覆蓋層、雙凹陷地形和入射角對(duì)SV 波的影響

方浩

蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院,江蘇 蘇州215011

局部凹陷地形和凸起地形一直是地震工程學(xué)研究中的一個(gè)重要的課題，而對(duì)凹陷地形的研究中，尤以沉積谷地和凹陷地形為主。由兩個(gè)凹陷地形相連接的地形在自然界中也廣泛存在，比如在山脈的兩側(cè)均是河流的地形上修建設(shè)施，可將該地形簡(jiǎn)化為兩個(gè)方形凹陷地形相連接的地形，因此研究該類(lèi)地形在實(shí)際工程中是具有意義和未來(lái)前景的。

凹陷地形下地震動(dòng)的研究包括半橢圓形凹陷地形[1]，圓弧形凹陷地形[2-4]以及凸起地形和凹陷地形相連的地形[5-7]等等。丁海平[8]等采用有限元數(shù)值模擬的方法，依次探討了SV 波以0o～30o入射時(shí)，單個(gè)凹陷地形在有無(wú)覆蓋層時(shí)地表點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)；巴振寧[9]等采用間接邊界元的方法，分析了SV 波入射時(shí)無(wú)覆蓋層沉積谷地的個(gè)數(shù)以及谷地間距對(duì)地表點(diǎn)位移幅值以及放大系數(shù)的影響；許貽燕和韓峰[10]利用復(fù)變函數(shù)和多級(jí)坐標(biāo)的方法研究了平面SH 波對(duì)多個(gè)半圓形凹陷的散射，分析了兩個(gè)半圓形凹陷地形之間的相互作用。目前有關(guān)凹陷地形的研究主要還是集中在單一凹陷地形情況，而且多是關(guān)于SH 波波動(dòng)的問(wèn)題，對(duì)于多個(gè)有覆蓋層凹陷地形而且是關(guān)于SV 波的研究還沒(méi)有被人所研究，因此本文在文獻(xiàn)[8]，文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)之上，探討分析有覆蓋層的雙凹陷地形對(duì)平面SV 波的散射。文章主要采取有限元與多次透射邊界相結(jié)合的數(shù)值模擬法[11,12]，探究覆蓋土層厚度，入射角以及凹陷間距對(duì)SV 波入射下雙凹陷地形地表上測(cè)點(diǎn)的位移的影響，并得到了一些有用的結(jié)論。

1 研究方法

在進(jìn)行多個(gè)有覆蓋層凹陷地形對(duì)SV 波的散射問(wèn)題分析前，首先需要得到SV 波入射時(shí)的自由場(chǎng)，該自由場(chǎng)直接關(guān)系到最終計(jì)算結(jié)果的精度。本文主要依據(jù)傳遞矩陣法和波動(dòng)傳播規(guī)律[13]得到彈性水平成層半空間的自由場(chǎng)位移，以作為分析土體散射問(wèn)題的輸入波場(chǎng)。

在進(jìn)行數(shù)值模擬分析時(shí)，將計(jì)算區(qū)域內(nèi)的所有節(jié)點(diǎn)分為內(nèi)節(jié)點(diǎn)和人工邊界節(jié)點(diǎn)。位于人工邊界上的節(jié)點(diǎn)u0稱為人工邊界節(jié)點(diǎn)，其余的節(jié)點(diǎn)包括自由表面上的節(jié)點(diǎn)u稱為內(nèi)節(jié)點(diǎn)。所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)的位移可通過(guò)運(yùn)動(dòng)方程求得：

其中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；P為外力矢量，針對(duì)本文模型，P為0。所有邊界節(jié)點(diǎn)的計(jì)算主要通過(guò)多次透射公式求得，即邊界節(jié)點(diǎn)u0在p+1 時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)表示為：

其中：N為透射階數(shù)；0 為邊界點(diǎn)；j為與邊界點(diǎn)0 相鄰的內(nèi)節(jié)點(diǎn)；式（2）中表示的是節(jié)點(diǎn)外行波場(chǎng)的位移，設(shè)外行波場(chǎng)位移為us，全波場(chǎng)位移為u，參考波場(chǎng)為ur，三者滿足

