(38)可得

(41)

由式(41)可得

(42)

式中：G1∈R2×2,G12∈R2×1,G21∈R1×2，由3.2節可知

(43)

下面求解G12、G21、G2:

(44)

可得

(45)

由式(42)～式(45)可以解得拉格朗日乘子為

(46)

可得過載指令為

(47)

當tf,1

(48)

過載指令為

(49)

4.2 討論與分析

注意到當tf,1

(50)

對式(1)的第3項積分可得

(51)

將式(5)代入式(51)，可得

(52)

又由式(13)可得

(53)

將式(52)、式(53)代入式(50)，可得

(54)

與經典的彈道成型制導律(Trajectory Shaping Guidance, TSG)形式一致。在只有一個目標點，考慮終端落角約束的制導問題中，TSG是能量最優的[18]。

5 仿真驗證

本節以非線性系統為研究對象，對提出的制導律進行仿真驗證，并與經典最優制導律進行對比。飛行彈道包括無控段、中制導段與末制導段，導彈在40 s啟控后進入中制導段，經過虛擬交班點進入末制導段，仿真參數如表1所示。

表1 仿真參數Table 1 Simulation Index

5.1 無落角約束的最優制導律仿真

本節針對過虛擬交班點的無落角約束最優制導律(24)進行仿真驗證，并在中制導與末制導段分別采用最優比例導引，即導航比為3的比例導引律，與本文提出的最優制導律進行對比。仿真結果如圖2所示。

圖2分別給出了2種制導律下的彈道、彈道傾角、過載指令和控制能量曲線。圖2(a)中五角星表示需要經過的路徑點1(虛擬交班點位置)與路徑點2(目標)，可看出兩種制導律都可以準確經過目標路徑點，但通過對比2條彈道曲線末制導段發現，本文提出的最優制導律比最優比例導引制導律彈道更為平直；對比圖2(c)，該最優制導律在末制導階段的過載指令遠小于最優比例導引。且最優比例導引的過載指令在虛擬交班點處出現跳變，本文提出的制導律下過載指令為連續的，最大需用過載不超過分段比例導引的36%。圖2(d)為2種制導律下的控制能量消耗，可以看出，本文提出的最優制導律能量消耗大大減少，比最優比例導引所需的能量消耗減少49%。

圖2 無落角約束情況下的仿真結果對比
Fig.2 Comparison of simulation results without angle constraint

5.2 考慮終端落角約束的最優制導律仿真

本節對考慮終端落角約束的最優制導律進行仿真驗證。導彈期望落角選取為-90°。采用PNG與TSG切換的制導律進行對比，即導彈在啟控后采用PNG，經過虛擬交班點進入末制導階段后，由PNG切換為TSG以實現期望落角。仿真結果對比如圖3所示。

對比發現，圖3(a)與圖2(a)第一段彈道相同，而最優制導律在加入終端落角約束后，末制導段彈道軌跡與彈道傾角變化較為明顯，因為本文提出的最優制導律在開始時就將落角約束考慮進去，從而得到全局最優的制導律。圖3(c)給出了兩種制導律下的過載指令，可以看到在經過虛擬交班點時，PNG+TSG下過載指令與無落角約束時一樣出現了不連續性，而本文提出的最優制導律為連續的。圖3(d)為2種制導律所消耗的控制能量，對比發現本文提出的制導律所需控制能量比無落角約束時明顯增大，但仍比PNG+TSG下能量消耗減少22%。

圖3 考慮終端落角約束情況下的仿真結果對比
Fig.3 Comparison of simulation results with angle constraint

6 結 論

1) 本文在希爾伯特空間基于最優化理論，提出了一種針對固定目標，過虛擬交班點的全局最優制導律。在無落角約束下，能準確經過虛擬交班點，到達固定目標點，且全局所需控制能量比最優比例導引制導律減少了49%。

2) 在最優制導律的基礎上考慮終端落角約束，推導出含終端落角約束的全局最優制導律，該制導律可以實現期望落角，且全局所需控制能量比PNG+TSG下減少了22%。

3) 該制導律形式簡單，計算制導指令所需的信息較少，具有良好的工程應用價值。