共信道干擾環境下星基ADS-B系統監視性能

劉海濤，李少洋，秦定本，李冬霞

中國民航大學 天津市智能信號與圖像處理重點實驗室，天津 300300

在民用航空飛行活動中，航空器的監視主要通過陸基一次雷達、二次雷達及廣播式自動相關監視系統實現[1]。受監視地面站部署位置的限制，傳統的陸基監視系統無法實現陸地偏遠地區、海洋及地球南北兩極的航空器監視覆蓋，據統計目前地球表面近71%的空域沒有實現監視覆蓋[2]。2014年MH370航班失聯事件以后，為解決全球范圍內航空器的可靠持續監視問題，國際民航組織(ICAO)提出了星基監視的概念[3-4]，通過將ADS-B接收機部署于低軌道衛星中，并利用多顆低軌道衛星形成覆蓋全球的星基ADS-B系統。與傳統的陸基監視系統相比，星基 ADS-B系統具有覆蓋范圍廣、不受地理環境限制、可滿足航空器持續監視等多方面的優勢[5]。然而，星基ADS-B系統存在嚴重的共信道干擾，共信道干擾導致ADS-B消息產生沖突，最終導致星基ADS-B系統獲取的航空器位置報告更新間隔的增大，這將限制星基ADS-B系統在航空器監視領域的應用[6]。因此定量給出共信道干擾對星基 ADS-B系統監視性能的影響及規律具有重要的意義。

圍繞著星基ADS-B系統國內外研究現狀如下，在星基ADS-B監視技術可行性方面，為驗證星基ADS-B監視技術的可行性，文獻[7-10]研制了星基ADS-B試驗設備，并發射低軌道試驗衛星，實現了ADS-B信號的接收，驗證了星基ADS-B監視技術的可行性。

在星基ADS-B系統方案方面，Aireon公司提出了基于“銥星”的星基監視方案[11]，該方案通過在“銥星”中搭載ADS-B接收機，從而形成一個覆蓋全球的星基ADS-B系統，文獻[12]基于“銥星”開展了航空器的監視實驗；此外，美國 Globalstar公司提出了ADS-B鏈路增強方案[13]。

在ADS-B系統安全方面，為提高系統的安全性，文獻[14]提出一種ADS-B消息的廣播認證方法；文獻[15]提出了一種基于到達時間差/到達時間和的ADS-B 系統防欺騙方法；文獻[16]基于深度學習seq2seq模型，提出ADS-B系統異常數據檢測方法。

在星基ADS-B系統監視性能評估方面，為研究共信道干擾對星基ADS-B系統監視性能的影響，文獻[17]提出了星基ADS-B共信道干擾模型，并仿真研究了共信道干擾對星基ADS-B航空器位置報告更新間隔的影響；此外文獻[18-19]也通過仿真方法開展了相似的研究；仿真方法的優點是構建模型與實際系統較接近，然而該方法難以定量給出共信道干擾對位置報告更新間隔的影響；文獻[20]基于簡化共信道干擾模型，分析給出了星基ADS-B接收機的監視容量計算方法，但該研究存在以下不足，首先，該文獻使用的共信道干擾模型較簡單，沒有考慮A/C模式及S模式信號對ADS-B信號干擾的影響；其次沒有考慮星間鏈路丟幀率及星地鏈路誤碼率對位置報告更新間隔的影響。

針對文獻[17-20]存在問題和不足，本文提出了共信道干擾環境下星基ADS-B系統的監視容量的計算方法。首先給出星基ADS-B系統模型，然后分析給出各類消息到達速率及概率、消息正確接收概率、位置消息更新間隔、位置報告更新間隔的計算公式，以此為基礎得到了95%位置報告的更新間隔及星基ADS-B系統監視容量的計算公式，最后通過仿真驗證了理論結果的正確性。本文存在兩個方面創新：① 定量給出共信道干擾對星基ADS-B系統95%位置報告更新間隔的影響；② 定量給出了星基ADS-B系統監視容量的計算方法。

