一類參數方程的研究

趙院娥，吳 靜，徐 杰

(1.延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000；2.佳縣中學，陜西 榆林 719000)

極坐標參數方程的研究在整個數學的學習過程中都是非常重要的，它是幾何與代數緊密聯系的紐帶，特別是在解決圓錐曲線的相關問題時，極坐標參數方程的優越性就十分明顯。如今，極坐標參數方程的學習越來越重要，考察的方式也越多樣。以下就以例題分析的形式給出三種常見的極坐標參數方程的考察方式，并就每種方式給出多種解決方法。

1 參數方程與直角方程的相互轉化

直角方程、參數方程、極坐標方程是不同坐標系下的三種不同的常見方程，每種方程都有各自的特點。常見的就是直線、圓錐曲線與圓的三種方程的相互轉化。這種考查方法比較靈活，做法簡單，解題模式固定。

思路探究：根據圖像及題設，三段圓弧均為過圓心，直徑為2的圓的部分圖像組合而成，因此只需將三個過原點的圓的方程列出，并且注意的方程中θ的取值范圍。

方法一：借助圓的極坐標方程

方法二：直角坐標與參數方程之間的相互轉化

由題意知，

M1:(x-1)2+y2=1x∈(1,2)，

M2：(X-1)2+(y-1)2=1x∈(-1,1)，

M3：(x+1)2+y2=1x∈(-2,-1)。

由直角坐標與參數方程之間的相互轉化易知：

方法解析：本題在極坐標與參數方程中屬常規題，主要考察在極坐標下根據圖像求方程，由極坐標的幾何意義，及圖像的特殊性，可以較為容易的求解函數方程，對于大部分學生而言，更為熟悉的是直角坐標方程，由于直角坐標系與極坐標系之間聯系的特殊性，直接以極軸為直角坐標的x軸的非負半軸，極點作為坐標原點構建直角坐標系，在直角坐標系中求曲線方程在依據直角坐標與極坐標之間的轉化求曲線的極坐標方程，也不失為一種方法，但解法一簡潔明了，方法二方便學生理解。

2 極坐標系下的弦長問題

求圓錐曲線的弦長，是常見得一種考查方式。常見求解弦長得方法有以下三種，每種方法都有各自的應用范圍，且考查的能力也不相同。

例2(2018江蘇)[選修4—4：坐標系與參數方程]

方法一：借助極坐標的幾何意義，結合函數圖像，根據題設構建特殊三角形求解。

方法二：聯立直線與曲線的參數方程求兩交點的坐標，進而解決弦長問題。

方法三：將極坐標參數方程轉化為直角坐標方程，利用弦長公式解決問題將直線L與曲線C的極坐標方程轉化為直角坐標方程[3]。

C的直角坐標方程為：(x-2)2+y2=2

根據弦長公式

方法解析：本題主要考察了在極坐標下的弦長問題，解法多樣，涉及知識點廣泛，既考查了極坐標中極徑和極角的幾何意義，又考察了弦長公式，有利于拓寬學生視眼，更有利于培養學生的數學思維，其中方法二的使用為舊題新解，通常意義上講，弦長問題的解決可借助聯立方程組利用弦長公式和求交點坐標來解，這是針對直角坐標中，但對于極坐標下的弦長問題仍然可以借助聯立方程求交點來解決問題，其中較為難理解的地方是ρ的正負取值和θ的不唯一性。至于方法三主要是“極”化“直”的常規應用，再利用弦長公式解決問題，方法簡單易理解，本題也有第四種解法，將極坐標方程化為參數方程聯立利用弦長公式求解，但是適用性不強，運算繁瑣，故筆者未作解釋[4]。

3 軌跡方程

動點軌跡方程的考查是難度較高的考查，這類方程的的復雜性較高，考查較為全面，靈活性較強。以下給出一道例題，并通過兩種方法解讀這類題的本質。

例3[選修4—4：坐標系與參數方程]

(1)求α的取值范圍；

(2)求AB中點P的軌跡的參數方程。

解析：(1)⊙O的直角坐標方程為x2+y2=1。

解得k<-1或k>1，

(2)方法一：聯立直線與圓的參數方程，求A、B的坐標，利用中點坐標公式求P的軌跡的參數方程

所以點P的軌跡的參數方程是

又因為p在直線上，

即為p的軌跡關于參數k的參數方程(也可將參數方程轉化為直角坐標方程化為型如方法一的參數方程)。

方法解析：(Ⅰ)由于直線與圓有兩個交點，設直線的斜率為k構建直線的方程，利用圓心到直線的距離小于半徑可以確定k的取值范圍，利用斜率與傾斜角的關系可以求α的取值范圍，(Ⅱ)方法一：聯立直線與圓的參數方程，求A、B的坐標，利用中點坐標公式求P的坐標，將坐標點帶回直線方程，以α為參數求軌跡的參數方程[6]：聯立直線與圓的直角坐標方程，求A、B的坐標，利用中方點坐標公式求P的坐標，用參數k來表示軌跡的參數方程。也可以利用二次轉化，化為形如方法一的參數方程。

4 結語

極坐標與參數方程作為數學學習階段的重要內容，其的重要性不言而喻，它是幾何與代數之間的紐帶，正是對于極坐標與參數方程的研究，極大的拓寬了數學的深度和廣度，為方程和函數注入了鮮活的生命力，大大簡化了部分函數問題，也為解決實際問題提供了便利。本文總結的三種常見考察方式及其多種解決方法，實際點明了極坐標參數方程與直角坐標方程的聯系與區別，而參數方程的綜合性很強，它實際上為解決曲線與直線問題提供了一種更為便捷的方法，同時體現了多種數學思想方法。