一元三次多項(xiàng)式函數(shù)極值點(diǎn)的極值
——拉氏乘數(shù)法和Mathematica 的全面實(shí)現(xiàn)

徐瀝泉，史立新，周公賢

（1.無(wú)錫市教科院，無(wú)錫214001；2.無(wú)錫華羅庚研究會(huì)，無(wú)錫2140003）

0 引言

本文系2009 年一道高考全國(guó)卷數(shù)學(xué)試題壓軸題所引發(fā)的思考。先看題目的表述：

文獻(xiàn)[1-3]，都涉及到對(duì)2009 年全國(guó)卷I（理）22 題（下稱考題）的研究與評(píng)論。題目是這樣的：

設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3bx2+3cx 有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2，且x1∈[- 1，0]，x2∈[1 ，2]。

（I）求b、c 滿足的約束條件，并在坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(diǎn)( b， c )的區(qū)域；

（II）證明：-10 ≤f( x2)≤-1/2。

略解（I）由題意推出b、c 的約束條件為：

滿足這些條件的點(diǎn)( b， c )的區(qū)域?yàn)閳D1 中陰影部分并含其邊界。

由于命題者對(duì)（II）的標(biāo)準(zhǔn)答案所給出的證明（此處從略）是“消去了系數(shù)b”而推出的。

結(jié)果；于是就有文獻(xiàn)[1]的質(zhì)疑：“為什么不消去c”？進(jìn)而又有文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]等爭(zhēng)鳴與評(píng)論。其實(shí)，“消b”正是運(yùn)用了關(guān)系式f( x2，b ( c， x2))；而“消c”是運(yùn)用了關(guān)系式f( x2，c ( b， x2))。由題設(shè)，點(diǎn)( b， c )雖約束在區(qū)域φ( b，c )中，但它們卻可以是其中的任意一個(gè)點(diǎn)。實(shí)際上，這個(gè)看似關(guān)于要求f( x2)的一元三次多項(xiàng)函數(shù)的極值，卻是一個(gè)關(guān)于二元函數(shù)在平面區(qū)域φ( b，c )下的條件極值問(wèn)題。因?yàn)椋瑇2是f'( x2)=3x22+6bx2+3c 的根，且x2∈[1 ，2]，故

圖1

一般說(shuō)來(lái)，對(duì)諸如此類條件極值問(wèn)題的處理，中學(xué)生只能運(yùn)用一些特殊的解法，而大學(xué)生則會(huì)自然而然地運(yùn)用一般的方法，即拉氏乘數(shù)法去求解[4]。但作為一個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教師，不僅應(yīng)該通曉初等數(shù)學(xué)，而且也應(yīng)該了解其高等數(shù)學(xué)背景。尤其是高考試題中的那些把關(guān)題和壓軸題，都具有明顯的高等數(shù)學(xué)背景，它們對(duì)以后進(jìn)一步深造來(lái)說(shuō)是非常必須的，具有較好的選拔功能，同時(shí)也具有導(dǎo)學(xué)和導(dǎo)教功能。對(duì)這些問(wèn)題，教師本身在思想上沒(méi)有個(gè)底，要在平時(shí)引導(dǎo)學(xué)生獲得較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是困難的，而要在高考時(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生在考場(chǎng)上的能力更是不可能的。

F.克萊因（Felix Christian Klein，1849～1925）強(qiáng)調(diào)要用近代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)改造傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，倡導(dǎo)“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”意識(shí)。在克萊因看來(lái)，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角（高等數(shù)學(xué)）來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得明了而簡(jiǎn)單；有許多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)才能深刻地理解。他的名著《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》，對(duì)我國(guó)從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教育的廣大讀者具有較好的啟示作用[5]。用拉氏乘數(shù)法并借助數(shù)學(xué)軟件Mathematica 來(lái)審視這道高考?jí)狠S題，不僅不會(huì)有上述的質(zhì)疑和爭(zhēng)鳴，而且還能深刻地理解命題人是如何給出這道考題的題設(shè)條件的。