1 星基ADS-B系統及模型

1.1 星基ADS-B系統

圖1 星基ADS-B系統示意圖
Fig.1 Satellite-based ADS-B system

圖1為星基ADS-B系統的示意圖。星基ADS-B系統由機載ADS-B發射機、星基ADS-B接收機、星基ADS-B地面站及ADS-B應用子系統組成。在航空器飛行過程中，機載ADS-B發射機從導航系統獲取航空器的狀態信息，并周期性產生ADS-B消息(Message)，最后ADS-B消息經脈沖位置調制(PPM)后上變頻到1 090 MHz，并以隨機突發的方式廣播發射；位于低軌道衛星的星基ADS-B接收機正確解調ADS-B消息后，通過星間鏈路和星地鏈路將消息傳輸至星基ADS-B 地面站；最后，星基ADS-B地面站完成位置消息的解碼，并將航空器位置信息及其他相關信息一起封裝到 ASTERIX CAT 021報告(Report)，并通過地面網絡分發給ADS-B應用子系統。

1.2 1 090 MHz共信道干擾模型

由于1 090 MHz頻率被多個航空器監視系統共享使用，因此1 090 MHz頻率存在多種類型的射頻信號，例如A/C模式應答信號、S模式應答信號及ADS-B信號等。對于星基ADS-B接收機而言，A/C模式應答信號、S模式應答信號及ADS-B信號構成了共信道干擾。

參考文獻[17]給出的ADS-B接收機共信道干擾模型，假設星基ADS-B接收機覆蓋空域內航空器總數為N，則裝載A/C模式應答機的航空器數量為NA=γAN，其中γA為裝載A/C模式應答機航空器數占總航空器數的比例；裝載S模式應答機的航空器數為NS=γSN，其中γS為裝載S模式應答機航空器數占總航空器數的比例，且γA+γS=1；裝載ADS-B發射機的航空器數為NB=γBNS，其中γB為裝載ADS-B發射機航空器數占S模式航空器數的比例。最后，假設各個航空器發送消息是統計獨立的，且各類發射機以隨機突發方式發射消息，因此覆蓋空域內所有發射機與星基ADS-B接收機一起構成了ALOHA系統[6,19]。

2 星基ADS-B系統監視性能分析

首先給出各類消息到達星基ADS-B接收機的速率及概率，隨后分析給出ADS-B消息正確接收概率及位置消息的更新間隔，進一步給出星基ADS-B地面站輸入位置消息的更新間隔及輸出位置報告的更新間隔，最后給出星基ADS-B系統的監視容量。

2.1 消息到達速率與概率

星基ADS-B接收機覆蓋空域內，ADS-B消息到達星基ADS-B接收機的速率λB為

λB=NBvBαB

(1)

式中：λB的單位為消息數/s；vB為航空器發送ADS-B消息的速率；αB為ADS-B消息由航空器頂部天線發出的比例。

同理，S模式消息到達星基ADS-B接收機的速率λS為

λS=NSvSαS

(2)

式中：λS單位為消息數/s；vS為航空器發送S模式消息的速率；αS為S模式消息從航空器頂部天線發出的比例。

A/C模式消息到達星基ADS-B接收機的速率λA為

λA=NAvAαA

(3)

式中：λA的單位為消息數/s；vA為單架航空器發送A/C模式消息的速率，單位為消息數/(s·架)；αA為A/C模式消息由航空器頂部天線發出的比例。

假設單位時間內各類消息到達星基ADS-B接收機的數量服從泊松分布[6,18-19]，對于ADS-B消息，時間間隔t內有k個ADS-B消息到達星基ADS-B接收機的概率為[21]

(4)

對于S模式消息，時間間隔t內有k個S模式消息到達星基ADS-B接收機的概率為

(5)

對于A/C模式消息，時間間隔t內有k個A/C模式消息到達星基ADS-B接收機的概率為

(6)

2.2 ADS-B消息正確接收概率

(7)

式中：P(A|Bi)為ADS-B消息與其他i個消息沖突情況下，ADS-B消息被正確接收的概率，P(Bi)為ADS-B消息與其他i個消息沖突的概率。利用附錄A的推導知道

(8)

式中：Pe,u為航空器-衛星鏈路的誤碼率；n為ADS-B消息包含碼元的數目；τB、τS與τA分別代表ADS-B消息、S模式消息與A/C模式消息的長度。

將式(8)代入式(7)得到

e-[λB2τB+λS(τS+τB)+λA(τA+τB)]

(9)

文獻[18,22]表明，航空器從底部天線發射信號經過地球表面反射到達星基ADS-B接收機的信號強度低于接收機的接收靈敏度，因此僅需考慮航空器從頂部天線發射的信號，此時參數αA=0，則式(9)最終化簡為

