數學核心素養在回歸分析中的體現

■張志猛

題目新高考改革方案實施“3+3”的考試辦法，出現20種選科組合，于是“走班制”上課方案應運而生，但教室數量少、師資人數少和優化配置上課教室等新矛盾產生。《普通中小學校建設標準》(2015年征求意見稿)中增設機動教室、選修課教室配置等條款，進而增加生均建筑面積，以此緩解矛盾。其中第四章第二十四條“普通中小學必配生均建筑面積指標”表部分摘要如表1。

表1

試用回歸分析知識中最小二乘法求出回歸直線方程，并計算某學校班級數量設置為42個時，對應的生均建筑面積是多少平方米。[注：對于具有線性相關關系的數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線方程為=bx+a，其中斜率b=截距a=

正解：根據回歸分析中最小二乘法求回歸直線方程的基礎知識可知，y3+y4+y5)=10.14，所以=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5=77400，=。故b=。 因為a=y-bx=10.14-，于是可得當x=42時，故某學校班級數量為42個時，對應生均建筑面積是9.45m2。

錯解：數據分析部分同上面正解，數學抽象部分改為五組數對坐標A(18，11.2)，B(24，10.6)，C(30，10.0)，D(36，9.6)，F(48，9.3)，求新數對坐標E(42，y)中y的值。運用最小二乘法求回歸直線方程，可得到^y=10.065，結果顯然是錯誤的。

錯解分析：原因之一是班級數量不是學生總體個數，與生均建筑面積組成數對后，再求生均建筑面積是本質性錯誤。原因之二是由于表中增設機動教室或選修課教室，增加了普通教室數量和面積，進而也不同比例地改變了生均建筑面積。所以，這種抽象概括的五組數對坐標，對于運用最小二乘法先求回歸直線方程，再求生均建筑面積是錯誤的。

小結：若本題未要求“用回歸分析知識中最小二乘法求出回歸直線方程”，則可以借助回歸直線方程的結論思想，直接利用中學課本中向量的平行(共線)、向量坐標運算及拓展知識“定比分點坐標公式”，進行數學運算完成解答。高中數學中的回歸直線方程相對應于大學數學中插值函數的線性插值法(線性插值法是指使用連接兩個已知量的直線來確定在這兩個已知量之間的一個未知量的值的方法)，此類題目也可以運用線性插值法進行計算。