二維非線性阻尼Navier-Stokes方程弱解的存在性

熊坤翠，姜金平，張亦馳，劉文婧

(延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

我們討論如下的二維Navier-Stokes方程：

(1.1)

其中，u=u(x,t)∈2表示速度，p表示壓力項，f(x)表示外力項；Ω表示在2上的光滑區域，?Ω是表示Ω的邊界，v>0表示流體的運動粘性系數；在阻尼項中，c>0,β≥0二者都是常數。

對于Navier-Stokes解的存在性的探討在文獻[1-3]等都有一定的研究。本文通過Galerkin方法討論了當二維Navier-Stokes方程增加非線性阻尼時，它的弱解存在。

1預備知識

給出Sobolev空間的定義：對p≥1,m是非負整數，則：Wm,p=LP(Ω)∩{u|Dαu∈Lp(Ω),|α|≤m}={u|u∈LP(Ω),Dαu=LP(Ω),|α|≤m}，通常用LP(Ω)與Hr(Ω)表示Sobolev空間，在他們上面的內積分別為u=(u1,u2)和v=(v1,v2)在空間H1(Ω)的范數記為

‖u‖=‖u‖H1=‖▽u‖L2=

LP(Ω)空間中的范數為：

|u|p=‖u‖p=?Ω|u|pdx。

如下Poincare’不等式成立：

λ1|u|2≤‖u‖2。

(2.1)

B(u,u,v)=0,B(u,v,w)=-(B(u,w),v)，

由文獻[4]可知，對每一個u,v∈D(A)，有

及|B(u,v,w)|≤

給方程(1.1)兩邊同時作用投影算子P得：

2 弱解的存在性

定義1[2]設f∈L2(Ω)，對任意T≥0，若函數對(u(x,t),p(x,t))滿足以下性質：

(1)u∈L2(0,t;V)∩L∞(0,t;H)∩

Lβ(0,T;L2(Ω))，

定理1 設f∈L2(Ω)，u0∈V及P≥0，則對于任意給定的T≥0，方程(1.1)存在弱解u，使得u∈L2(0,T;V)∩L∞(0,∞;H)∩Lβ(0,T;L2(Ω))。

我們先定義方程(1.1)的弱解。

c(|u|β，ωj)uk=(f,ωj)，

j=1，2，…k,uk(0)=u0k，

(3.1)

將方程(1.1)與uk做內積得：

穆爾通過動物寓言故事反映人類生活，盡管它們是寓言性的，反映的是現實生活。穆爾在動物世界里找到了自己的生活，展示了一個豐富的自我。從文化批評的角度看，她筆下的動物大多為雌性動物或與女性有關，體現了詩人對女性的關懷。穆爾以嚴肅的創作態度描寫動物、了解動物、尊重動物。她筆下的人與動物是互補的關系。穆爾通過動物詩歌提醒我們，自然界的生靈時刻受到人類的侵擾和控制，人類總是試圖成為大自然的主宰。穆爾明確提出，動物有著它們自己的權利，值得被尊重；人類應該學習和模仿自然，而不是控制和征服自然。

c‖uk‖β+2=(f,uk)，

(3.2)

再利用Young’s不等式和H?lder不等式，得：

再整理得：

(3.3)

再利用(2.1)得：

由Gronwall’引理，可得：

|uk|2≤

(3.4)

在(3.3)式兩邊對時間t積分得：

?m>0，

(3.5)

根據(3.4)和(3.5)得到：

(3.6)

因此uk在L∞(0，T；H)，L∞(0,T;V)，Lβ(0,T;L2(Ω))中有界，又因為B(u,v,w)=0和

可知：‖B(φ),φ‖≤c|φ|1‖φ‖2，?φ∈V。

(3.7)

(3.8)

(3.9)

根據參考文獻[5]得uk在L2(0,T;H)中弱收斂于u。通過對(3.1)兩邊同時取極限，由(3.7)、(3.8)和(3.9)可得uk在H,V′中，uk弱收斂于u，?t∈[0,T]。再通過對(3.1)取極限，

對于?v∈V∩L2(Ω)，

(f,v)，

因此u滿足：

利用參考文獻[6]，可得u∈C([0,T];H)通過對(3.1)取極限，讓k→∞可得u(x,0)=u0(x)，則定理1得證。