Pu=(1-Pe,u)ne-[λB2τB+λS(τS+τB)+λA(τA+τB)]≈

(1-nPe,u)e-[λB2τB+λS(τS+τB)+λA(τA+τB)]=

(1-nPe,u)·

e-[γBγSvBαB2τB+γSvSαS(τS+τB)+γAvAαA(τA+τB)]N

(10)

式(10)表明：在相關參數給定情況下，星基ADS-B消息正確接收概率決定于星基ADS-B接收機覆蓋空域內航空器的數量N及航空器-衛星鏈路的誤碼率Pe,u。

2.3 星基ADS-B接收機位置消息的更新間隔

機載ADS-B發射機發射的ADS-B消息包括：位置消息、速度消息、標識消息及狀態消息等，其中位置消息包含航空器的經緯度信息，利用位置消息可實現航空器的監視，位置消息的更新間隔對航空器監視性能有重要影響，下面分析給出星基ADS-B接收機位置消息的更新間隔。

將星基ADS-B接收機連續兩次正確接收該航空器位置消息的時間間隔定義為星基 ADS-B接收機位置消息的更新間隔，記為ΔT，ΔT取值為一個隨機變量，其可能的取值及相應概率為[20]

(11)

式中：Pu為星基ADS-B接收機正確接收消息的概率，由式(10)給出；表達式右側條件項代表相應概率。

2.4 星基ADS-B地面站輸入位置消息的更新間隔

星基ADS-B接收機輸出的消息經過h跳(h=1,2,…,H)星間鏈路的傳輸，然后再通過星-地鏈路傳輸到星基ADS-B地面站。假設單跳星間鏈路傳輸遲延為τ，單跳星間鏈路的丟幀率為Pf，考察星間鏈路傳輸的最不利情況，星基ADS-B接收機輸出的消息需要經過H跳鏈路傳輸，此時星間鏈路總傳輸延遲為tISL(H)=Hτ，星間鏈路總丟幀率[23]為

(12)

另外，假設星-地鏈路傳輸遲延為td(在問題考察期間內，參數td可視為常量)，星-地鏈路的誤碼率記為Pe,d，則星-地鏈路傳輸的消息被ADS-B地面站正確接收的概率為

(13)

(14)

假設航空器從頂部天線發出位置消息的發送間隔{Ti,i=1,2,…}已給定，則地面站輸入位置消息更新間隔的條件均值為

E[ΔTIn|Ti,i=1,2,…]=Pu(1-HPf)Pd·

(15)

考慮到{Ti,i=1,2,…}是統計獨立的，航空器平均每秒發出2個ADS-B位置消息，且從頂部和底部天線交替發送[24-25]，則E[Ti]=Tpos=1 s，Tpos代表航空器從頂部天線發送位置消息的平均發送周期。進一步對式(15)中的{Ti,i=1,2,…}進行統計平均可得到地面站輸入位置消息更新間隔的均值為

Pu(1-HPf)Pd·

(16)

(17)

由式(17)可得到星基ADS-B地面站輸入位置消息的平均到達速率為

(18)

(19)

2.5 星基ADS-B地面站輸出位置報告的更新間隔

星基ADS-B地面站的主要任務是接收ADS-B消息，并根據位置消息完成航空器經緯度坐標的解碼，最后將航空器經緯度坐標信息及其他信息一起封裝到ASTERIX CAT021格式的報告(report)中，并分發給ADS-B應用子系統。為保證ADS-B系統輸出航空器監視信息的時效性，ICAO對ADS-B系統的輸出位置報告的更新間隔有明確的要求。影響星基ADS-B地面站輸出位置報告更新間隔的因素有兩個方面：星基ADS-B地面站的工作模式及位置消息的解碼方法。

由ADS-B地面站技術規范[27]知：ADS-B地面站將ADS-B消息封裝為CAT021報告時，通常采用數據驅動模式(Data Driven Mode)，即星基ADS-B地面站收到位置消息，并成功解算出航空器經緯度坐標后，就輸出一個CAT021格式的報告，由于該報告包含有航空器的經緯度坐標，因此該報告也稱為位置報告(Position Report)。參考技術規范[24]，ADS-B地面站有兩種位置消息的解碼方法：全球CPR解碼與本地CPR解碼。如果星基ADS-B地面站預先知曉航空器參考點的經緯度坐標(注：航空器參考點的經緯度坐標可通過全球CPR解碼方法獲得)，則該航空器隨后位置消息的解碼可采用本地CPR方法進行，此時星基ADS-B地面站每收到航空器的一個位置消息，就可成功解碼出航空器的一個經緯度坐標。