左側(cè)邊界區(qū)內(nèi)，參考波場(chǎng)ur可取為入射波在彈性半空間產(chǎn)生的自由場(chǎng)；右側(cè)邊界區(qū)內(nèi)，地震波垂直入射時(shí)，參考波場(chǎng)ur同左側(cè)邊界計(jì)算，斜入射時(shí)取ur=0；在底部邊界區(qū)內(nèi)，參考波場(chǎng)可取為入射波場(chǎng)。

2 計(jì)算模型

該計(jì)算模型主要為在一彈性半空間中有兩個(gè)方形凹陷面的模型，且兩個(gè)凹陷面對(duì)稱分布，具體如圖1 所示。模型大小為700 m×200 m，凹陷面尺寸均為100 m×50 m 且保持不變。覆蓋層位于地表以及凹陷底部的表面上，覆蓋層與土體介質(zhì)均保證均勻彈性且各向同性。覆蓋層厚度用h表示，兩凹陷凈間距用S表示。土體和覆蓋層的介質(zhì)密度ρ1和ρ2分別為2000 kg/m3和1700 kg/m3，剪切波速cs1和cs2分別為1000 m/s 和400 m/s，壓縮波速cp1和cp2分別為1732 m/s 和833 m/s，泊松比均為0.25。假定地震波從模型左下方入射，入射角為θ，選取的輸入波為脈沖波，脈沖寬度為0.5 s，輸入脈沖的時(shí)程曲線如圖2 所示。

圖1 雙凹陷地形計(jì)算模型Fig.1 Calculating model of the terrain with two depressions

圖2 入射波時(shí)程曲線Fig.2 Time history curve of incident wave

為保證數(shù)值模擬計(jì)算穩(wěn)定，采用正方形單元將計(jì)算區(qū)離散，有限單元尺寸為5 m×5 m，選取計(jì)算時(shí)間步距為0.002 s。在凹陷左右兩側(cè)地表和凹陷底部上每隔5 m 設(shè)置一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)（除去兩凹陷底部第一個(gè)點(diǎn)和最后一個(gè)點(diǎn)），共141 個(gè)點(diǎn)，從左到右編號(hào)1～141 號(hào)以觀測(cè)地表運(yùn)動(dòng)情況。

3 結(jié)果分析

本文采用水平地震動(dòng)放大系數(shù)|u/Amax|和豎向地震動(dòng)放大系數(shù)|w/Amax|來(lái)描述地形對(duì)地震動(dòng)的放大效應(yīng)，其中u，w分別為觀測(cè)點(diǎn)地表地震動(dòng)水平位移峰值和豎向位移峰值，Amax為輸入地震動(dòng)峰值，對(duì)于本文研究模型，Amax=1。

3.1 覆蓋土層厚度的影響

基于圖1 中的雙凹陷計(jì)算模型，采用控制變量的方法，保持兩凹陷面的凈間距S=200 m 不變，分別取覆蓋土層厚度h=0 m（無(wú)覆蓋層），h=10 m 以及h=20 m，通過(guò)對(duì)比SV 波以θ=0o，15o以及30o入射時(shí)雙凹陷左右兩側(cè)地表和凹陷底部共141 個(gè)測(cè)點(diǎn)的放大系數(shù)，分析覆蓋土層厚度和入射角對(duì)雙凹陷地形地震響應(yīng)的影響。具體結(jié)果如圖3 所示。

圖3 覆蓋土層厚度不同時(shí)地表各測(cè)點(diǎn)的震動(dòng)放大系數(shù)（θ=0o，15o，30o）Fig.3 Shaking amplification factors at each measuring point when the thickness of the soil layer was different