盡管多元函數(shù)求極值計(jì)算量較大，很多情況下手動(dòng)計(jì)算難以實(shí)現(xiàn)。但應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件不僅極大地降低了多元函數(shù)極值問(wèn)題的求解難度，提高了教學(xué)效率，而且還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

以下介紹使用拉氏乘數(shù)法和Mathematica 對(duì)此問(wèn)題的實(shí)現(xiàn)[6-8]。

1 預(yù)備定理（一元三次多項(xiàng)式函數(shù)的極值點(diǎn)公式）

先引入一元三次多項(xiàng)式函數(shù)的極值點(diǎn)公式。如所知，關(guān)于x 的一元三次多項(xiàng)式的一般形式為f(x)=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d ∈R，是多項(xiàng)式f(x )的系數(shù)，確保f(x )是3 次多項(xiàng)式。

證明：我們先考慮形如f(x)=x3+cx 的較為簡(jiǎn)單情形。顯然，當(dāng)c ≥0 時(shí)，恒有：

f'(x)=3x2+c ≥0，故f(x )在( -∞ ， +∞ )上是增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)；而當(dāng)c<0，且x ∈( 0， +∞)時(shí)，

下面，我們考慮一般情形，不妨設(shè)：

a=1，f(x)=x3+bx2+cx+d。

否則只要改變項(xiàng)的系數(shù)而已。考慮等價(jià)式：

右邊的導(dǎo)函數(shù)為：

2 極值點(diǎn)的極值

對(duì)于常系數(shù)的一元三次多項(xiàng)式，它的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)是確定的、固定的，其本身并無(wú)極值可言；然而，對(duì)變系數(shù)的一元三次多項(xiàng)式，隨著它們的系數(shù)在某一個(gè)范圍內(nèi)變化，它的極值點(diǎn)也隨之改變，相對(duì)前者而言的常數(shù)已成為變量，因而就有所謂的極值存在。

下面，我們利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 給出那道考題的動(dòng)態(tài)圖像，指令為：

Manipulate[Plot[x^3+3*b*x^2+3*c*x，{x，-2，2}，Plot Range→All]，{{b，-1}，-1，0}，{{c，-2}，-2，0}]

它表示f(x )的系數(shù)b、c 可以在區(qū)間b ∈[- 1， 0] 和c ∈[- 2， 0] 上變動(dòng)，只需滑動(dòng)圖2 左上方b、c 軸上的小方塊，就可以得到你所需的狀態(tài)圖，圖2 和3 給出的是當(dāng)b、c 都在初始時(shí)刻和取中時(shí)刻的圖像。

圖2 b，c在初始時(shí)刻

圖3 b，c在取中時(shí)刻

圖4

圖5 f(x)min=-10

從上面圖像也可以看出，當(dāng)b、c 在給定范圍內(nèi)變化時(shí)，f(x )的2 個(gè)極值點(diǎn)落入?yún)^(qū)間[- 1， 0] 和[1 ， 2]。由此可見(jiàn)，那道高考?jí)狠S題的題設(shè)條件可由此得來(lái)。

那么，一般說(shuō)來(lái)，如何求出變系數(shù)一元三次多項(xiàng)式函數(shù)極值點(diǎn)的極值呢？仍以f(x)=x3+3bx2+3cx 為例，請(qǐng)看下文。

3 拉格朗日乘數(shù)法和Mathematica的實(shí)現(xiàn)

由上述定理知，函數(shù)：

現(xiàn)要求函數(shù)：

簡(jiǎn)記為f(b，c)()1。

完全類似地，由二元函數(shù)：

簡(jiǎn)記為f(b，c)(2)。

我們可以考慮另一個(gè)極值點(diǎn)x1的最值f( x1)，當(dāng)然也是在區(qū)域Φ( b，c )上。這里在( b，c )∈[- 10 ，10] 時(shí) 我們給出它們的圖像，圖6 和圖7，姑且稱之為立方拋物面。