綜合以上兩個方面因素，并進一步假設星基ADS-B地面站解碼及封裝CAT021報告的時延為恒定值，則可認為星基 ADS-B 地面站輸出位置報告的更新間隔ΔTOutput與輸入位置消息的更新間隔ΔTIn是完全一致，即

ΔTOutput=ΔTIn

(20)

此外，星基ADS-B地面站輸出位置報告更新間隔的概率密度函數與式(19)具有相同的形式。

2.6 95%位置報告的更新間隔

為保證ADS-B系統所提供監視信息的時效性，ICAO相關技術規范對ADS-B地面站輸出位置報告的更新間隔有嚴格的要求，例如在無雷達覆蓋航路區域，空中交通管制系統要求位置報告的更新間隔以95%概率小于8 s[28-29]，因此下面針對式(20)定義給出星基ADS-B地面站95%位置報告的更新間隔ΔT95%：

P(ΔTOutput≤ΔT95%)=95%

(21)

(22)

(23)

將式(10)、式(13)及式(22)代入式(23)，可得到

(24)

參考共信道干擾模型[17]及技術規范[24]，相關參數取值如下：vA=60消息數/s,vS=6消息數/s,vB=6.2消息數/s,τA=21 μs,τS=64 μs,τB=120 μs,γA=0.1,γS=0.9，γB=0.3，αA=0，αS=0.5，αB=0.5，n=112,Tpos=1 s，式(24)最終化簡為

ΔT95%≈

(25)

式(25)表明：星基ADS-B地面站輸出95%位置報告的更新間隔由星基ADS-B接收機覆蓋空域內航空器數量N，航空器-衛星鏈路誤碼率Pe,u及星-地鏈路誤碼率Pe,d聯合確定。

此外，利用星基ADS-B地面站輸出位置報告更新間隔的概率密度函數也可以計算得到95%位置報告的更新間隔ΔT95%

(26)

式(23)的近似結果與式(26)完全一致。

2.7 星基ADS-B接收機監視容量及系統監視容量

對式(24)進行變換，可得到航空器數量N與95%位置報告更新間隔ΔT95%的關系為

N=

(27)

如果 ADS-B 應用子系統要求的95%位置報告更新間隔ΔT95%取值為ΔTreq，則星基 ADS-B接收機可提供滿足ADS-B應用子系統服務要求的航空器的數量定義為星基ADS-B接收機的監視容量。根據以上定義，星基ADS-B接收機的監視容量為

Cs=

(28)

參考共信道干擾模型及相關參數取值，式(28)最終化簡為

Cs≈1 433×

{ln[(1-112Pe,u)(1-112Pe,d)]-ln(1-0.051/ΔTreq)}

(29)

式(29)表明：星基ADS-B接收機的監視容量由 ADS-B 應用子系統所要求的95%位置報告更新間隔ΔTreq、航空器-衛星鏈路誤碼率Pe,u及星-地鏈路誤碼率Pe,d聯合決定。

假設星基ADS-B系統的所有衛星均使用單通道ADS-B接收機，則根據式(29)可得到星基ADS-B系統的監視容量為

C=MsCs

(30)

式中：Ms為星基ADS-B系統的衛星數量。式(29)與式(30)相比，星基ADS-B接收機的監視容量使用更靈活，因此以下僅使用星基ADS-B接收機的監視容量。

3 仿真結果

3.1 仿真環境及仿真參數設置

為驗證理論分析結果的正確性，基于空間網絡仿真系統(Space Network Simulation, SNS)構建星基ADS-B仿真系統。SNS系統是北京航空航天大學CNS/ATM實驗室研制的一套離散時間仿真系統，與目前主流網絡仿真軟件相比，該仿真系統具有開發靈活、代碼可重用性、可移植性高等特點[30]。所構建的星基ADS-B仿真系統包括航空器節點、衛星節點、星基ADS-B地面站節點組成。仿真系統的主要技術參數如表1所示。

表1 星基ADS-B系統仿真參數[17,23,25,31]

