不可思e

全維度空間的 1一、植物中的“黃金螺線”

有人觀察了大自然中的一些植物，它們的花瓣、葉子或者種子的排列，是以一種優美的螺旋線方式存在。

曾有一種說法，這樣的排列方式，體現了神奇的“黃金分割率”在自然中的鬼斧神工。

人們觀察到，這些植物的新葉片與上一個葉片之間的夾角恒為222.5°，這個角度與圓周的比值恰好等于“黃金分割率”：222.5/360≈0.618。

你可以做一個簡單的計算：按照這個夾角排列的葉子，一直到第22片才會與第一片的方向發生重疊;而其他任何角度的排列，都會在第22片之前就發生了重疊。

222.5°這個夾角使所有葉子最大程度地利用了太陽光的能量。

對一些多肉類植物來說，它新的生長原基并不會擋住老原基的陽光，為什么也會按照“黃金分割”的角度來生長？

這一次是因為養分。

除了陽光，原基最重要的生長資源就是來自根莖的養分。作為一個自相似的新原基（注意自相似的概念出現了），它在多肉植物的頂部發端，那它的胚基應該如何選擇長出的位置，才能最有效地利用養分？

形象地說，它應該出現在最不擁擠的那個位置。最不擁擠，意味著此處可供新原基利用的養分最多，你可以形象地把這種狀態理解成一種斥力——四周老原基對新原基的斥力，斥力的平衡點就是那個最不擁擠的地方，新的胚基就會在那里出現。

除了陽光和養分，一切生長資源都會對生長產生制約，這種制約使植物們的進化目標變得很明確——最有效率地利用這些資源。在這個大目標下，植物進化出圍繞著生長資源進行“黃金分割”排列的葉子、花瓣和種子。而“黃金分割”排列對應的那條螺旋線，被稱作“黃金螺線”。至于以前被用來解釋這個現象的“斐波那契螺線”①，只是“黃金螺線”的一個近似。“黃金螺線”是“等角螺線”的一個特例，它是這樣一種特殊的“等角螺線”——每當極角增加90°，極徑增加到原來的1.618倍。

二、等角螺線和“飛蛾撲火”

“等角螺線”的形式在大自然中更是隨處可見。

假如此刻的你，正行走在距南極點100公里的冰原上，你的一個隊友在南極點處等待救援。除了指南針之外，你沒有任何導航手段。不巧的是你的指南針失靈了，它恒偏離地磁場方向一個銳角，但你并不知道這一點。那么，指南針最終會把你導向哪里？你可憐的隊友還有救嗎？

在這個例子中，讓我們忽略地理南極和地磁北極（在地理南極附近）的微小偏離，認為它們處于同一個位置。

答案出乎意料卻能夠被情理所接受——你最終仍會到達南極點，只是多走了一段路。事實上在這個過程中，你的行進路線和地球的經線始終保持著那個銳角，你會走出一條以南極點為原點的螺旋線。

這條螺旋線，就叫作等角螺線。

等角螺線不光出現在上面這個例子里，比較經典的還有對“飛蛾撲火”的解釋。《西游記·三打白骨精》一節，唐僧教訓孫悟空時曾說：“掃地休傷螻蟻命，愛惜飛蛾紗罩燈。”以此表達對萬物生靈的仁愛之心。三毛也在《撒哈拉的故事》里感慨：“我在想，飛蛾在撲火時，一定是極快樂幸福的。”一直以來，“飛蛾撲火”被錯誤地歸因于昆蟲的“趨光性”本能。可憐的飛蛾們在壯烈赴死中被弄錯了死因，也賺取了太多的憐憫和感動。

可是，如果“趨光性”是正確的，為什么在白天的時候沒有大批飛蛾飛向太陽？

其實，“飛蛾撲火”的真正原因，是它億萬年進化形成的導航系統。一只飛蛾最節省能量的飛行方式，自然是直線飛行。那么，它要以什么為參照，才能知道自己是在飛直線？

答案是太陽光或星光。由于距離遙遠，太陽光和星光可以被看作是平行光。如果飛蛾總是與這兩種光形成固定夾角飛行，那么它的本能就會判斷：我是在直線前進。問題是當飛蛾遇見火，這些近距離的點光源發出的并不是平行光，但可憐的飛蛾并不知道這一點，它仍會在導航系統的作用下按固定夾角飛行。和你在南極冰原的結果一樣，它也會行進出一條螺旋線，最后一頭撞在光源上。這條螺旋線也是以光源為原點的等角螺線。

對飛蛾夜間的觀察，清晰地驗證了這個解釋。

三、等角螺線的“自相似性”來自于“e”

想象你自己是一只可愛的鸚鵡螺寶寶，從卵中的胚胎開始慢慢長大。你一邊長大，一邊要擴建自己的房子。你要把新接出來的一段房子，造得和老的一段房子一模一樣，因為你的肢體尺寸雖然在增大，但樣子卻沒有變——說白了，你的成長具有自相似性。于是最終，你的房子就變成圖上的形狀。

這又是一條等角螺線。

那到底為什么自相似地成長模式就需要把房子造成等角螺線的樣子呢？

因為等角螺線是一種具有“自相似性”的螺線，而且是唯一具備這種性質的螺旋線。用數學語言描述就是：放大這條曲線，得到的是它自身;縮小這條曲線，得到的還是它自身。實際上，無論是放大、縮小或是求導，無論是求它的漸屈線、垂足線還是對它進行反演，最終得到的曲線仍然是它自身。