圖6

圖7

圖6 和圖7 的Mathematica 指令分別為：

則：

兩式相減并化簡(jiǎn)，得：

兩邊可約去x2并代回它和式（1），得：

化簡(jiǎn)后得：

不合題意，故f 在區(qū)域Φ 內(nèi)部無(wú)駐點(diǎn)，亦即陰影區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)都不可能是駐點(diǎn)。因此，它如果有駐點(diǎn)，應(yīng)落在它的4 條邊界線上，現(xiàn)考慮邊界，應(yīng)用多元函數(shù)求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，有形式：

人工計(jì)算工作量有點(diǎn)大，我們還是借助Mathematica[9]。通過(guò)有效嘗試，先考慮約束條件-4b-c-4 ≤0 和2b-c-1 ≤0，命：

求F 對(duì)b， c， δ1，δ2的偏導(dǎo)數(shù)，得：

求F 對(duì)b， c， δ1，δ2的偏導(dǎo)數(shù)指令：

解下面這個(gè)駐點(diǎn)方程組：

求解駐點(diǎn)方程組的指令：

再考慮約束條件2b+c+1 ≤0 和c ≤0，命

求F 對(duì)b， c， δ3，δ4的偏導(dǎo)數(shù)，得：

令其為零，解下面的方程組：

Mathematica 指令與上類同，此處從略。以上求得的2 個(gè)可能極值點(diǎn)，恰好就是f 在區(qū)域Φ 的2 個(gè)頂點(diǎn)和把它們代入f(b，c)(1) 所得的值，與 另2 個(gè) 頂 點(diǎn)A( -1， 0 )、C( 0， -1) 代 入 f(b，c)(1)的值：

比較可知其最小值和最大值為：

同理可求在區(qū)域φ( b，c )上另一個(gè)極值點(diǎn)x1的最值，這里只給出結(jié)果（可供讀者練習(xí)）：

圖8

圖9

其Mathematica 指令分別為：

注：關(guān)于上述高考試題的最新文獻(xiàn)“二維含參型一元三次函數(shù)極值點(diǎn)的最值”[10]，全面解剖了國(guó)家考試中心所給出的題設(shè)與標(biāo)準(zhǔn)答案，并在初等數(shù)學(xué)范疇中給出了漂亮的結(jié)果。

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，我們把2009 年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷I（理）22 題第（II）小問(wèn)的證明：轉(zhuǎn)化為求二元函數(shù)f(b，c)()1：

此外，還給出了它們的直觀圖像，如圖8 和9 所示，從中可以觀察到這2 個(gè)二元函數(shù)在區(qū)域φ上是怎么發(fā)展變化的。

上述第2 部分的內(nèi)容與圖示，則是說(shuō)明了這道高考題的出處，即命題者的依據(jù)所在。

本文從2009 年全國(guó)卷I（理）22 題的標(biāo)準(zhǔn)答案所引發(fā)的質(zhì)疑與評(píng)論作為出發(fā)點(diǎn)，指出了其本質(zhì)上是屬于二元函數(shù)的條件極值問(wèn)題，把它納入到拉格朗日乘數(shù)法和數(shù)學(xué)軟件Mathematica 的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，全面實(shí)現(xiàn)了對(duì)它的求解與證明。這至少說(shuō)明了以下兩點(diǎn)：

其一，正如F.克萊因所言，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得明了而簡(jiǎn)單，許多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)才能深刻地理解。相對(duì)說(shuō)來(lái)掌握了更高一級(jí)的一般解題方法之后，就不必耗費(fèi)過(guò)多的時(shí)間和精力去追求那些特殊的解題技能與技巧了；其二，本來(lái)那些靠人工計(jì)算和操作難以解決或無(wú)法解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如今應(yīng)用計(jì)算機(jī)編程和專用應(yīng)用軟件就可以如愿以償?shù)氐靡詫?shí)現(xiàn)。