3.2 消息正確接收概率

圖2為星基ADS-B接收機消息正確接收概率與航空器數量的關系曲線，其中，橫坐標代表航空器數量，縱坐標代表星基ADS-B接收機消息正確接收概率。

曲線比較表明：① 仿真結果與理論結果完全一致，驗證理論公式(10)的正確性；② 航空器-衛星鏈路誤碼率對星基ADS-B接收機消息正確接收概率影響較大，當鏈路誤碼率為5×10-3時，航空器數量為500架時，消息正確接收概率約為0.402，當鏈路誤碼率降低至1×10-4時，消息正確接收概率則提升至0.698；③ 航空器數量對消息正確接收概率影響較大，隨著航空器數量的增加，消息正確接收概率迅速降低，當航空器數量超過3 500架，消息正確接收概率低于0.1。

圖2 消息正確接收概率與航空器數量的關系曲線 (Pe,d=1×10-4)
Fig.2 Correct reception probability of message versus aircraft counts (Pe,d=1×10-4)

3.3 95%位置報告更新間隔

圖3(a)為位置報告更新間隔的直方圖和概率密度函數(Probability Density Function，PDF)曲線。其中，直方圖是根據星基ADS-B地面站輸出位置報告更新間隔數據統計得到；實線是根據式(19)繪制的理論概率密度曲線；虛線是基于星基ADS-B地面站輸出位置報告更新間隔數據估計得到的概率密度曲線。曲線比較表明: 理論結果與仿真結果完全一致，驗證了式(19)的正確性。

圖3(b)為位置報告更新間隔累積分布函數(Cumulative Distribution Function, CDF)曲線。從圖3(b)可觀察到95%位置報告更新間隔近似取值為18.3 s，該結果與式(25)理論計算的結果一致，驗證了理論結果的正確性。

圖4為星基ADS-B系統的95%位置報告更新間隔與航空器數量關系曲線，其中，橫坐標代表航空器數量，縱坐標代表95%位置報告更新間隔。

圖3 位置報告更新間隔的概率密度函數及累積分布 函數曲線(Pe,u=1×10-3，Pe,d=1×10-4，N=2 500)
Fig.3 PDF and CDF of position report update interval (Pe,u=1×10-3，Pe,d=1×10-4，N=2 500)

圖4 95%位置報告更新間隔與航空器數量的關系曲線 (Pe,d=1×10-4)
Fig.4 95% update interval of position report versus aircraft counts (Pe,d=1×10-4)

曲線比較表明：① 仿真結果與理論結果一致，驗證了理論公式(24)的正確性；② 航空器-衛星鏈路誤碼率對95%位置報告更新間隔的影響較大，鏈路誤碼率為1×10-3時，4 000架航空器的95%位置報告更新間隔為53.7 s，而當鏈路誤碼率增加為5×10-3時，4 000架航空器的95%位置報告更新間隔提高到85.03 s；③ 航空器數量對95%位置報告更新間隔影響較大，隨著航空器數量增加，95%位置報告更新間隔增大，航空器-衛星鏈路誤碼率為5×10-3，航空器數量為2 000架時，95%位置報告更新間隔為19.9 s；而當航空器增加到3 500架時，95%位置報告更新間隔顯著提高到59.54 s。

圖5給出了95%位置報告更新間隔ΔT95%與N和Pe,d的關系曲面，其中，X軸代表航空器數量，Y軸代表星-地鏈路誤碼率，Z軸代表95%位置報告更新間隔。

圖5 95%位置報告更新間隔ΔT95%與N和Pe,d的 關系圖(Pe,u=1×10-3)
Fig.5 95% update interval of position report versus aircraft counts and SER of satellite-earth link (Pe,u=1×10-3)

由圖5可看出：① 當星-地鏈路誤碼率給定情況下，95%位置報告更新間隔隨航空器數量的增加而顯著增大；② 當航空器數量給定情況下，星-地鏈路誤碼率對95%位置報告更新間隔影響不大；總之，兩個影響因素相比，航空器的數量對95%位置報告更新間隔的影響更明顯。

圖6 95%位置報告更新間隔ΔT95%與N和Pe,u的 關系圖(Pe,d=1×10-4)
Fig.6 95% update interval of position report versus aircraft counts and SER of aircraft-satellite link (Pe,d=1×10-4)

圖6給出了95%位置報告更新間隔ΔT95%與N和Pe,u的關系曲面，其中，X軸代表航空器數量，Y軸代表航空器-衛星鏈路誤碼率，Z軸代表95%位置報告更新間隔。

由圖6可看出：① 當航空器-衛星鏈路誤碼率給定情況下，95%位置報告更新間隔隨航空器數量的增加而顯著增大；② 當航空器數量給定情況下，95%位置報告更新間隔隨航空器-衛星鏈路誤碼率的增大而顯著增大；③ 兩種影響因素中，航空器數量及航空器-衛星鏈路誤碼率對95%位置報告更新間隔均有明顯影響。

