言語與符號：培育數學思維的重要表征

馮桂群

“小學數學教學的核心問題是適度抽象，謀求兒童思維的形象性與數學抽象性的協調統一。”[1]而在實際教學中，數學教師往往比較重視借助動作表征和形象表征培養學生的動作思維和形象思維，但在如何借助言語和符號表征發展學生的抽象邏輯思維方面，還重視不夠、研究不夠，導致在實際學習中，兒童的思維總是難以及時地由感性層面提升到理性層面，或是快速地由抽象層面穿梭到形象或是具象的層面，進而影響學習效果的達成和數學核心素養的提升。

那么，如何借助言語表征和符號表征，有效提高學生解決實際問題的能力，進而培養學生的抽象思維，滲透抽象、推理、建模等數學思想呢？下面就結合相關教學實踐，談談自己的一些做法與想法。

一、言語與符號表征讓數學思維的“提升”事半功倍

我們在引導學生進行數學“建模”活動時，首先要通過實物操作或手勢操作經歷動作表征過程（已有相關活動經驗積累的，此步可省略），之后通過想圖、畫圖、看圖等操作經歷形象表征過程，其間要適時插入言語表述，以及之后的標注符號或列表，書寫關系式、公式、算式等數學符號的表征活動，讓學生經歷符號表征過程，使實物、手勢、圖形、言語和符號等直觀、半直觀、半抽象、抽象的多元表征，有序地成為學生思維的腳手架，使學生的思維順暢地由動作水平上升到表象水平直至抽象水平，使思維斷層自然消失，使思維的提升“事半功倍”。

1.讓數量關系的梳理唾手可得

數學是研究客觀數量關系和空間形式的一門科學，具有高度概括性、邏輯嚴密性、應用廣泛性等特點。要想讓學生準確理解某個具體問題的數量關系，借助擺弄學具或畫圖呈現，學生可能一下子就明白了，但要由此遷移到解決一類問題，尤其是當實際問題中的數據很大，不可能通過擺一擺或畫一畫解決時，言語與符號表征就顯得特別重要了。

如教學蘇教版《數學》六年級上冊的“假設策略”例2：在一個大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是80個。每個大盒比每個小盒多裝8個，大盒里裝了多少個球？每個小盒呢？學生借助書上的示意圖和小組合作，很快找到了以下幾種方法：將1大盒看作1小盒，總量少8個，每小盒個數是（80—8）÷（5+1）=12（個）;將5小盒看作5大盒，球總數會多出5個8，每大盒個數用（80+5×8）÷（5+1）=20（個）;設每小盒有X個，每大盒有（X+8）個，方程是X+8+5X=80，同樣能算出結果。此時，筆者沒有讓學生就題論題、淺嘗輒止，而是引導學生深入反思：這3種解法都是緊緊抓住大盒和小盒間的什么關系來列方程或列算式的？于是在師生互動中，抓“總和句”列等式、抓“相差句”來假設的思路就形成了：

借助列關系式和標注符號，假設的思路清晰而深刻。之后引導學生看著“可視化”的符號導圖，用簡潔的言語表述假設的兩種思路（略）。有了言語表征、符號表征的及時介入，學生在直觀理解的基礎上將數量分析符號化、可視化和流程化，使解題方法結構化，并最終甩掉對“直觀圖示和小數目”的依賴，實現對深藏的和差關系的精準把握和形式化表達。

2.讓算理算法的理解易如反掌

在教學乘法或除法的初步認識時，教師會引導學生先進行擺小棒或做手勢的動作表征，之后借助看圖、想圖和畫圖等圖形表征來理解乘法或除法的具體含義，最后實現概念的內化和符號化的表達。而當學生的經驗和知識積累到一定程度后，對算理和算法的理解與建構就完全擺脫了現實模型和圖形表征，僅靠數學世界里的概念、判斷和推理來實現。此時，讓學生借助言語和符號表征來進行抽象思維和演繹推理，就顯得尤為重要。