這個自相似的特性來自于它的數學表達式：r=aebθ，這是一個指數函數。因為eθ項的存在，你無論用上述的哪種方式折騰公式的右邊，數學表達式都不變——eθ就是所有具有“自相似性”生長模式的老祖宗。

有人會問，做一個直線形的類似喇叭一樣的殼，不也是自相似的嗎？應該也能滿足鸚鵡螺的生長啊？這樣的房子的確曾被某些軟體動物選擇過，但大都因為行動不便和耗材太多，慢慢被進化的剪刀剔除，所有存留下來的幾乎都是螺線形。等角螺線因此被稱為“生長螺線”。

17世紀的瑞士著名數學家雅可布·伯努利曾對等角螺線進行了畢生的研究。他對它如此癡迷和厚愛，以至于要求后人在自己的墓碑上刻下了這樣的座右銘——“縱然改變，依然故我。”用來描述等角螺線那神奇的自相似性質。悲催的是，雕刻墓碑的工匠卻把等角螺線刻成了阿基米德螺線，這成為伯努利乃至數學史上永久的遺憾。

四、“e”從何來

從鸚鵡螺的例子，我們大概可以揣摩出自然增長的規律，并且這個規律隱隱約約和“e”有關。

它不是一種以時間為變量的線性增長，而是一種指數增長。它的“增長率”不是固定的，而是與當下的存量息息相關，換句話說，它的增長率等于當前值乘以一個固定倍數。而如果這個倍數是1時，它的導數就是它自身，那么這個時候指數函數的底應該是多少呢？

這個底必須等于一個重要極限的值。這個重要極限就是lim（1+1/n）n（n→∞），而它的值就是e≈2.718……

注意，e就是這樣被定義出來的。要理解這個極限意味著什么，有一個經常被使用的例子：假如銀行每年的利率是100%，并且可以讓你隨心所欲地無限復利，那么你存入銀行1元錢，一年之后最多能夠拿回多少錢？（所謂“隨心所欲地無限復利”，是說你可以1個月取出本息再存入，也可以1天重存一次，還可以1小時一次，1秒一次，甚至0.0001秒一次……）

答案是，你能拿到的錢的極限就是e≈2.718元。

“e”，代表了自然增長的極限。

有意思的是，如果你把重要極限公式括號里的加號變成減號，那么它就變成了一個新的極限，而這個新極限的值恰好等于1/e。而這個新的極限的含義，也有一個好玩的理解方式：

如果劉慈欣有一個粉絲群，人數是1000人。每次他隨機抽1人發一張簽名照。如果他連續抽取了1000次，那么有多少人沒有收到過照片？

答案就是1000*1/e≈368個。

這是統計學中的“自助重抽樣”問題，不用懷疑，即使對無窮多的人進行無窮多次“自助重抽樣”，仍有1/e的人無緣得見照片。

五、5.“e”是全維度空間中的“1”

“e”在人類科學中有極為廣泛的應用，在熱力學、統計學、信息論、通信工程、甚至經濟學社會學當中，到處都能發現它的身影。

有一個有趣的猜測——e之所以無處不在，是因為它是全維度空間的“1”，e這個數值，只是所有維度的“1”在我們這個維度的投影之和。

怎么就突然出現了“全維度空間”？如何理解“所有維度在本維度的投影”？

這來自于對ex的泰勒展開式的幾何直覺：ex=1+x/1！+x2/2！+x3/3！+……

對于這個表達式來說，無論你進行了多少次求導，它永遠還是它自身。

我們可以把x可以看作一維，x2可以看作二維，那么xn就是n維。同時，我們把求導視作降維。你會發現xn經過n次降維之后變成了n！，恰好與它降維前下面的那個除數相同，從而使這一項變成了1。

求導可以看作降維，但這個降維是有衰變的，衰變率就是維度數的階乘分之一，這個結果可以視為該維度在本維度的投影值。如果全部維度的x都投影到本維度，我們就得到了上面那個表達式。而如果x=1，我們就得到了e。

如此說來，e被想象為所有維度的1在本維度的投影之和，似乎有那么點兒道理。

繼續放飛思想——剛才大劉抽獎的例子是用概率來解釋的，但概率本質是什么？

這種觀點認為：概率在我們這個維度被看作無數次試驗的穩定結果，但也可以看作在全維度中試驗一次的結果。就拿大劉抽獎來說，某人未被抽到的概率在我們這個維度需要試驗無數次才能得到精確值;而在全維度空間，只需要抽一次。因為在所有維度里發生的這次抽獎，會全部按照以上的規律投影到本維度中來，那個投影之和就是e。把本維度發生的事件看作是1，此事件的概率值必然就是1/e。

所以概率其實是個全維度空間的投影問題。e就是1，只不過它不是本地的1，而是全維度空間的1在本地的投影數值。全維度空間的1，在本維度看上去正好就是e那么大。

任何變化過程，都是全維度空間特定結構的形成過程。因此所有描述過程的數學形式，都會含有e的指數模式。

【責任編輯：艾"珂】

①"斐波那契螺線是根據斐波那契數列畫出來的螺旋曲線，常被人們當作“黃金螺線”，但其實二者間有一些微小差異——斐波那契螺線是離散型的，就是一個數一個數的，但是黃金螺線是連續的。