3.4 星基ADS-B接收機的監視容量

圖7給出了星基ADS-B接收機監視容量與要求的位置報告更新間隔的關系曲線，其中，橫坐標代表要求的位置報告更新間隔，縱坐標代表星基ADS-B接收機的監視容量。曲線比較表明：① 仿真結果與理論結果完全一致，驗證了理論公式(28)的正確性；② 航空器-衛星鏈路誤碼率對監視容量的影響顯著，當誤碼率為5×10-3時，要求的位置報告更新間隔為8 s時，監視容量為847架，當誤碼率下降至1×10-4時，監視容量則提高到1 635架；③ 監視容量與要求的位置報告更新間隔呈現近似線性關系，要求的位置報告更新間隔每減小1 s，監視容量減少138架左右。

圖8給出了監視容量Cs與Pe,u和Pe,d的關系曲面，其中，X軸代表航空器-衛星鏈路誤碼率，Y軸代表星-地鏈路誤碼率，Z軸代表監視容量。

圖7 星基ADS-B接收機監視容量與位置報告更新 間隔的關系曲線(Pe,d=1×10-4)
Fig.7 Surveillance capacity of satellite receiver versus update interval of position report (Pe,d=1× 10-4)

圖8 監視容量C與Pe,u和Pe,d的關系圖 (ΔTreq=8 s)
Fig.8 Surveillance capacity versus SER of aircraft-satellite link and SER of satellite-earth link (ΔTreq=8 s)

由圖8可看出：① 當給定航空器-衛星鏈路誤碼率時，監視容量隨星-地鏈路誤碼率的增大幾乎保持不變；② 當星-地鏈路誤碼率給定時，監視容量隨航空器-衛星鏈路誤碼率的增大而顯著減小；③ 相對于星-地鏈路誤碼率，航空器-衛星鏈路誤碼率對監視容量的影響程度更明顯。

表2給出了要求的位置報告更新間隔為ΔTreq=8 s，Pe,d=1×10-4時，不同航空器-衛星鏈路誤碼率情況下，星基ADS-B接收機的監視容量。

表2 星基ADS-B接收機的監視容量

由表2可觀測到：誤碼率為Pe,u=1×10-4時，星基ADS-B接收機可為1 635架航空器提供監視服務，誤碼率為Pe,u=1×10-3時，監視容量為1 491架，當鏈路誤碼率為Pe,u=5×10-3時，監視容量為847架。

4 結 論

為澄清星基ADS-B系統共信道干擾對系統監視性能的影響，提出了星基ADS-B系統監視容量的計算方法。研究結論如下：

1) 星基ADS-B系統的監視容量由ADS-B應用子系統所要求的95%位置報告更新間隔、航空器-衛星鏈路誤碼率、星-地鏈路誤碼率及衛星數量聯合決定。

2) 當ADS-B應用子系統所要求的95%位置報告更新間隔給定后，降低航空器-衛星鏈路誤碼率可提高星基ADS-B系統的監視容量。

(A1)

下面分析給出ADS-B消息與其他消息不沖突事件B0的概率P(B0)，為便于分析，將ADS-B消息與其他 ADS-B消息不沖突的事件記為B01，將ADS-B消息與S模式消息不沖突的事件記為B02，將ADS-B消息與A/C模式消息不沖突的事件記為B03，另外ADS-B消息、S模式消息與A/C模式消息的長度分別記為τB、τS與τA。假設某時刻一個ADS-B消息已到達星基ADS-B接收機，如果該時刻前τB和后τB的2τB時間內無其他ADS-B消息到達，則意味著該ADS-B消息與其他ADS-B消息不沖突，其概率為

P(B01)=PB(0,2τB)=e-λB2τB

(A2)

同理，ADS-B消息與S模式消息不沖突的概率為

P(B02)=PS(0,τS+τB)=e-λS(τS+τB)

(A3)

ADS-B消息與A/C模式消息不沖突的概率為

P(B03)=PA(0,τA+τB)=e-λA(τA+τB)

(A4)