如筆者引導學生借助符號表征和言語表征，巧妙地“視聽”小數除法的算法和算理。在計算0.196÷0.56時，引導學生通過畫2組弧線和點3個小數點，清晰地表征小數點的處理過程，同時有條理地進行言語表述：除數是小數，先將除數的小數點向右移動2位，使它變為整數;要使商不變，被除數的小數點也要向右移動相同的位數;商的小數點和被除數移動后的小數點對齊。同時追問：為什么除數和被除數的小數點都要向右移動2位？為什么商的小數點只能跟被除數移動后的小數點對齊？最后，引導學生用言語概括出小數除法的一般算法。至此，學生不僅掌握了小數除法的算法和算理，還感悟了滲透其中的轉化思想，提高了語言概括能力和有序思考能力，增強了用數學表征來思考數學的信心與技巧。

3.讓數學模型的建構水到渠成

在由實際問題抽象成數學模型的建模過程中，借助實物或手勢進行的動作表征，以及借助想圖、看圖、畫圖來進行的形象表征固然重要，但之后借助言語表述、符號標注、列表列式等進行的抽象表征更為重要。它甚至是建模成敗的關鍵，是培養學生抽象思維的重要抓手。

如蘇教版《數學》i年級下冊的“長方形和正方形的面積計算”，由于教材中只安排學生被動地用l平方厘米的方格擺、量、算3個較小的長方形面積，學生的操作活動一直在低層次打轉轉，做得多想得少，學生的動作思維跟形象思維、抽象思維間出現了斷層，教學效果欠佳。為此，我們引導學生按選方格、擺方格、算方格的步驟，分別去測量郵票、作業封面、教室地面的面積。測量中，引導學生由擺滿方格到只擺部分方格，再到用一個方格去擺，直至在頭腦中擺方格，思維難度逐步加大。而每次操作活動中，都引導學生邊看實物或圖形，邊有序進行言語表述與符號填寫——“選面積l平方（）的方格去測量，每行擺（）個方格，擺（）行，一共是（ ）×（）方格，面積是（ ）”，從而強化了“求長方形面積，就是看一共包含多少個面積單位”的知識內核，使面積計算模型的建構水到渠成。借助與實物或圖形相對應的言語與符號的及時抽象，數學思維的斷層瞬間彌合，學生的空間觀念真正實現由“一維”到“二維”的飛躍，并為以后學習用立方格去測量三維空間的物體體積，埋下了思維生長的種子，培育了結構化認知、系統性思維。

二、言語與符號表征讓數學思維的“穿越”靈動自如

在數學學習中，幫助學生及時實現由動作思維到形象思維再到抽象思維的提升，是數學建模能否順利達成的關鍵;而在應用模型過程中，則要著重引導學生借助動作表征、形象表征，尤其是借助言語表征和符號表征，將實際問題由抽象變為形象、由繁雜變為簡單，將解題思路由模糊變為清晰、由內隱變為外顯、由艱澀變為流暢，讓思維在具象、形象和抽象間順逆穿梭、自由跳躍、靈活轉換，進而讓學生在實際運用中更好地提升數學理解力和執行力、培養實踐能力和創新精神。

1.讓解題思路的呈現一目了然

蘇教版數學教材中安排了解題策略的教學，目的是引導學生借助畫圖、列舉、列表等策略成為思考的高手。其實，在解答一些老大難問題時，我們還可以引導學生在理解的基礎上，用共同約定的符號或言語來“固化”解題流程，讓解題思路的呈現一目了然、耳熟能詳。

