結式循環矩陣的運算及性質

劉興祥，張 宇，王 姣

(1.延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000；2.西北農林科技大學 理學院，陜西 咸陽 712000；3.西安建筑科技大學 信息與控制工程學院，陜西 西安 710000)

循環矩陣是一類特別重要的特殊矩陣，它的應用[1-5]也極其廣泛，因為循環矩陣的特殊性質以及特殊結構，所以對循環矩陣的性質和應用的研究及推廣[6-8]非常有必要。結式循環矩陣作為循環矩陣的一種，在此之前，不少學者已經研究了結式循環矩陣的逆與廣義逆。本文將結式循環矩陣與多項式理論結合起來，進一步研究結式循環矩陣的更多性質，給出了結式循環矩陣的運算及性質。

1 預備知識

f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)。

2 結式循環矩陣的性質

定義2.1 矩陣A，B具有相同的循環因子，稱矩陣A，B為同型結式循環矩陣。

定義2.2 設矩陣A，B均為結式循環矩陣，其中

矩陣A+B=

定義2.3 設矩陣A，B均為結式循環矩陣，其中

矩陣A-B=

定義2.4 設矩陣A，B均為結式循環矩陣，其中

性質2.1 設矩陣A，B為n階同型結式循環矩陣，則矩陣A+B仍為結式循環矩陣。

由定義2.2得矩陣

則矩陣A+B的特征多項式為

由定義2.2得

a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1+

b0E+b1P+b2P2+…+bn-1Pn-1=

(a0+b0)E+(a1+b1)P+(a2+b2)P2+…

+(an-1+bn-1)Pn-1，

所以矩陣A+B為結式循環矩陣。

性質2.2 設矩陣A，B為n階同型結式循環矩陣，則矩陣A-B仍為結式循環矩陣。

由定義2.3得矩陣

則矩陣A-B的特征多項式為

由定義2.3得

a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1-

b0E+b1P+b2P2+…+bn-1Pn-1=

(a0-b0)E+(a1-b1)P+(a2-b2)P2+…

+(an-1-bn-1)Pn-1，

所以矩陣A-B為結式循環矩陣。

推論2.2 設矩陣A1，A2，…，An為同型結式循環矩陣，則矩陣A1-A2-…An仍為結式循環矩陣。

性質2.3 設矩陣A為結式循環矩陣，則矩陣kA仍為結式循環矩陣。

由定義2.5得矩陣

ka0E+ka1P+ka2P2+…+kan-1Pn-1=

(ka0)E+(ka1)P+(ka2)P2+…+

(kan-1)Pn-1，

所以矩陣kA仍為結式循環矩陣。

推論2.3 設矩陣A1，A2，…，An為n階同型結式循環矩陣，k1，k2，…，kn為實數，則矩陣k1A1±k2A2±…±knAn仍為結式循環矩陣。

證明由推論2.1、推論2.2及性質2.3可得。

性質2.4 設矩陣A，B為n階同型結式循環矩陣，則矩陣AB也是結式循環矩陣，且AB=BA。

且Pn=E，Pn+1=P，…，P2n-2=Pn-2。

由引理1.2得

A=a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1，

B=b0E+b1P+b2P2+…+bn-1Pn-1，

則AB=(a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1)·

(b0E+b1P+b2P+b2P2+…+bn-1Pn-1=

(a0b0)E+(a0b1+a1b0)P+…+

(an-1bn-1)P2n-2=

=(b0E+b1P+b2P2+…+bn-1Pn-1)(a0E+

a1P+a2P2+…+an-1Pn-1)=BA，

所以矩陣AB也是結式循環矩陣，且AB=BA。

設ω0,ω1，…，ωn-1為g(x)=0的n個根，即矩陣P的n個特征值，記向量ni(i=0,1,…,n-1)是屬于特征值ωi(i=0,1,…,n-1)的特征向量，

令Q=(n0，n1，…,nn-1)，

所以Q-1PQ=diag(ω0,ω1,…,ωn-1)。

由引理1.2得

A=f(P)=a0E+a1P+a2P2+…+an-1Pn-1，

則Q-1AQ=Q-1f(P)Q=a0Q-1Q+a1Q-1PQ

+a2Q-1P2Q+…+an-1Q-1Pn-1Q=

diag(f(ω0),f(ω1),…,f(ωn-1))，

即在復數域上存在可逆矩陣Q使得

B=Q-1AQ=

diag(f(ω0),f(ω1)，…，f(ωn-1))。

證明由性質2.5得矩陣

B=Q-1AQ=

diag(f(ω0),f(ω1)，…，f(ωn-1))，

記矩陣Q=(n0,n1，…，nn-1)，其中向量ni(i=0，1，…，n-1)是屬于特征值ωi的特征向量，

所以(Q-1AQ)-1=Q-1A-1Q=

diag(f-1(ω0)，f-1(ω1)，…，f-1(ωn-1))，

即A-1=h(P)=

l0E+l1P+l2P2+…+ln-1Pn-1。

證明由性質2.5得矩陣

B=Q-1AQ=

diag(f(ω0)，f(ω1)，…，f(ωn-1))，

記矩陣Q=(n0,n1,…,nn-1)，其中向量ni(i=0，1，…，n-1)是屬于特征值ωi的特征向量，

則(Q-1AQ)T=QTA-1(QT)-1=

(diag(f(ω0),f(ω1)，…，f(ωn-1)))T=

diag(f(ω0),f(ω1)，…，f(ωn-1))，

所以AT=

(Q-1)Tdiag(f(ω0),f(ω1)，…，f(ωn-1))QT，

由性質2.5得，存在可逆矩陣Q，使得

B=Q-1AQ=diag(f(ω0)，f(ω1)，…，f(ωn-1))，

即矩陣A與矩陣B相似，則有