根據式(A2)、式(A3)與式(A4)可進一步得到ADS-B消息與其他消息都不沖突的概率為

P(B0)=P(B01∩B02∩B03)=

P(B01)P(B02)P(B03)=

e-[λB2τB+λS(τS+τB)+λA(τA+τB)]

(A5)

綜合式(A1)與式(A5)可得到ADS-B消息與其他消息不沖突且ADS-B消息被正確接收的概率為

e-[λB2τB+λS(τS+τB)+λA(τA+τB)]

(A6)

下面計算ADS-B消息與其他一個消息沖突且ADS-B消息被正確接收概率P(A|B1)P(B1)，根據概率乘法公式得

P(A|B1)P(B1)=P(B1|A)P(A)

(A7)

為便于計算，進一步引入B11代表ADS-B消息與一個ADS-B消息沖突的事件，B12代表ADS-B消息與一個S模式消息沖突的事件，B13代表ADS-B消息與一個A/C模式消息沖突的事件，則B1=B11∪B12∪B13，且B11、B12與B13為兩兩互不相容的事件，將B1代入式(A7)后得

P(A|B1)P(B1)=

P(B11∪B12∪B13|A)P(A)

(A8)

隨后利用條件概率的可列可加性及概率乘法公式，式(A8)化簡為

P(A|B1)P(B1)=[P(B11|A)+P(B12|A)+P(B13|A)]P(A)=

P(A|B11)P(B11)+P(A|B12)P(B12)+

P(A|B13)P(B13)

(A9)

假設某時刻一個ADS-B消息已到達星基ADS-B接收機，則該時刻前τA和后τB的(τA+τB)時間內僅有一個A/C模式消息到達，且該時刻前τB和后τB的2τB時間內無ADS-B消息到達，該時刻前τS和后τB的(τS+τB)時間內無S模式消息到達的概率為

P(B13)=PA(1,τA+τB)PB(0,2τB)·

PS(0,τS+τB)=λA(τA+τB)·

e-[λB2τB+λS(τS+τB)+λA(τA+τB)]

(A10)

結合式(A10)及相關計算的結果，式(A9)化簡為

(τA+τB)e-[λB2τB+λS(τS+τB)+λA(τA+τB)]

(A11)

采用相同的方法，ADS-B消息與其他2個消息沖突且ADS-B消息被正確接收的概率為

P(A|B2)P(B2)=

e-[λB2τB+λS(τS+τB)+λA(τA+τB)]

(A12)

ADS-B消息與其他3個消息沖突且ADS-B消息被正確接收的概率為

P(A|B3)P(B3)=

e-[λB·2τB+λS·(τS+τB)+λA·(τA+τB)]

(A13)

ADS-B消息與其他4個及以上消息沖突且ADS-B消息被正確接收的概率為

P(A|B4)P(B4)=0

(A14)

附錄B：式(17)的推導

Pu(1-HPf)Pd·

Pu(1-HPf)Pd·

(B1)

Pu(1-HPf)PdTpos+

Pu(1-HPf)Pd·

[1-Pu(1-HPf)Pd]·2Tpos+…+

Pu(1-HPf)Pd·

(B2)

式(B2)兩邊同乘因子[1-Pu(1-HPf)Pd]得到

Pu(1-HPf)Pd·

[1-Pu(1-HPf)Pd]Tpos+

Pu(1-HPf)Pd·

Pu(1-HPf)Pd·

Pu(1-HPf)Pd·

(B3)

式(B2)與式(B3)錯位相減后得到

Pu(1-HPf)PdTpos+

Pu(1-HPf)Pd·

[1-Pu(1-HPf)Pd]Tpos+…+

Pu(1-HPf)Pd·

Pu(1-HPf)Pd·

(B4)

對式(B4)進行整理后表示

(B5)

式中：Δ1=1+IPu(1-H·Pf)Pd;Δ2=1-Pu(1-H·Pf)Pd。

當I→∞時，輸入位置消息更新間隔的均值簡化為

(B6)

附錄C：式(22)的推導

P(ΔTOutput≤ΔT95%)=P(ΔTIn≤ΔT95%)=

…+Pu(1-HPf)Pd·

(C1)

式中:由于Pf=10-3[23]，考慮PuHPfPd遠小于1-PuPd，因此1-PuPd+Pu·HPfPd≈1-PuPd。式(C1)化簡為

(C2)

進一步考慮到

P(ΔTOutput≤ΔT95%)=0.95

(C3)

式(C3)整理后得到

(C4)