比如，在解答“小強用5米長的鐵絲做了8個完全一樣的‘九連環。做一個‘九連環需要鐵絲（）/（）米，1米長的鐵絲可以做（）/（）個？”等有關分數除法的

實際問題時，學生一開始很容易出錯。因為他們將這類問題跟“求A是B的幾分之幾”的問題混為一談，常用問題中先出現的量，去除以后出現的量。為此，我們先以學生幼兒園時就會解答的問題“平均每人分得幾塊糖”為例，讓他們明確：最終求的是每份幾塊糖，不是每份幾個人，所以要將“糖的總塊數”平均分，關系式是“總塊數÷總人數”;同時讓學生用畫圈來關注問題中的計量單位，用交叉的箭頭進行符號標注（如圖3中的標注），提醒自己是用后面的總數量去除以前面的總份數;同時引導學生用言語表述：做一個‘九連環要鐵絲多少米，關鍵的單位名稱是“個”和“米”，要求每份是多少米，要用“總米數÷總個數”;1 米長的鐵絲可以做多少 ，關鍵的單位名稱是“個”和“米”，要求每份是多少個，要用“總個數÷總米數”。有了以上的符號標注與言語表述，學生頓時醒悟，再想出錯也不可能了。

2.讓分率含義的解讀一清二楚

在小學數學中，分數常常被認為是最復雜的數。有研究者認為，分數是一些小學生在數學學習中出現困難的實際起點，并由此在小學生的數學學習中出現了兩極分化[2]。為了幫助學生攻破這一學習堡壘，尤其是幫助學生精準解讀表示關系的分數——分率的含義，除了做手勢、畫圖形等方法外，筆者引導學生創造性地用符號標注和言語表述來理解分數的含義，使學生在“守本分、抓份數“中思路澄澈、心如明鏡。

如在解答蘇教版《數學》六年級上冊的分數乘法問題：吳大伯家去年收白果520千克，收的核桃比白果多2/5。收的核桃比白果多多少千克？收核桃多少千

克？筆者引導學生借助符號清晰解讀分率2/5的含義，

即：（ ） ;言語表述：2/5是把白果的千克數看作“單位1”的量，平均分成5份，核桃多這樣的2份，共7份。之后讓學生以白果的千克數為標準，寫出多個乘法或加法的關系式。在獨立思考與全員互動的基礎上，學生找到了4個關系式：白果千克數×2：多的千克數，白果千克數×（1+2/5）：核桃的千克數，白果千克數+多的千克數=核桃千克數，白果千克數×（1+1+2/5）：它們一共的千克數。有了這

樣的深刻解讀，之后的問題解答就輕松多了。

3.讓數學推理的展開順暢自如

人們在登山時，總要借助石階、扶手，甚至是套在身上的繩索。同樣，解答復雜問題時，言語與符號表征尤如救命的繩索，會讓學生的抽象思維和邏輯推理安全行進，進而成功地培育他們的抽象思維與理性精神。

解答蘇教版《數學》六年級下冊的雞兔同籠問題，教材上的方法一般有畫圖調整法、列表調整法、列方程解答法和直接列式解答法。筆者教學時，引導學生在頭腦中想圖的同時，借助符號標注與言語表述，及時地進行合情推理與逆向推理，讓學生在符號世界里成功地完成理性推演，獲得難題的破解和理性思維的提升。圖4是一位學生上臺板演的解題過程（題目：雞兔同籠，共有頭35只，腳94只。求雞、兔各幾只？）。板演后，向全班交流了他的思路：將其中的兔全部假設為雞，那1兔看成l雞，腳數就會少2只，那么腳數一共會少24只;24里有12個2，所以兔的只數就是12只，雞的只數是23只。以上過程中的標注和列式，直擊知識內核和思維要害，幾乎被所有學生內化與活用;同時還無痕地滲透了抽象、推理、建模等數學思想，培養了理性化、結構化的思維方式和認知圖式。

總之，我們要創造性地借助言語表征和符號表征，使學生的動作思維、形象思維和抽象思維得以生動、和諧、全面地獲得發展，讓學生的思維在具象、形象和抽象間自如提升、自由穿梭，從而培養學生的多元思維和理性精神，使數學核心素養的培育落地生根。

參考文獻

[1]曹培英.“抽象”能否成為小學數學學科的核心素養[J]小學數學教師，2015（ Z1）.

[2]鄭毓信.分數的教學與數學思維[J].小學教學：數學版，2010 （05）.

[責任編輯：陳國慶]