不定方程x2+4096=4y11的整數解

姜美楊，高 麗

(延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

設C，D，E∈N，C為無平方因子，關于不定方程

Cx2+D=Eyn(x,y,n∈N,n≥2)

的求解問題是數論中的一個重要問題，許多研究者發現若是用代數數論的方法解決這類不定方程，會取得較好的結果：Ledesgue[1]證明了C=1，D=1時無整數解；Nagell[2]證明了當C=2，D=1，n=5時僅有整數解(x,y)=(±11，3)；2008年高麗和馬永剛[3]證明了C=1，D=16，E=1，n=7時無整數解；2014年安曉峰[4]證明了當C=1，D=64，E=1，n=11時無整數解；2015年孫樹東[5]證明了當C=1，D=64，E=1，n=13時無整數解；2017年尚旭[6]證明了C=1，D=44，45，46，E=1，n=13時，當D=44，45時無整數解，當D=46時僅有整數解(x,y)=(±64,2)；2018年鄭璐等[7]證明了當C=1,D=1024,E=1,n=11時僅有整數解(x,y)=(±32,2)；申江紅等[8]證明了當C=1,D=1024,E=4,n=9時僅有整數解(x,y)=(±32,2)。當C=1,D=4096,E=4,n=11,13的情形目前還沒有進行討論，本文運用同余理論以及代數數論[9]等方法證明了不定方程x2+4096=4y11有且僅有整數解(x,y)=(±64,2)。

1 主要引理

引理1[10]設M是唯一分解整環，α，β∈M，(α，β)=1，若αβ=γk，γ∈M，正整數k≥2，則

α=ε1μk，β=ε2υk，μυ∈M，

其中ε1,ε2是M中的單位元素，并且ε1ε2=εk,ε為單位元素。

引理2[7]不定方程

x2+1024=y11

僅有整數解(x,y)=(±32,2)。

2 定理及證明

定理不定方程

x2+4096=4y11

(1)

僅有整數解(x,y)=(±64,2)。

證明分兩種情況討論

(1)當x≡1(mod2)時，在Z[i]中，(1)式可寫為

(x+64i)(x-64i)=4y11,x,y∈Z。

設δ=(x+64i,x-64i)，由δ|(2x,128i)=2，得δ只能取1，1+i,2。因x≡1(mod2)，有x+64i≡

1(mod2)，所以δ≠2。如果δ=1+i，那么有

N(1+i)|N(x+64i)，即2|x2+4096，

然而這與x≡1(mod2)矛盾，所以δ=1。

因而由引理1可知

x+64i=4(a+bi)11，x,a,b∈Z，

所以

x=4(a11-55a9b2+330a7b4-462a5b6+

165a3b8-11ab10)

(2)

64=4b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+

55a2b8-b10)

(3)

因此b=±1，±2，±4，±8，±16。

當b=1時，由(3)式可知

64=

4(11a10-165a8+462a6-330a4+55a2-1)，

17=11(a10-15a8+42a6-30a4+5a2)，

要使上式成立，那么必須使得11|17，矛盾，因此b≠1。

當b=-1時，由(3)式可知，

-15=11(a10-15a8+42a6-30a4+5a2),

即11|15，矛盾，因此b≠-1。

當b=2時，由(3)式可知，

210+8=

11(a10-60a8+672a6-1920a4+1280a2)，

要使上式成立，那么必須使得11|210+8，矛盾，因此b≠2。

當b=-2時，由(3)式可知，

210-8=

11(a10-60a8+672a6-1920a4+1280a2)，

上式若要成立，那么必須使得11|210-8，矛盾，因此b≠-2。

當b=4時，由(3)式可知，

410+4=11(a10-240a8+10752a6-

12880a4+32768a2)，

上式若要成立，那么必須使得11|410+4，矛盾，因此b≠4。

當b=-4時，由(3)式可知，

410-4=11(a10-240a8+10752a6-

12880a4+32768a2)，

上式若要成立，那么必須使得11|410-4，矛盾，因此b≠-4。

當b=8時，由(3)式可知

810+2=11(a10-960a8+172032a6-

7864320a4+83886080a2)，

上式若要成立，那么必須使得11|810+2，矛盾，所以b≠8。

當b=-8時，由(3)式可知

810-2=11(a10-960a8+172032a6-

7864320a4+83886080a2)，

上式若要成立，那么必須使得11|810-2，矛盾，因此b≠-8。

當b=16時，由(3)式可知

1610+1=11(a10+3840a8+2752512a6-

503316480a4+21474836480a2)，

上式若要成立，那么必須使得11|1610+1，矛盾，因此b≠16。

當b=-16時，由(3)式可知

1610-1=11(a10+3840a8+2752512a6-

503316480a4+21474836480a2)，

99955602525=a10-3840a8+2752512a6-

503316480a4+21474836480a2，

99955602525=52×3×17×31×41×61681=

a2(a8-3840a6+2752512a4-503316480a2+

21474836480)，

上式若要成立，則a2=1或a2=25。

當a2=1，代入上式

a2(a8-3840a6+2752512a4-503316480a2+

21474836480)=20974268673≠99955602525，

所以a2≠1。

當a2=25時，代入

a2(a8-38340a6+2752512a4-503316480a2+

21474836480)=263815877625≠99955602525，

所以a2≠25，即當x≡1(mod2)時，不定方程(1)無整數解。

(2)在x≡0(mod2)時，可以得出x為偶數。

由引理2知不定方程(1)有整數解(x,y)=(±64,2)。

綜上所述，可得不定方程x2+4096=4y11僅有整數解(x,y)=(±64，2)。