對(duì)比圖3 中1～141 號(hào)測(cè)點(diǎn)的水平和豎向放大系數(shù)大小，發(fā)現(xiàn)無(wú)論入射角如何變化，有覆蓋土層的測(cè)點(diǎn)的位移放大系數(shù)總是大于沒(méi)有覆蓋土層的測(cè)點(diǎn)的位移放大系數(shù)，而且覆蓋土層的厚度越大，同一測(cè)點(diǎn)的位移放大系數(shù)會(huì)相應(yīng)地增大，這表明覆蓋土層對(duì)局部地形的地震動(dòng)有明顯的放大作用。而且，垂直入射時(shí)，位于兩凹陷之間地表的中間點(diǎn)由于是處于模型的對(duì)稱位置，并且SV 波垂直入射相對(duì)于豎向坐標(biāo)軸是反對(duì)稱振動(dòng)，因此該位置的豎向地震動(dòng)放大系數(shù)始終為0，并且不隨覆蓋土層厚度的改變而改變。此外，地震動(dòng)位移放大系數(shù)還會(huì)受到入射角度，觀測(cè)點(diǎn)位置以及位移分量的影響，規(guī)律復(fù)雜。當(dāng)入射角發(fā)生變化時(shí)，兩凹陷底部區(qū)域的放大系數(shù)變化不大，但是對(duì)凹陷兩側(cè)上部地表的放大系數(shù)影響很大。

3.2 凹陷凈間距的影響

基于圖1 中的雙凹陷計(jì)算模型，采用控制變量的方法，保持覆蓋土層厚度h 為10 m，分別取兩凹陷面凈間距S=100 m，S=200 m 以及S=300 m，通過(guò)對(duì)比SV 波以θ=0o，15o以及30o入射時(shí)雙凹陷左右兩側(cè)地表和凹陷底部共141 個(gè)測(cè)點(diǎn)的放大系數(shù)，分析凹陷凈間距和入射角對(duì)雙凹陷地形地震響應(yīng)的影響。具體結(jié)果如圖4 所示。

圖4 凹陷凈間距不同時(shí)地表各測(cè)點(diǎn)的震動(dòng)放大系數(shù)（θ=0o，15o，30o）Fig.4 Shaking amplification factors at each measuring point when the net spacing of the depression was different

從圖4 的結(jié)果我們可以清晰地得出，凹陷間距的變化對(duì)兩凹陷之間的地表點(diǎn)的放大系數(shù)有很大的影響，但對(duì)凹陷底部和凹陷外側(cè)上部地表點(diǎn)的放大系數(shù)的影響不大。這是由于兩凹陷地形的凈間距越小，波在此范圍中的反射就越頻繁，進(jìn)而加大了地表點(diǎn)的放大效果。當(dāng)SV 波斜入射時(shí)，兩凹陷之間的凈間距越大，兩凹陷之間地表的左側(cè)角點(diǎn)的水平放大系數(shù)越小，右側(cè)角點(diǎn)的水平放大系數(shù)越大，但是對(duì)豎向放大系數(shù)沒(méi)有影響。

4 討論

本文以有覆蓋層雙凹陷地形為分析對(duì)象，采用有限元與多次透射公式相結(jié)合的數(shù)值模擬法，采用脈沖波作為輸入SV 波，通過(guò)對(duì)比雙凹陷左右兩側(cè)地表和凹陷底部共141 個(gè)測(cè)點(diǎn)的放大系數(shù)，分析覆蓋土層厚度，兩凹陷凈間距以及入射角對(duì)雙凹陷地形地震響應(yīng)的影響。在探究覆蓋土層厚度的影響時(shí)，發(fā)現(xiàn)有覆蓋土層時(shí)測(cè)點(diǎn)的放大系數(shù)總是大于無(wú)覆蓋土層時(shí)測(cè)點(diǎn)的放大系數(shù)。丁海平等[8]將脈沖波作為SV 波輸入波，探究單一凹陷地形下有無(wú)覆蓋土層時(shí)對(duì)地震動(dòng)響應(yīng)的影響發(fā)現(xiàn)：覆蓋土層的存在對(duì)地表運(yùn)動(dòng)有很大的倍增作用。這與本文的研究結(jié)果一致。

在探究雙凹陷凈間距對(duì)地震動(dòng)響應(yīng)的影響時(shí)，發(fā)現(xiàn)隨著凹陷凈間距的改變，不同間距時(shí)相對(duì)應(yīng)的測(cè)點(diǎn)的水平放大系數(shù)和豎向放大系數(shù)均有改變，但總體是沿著凹陷放大的方向。巴振寧等[9]在探究無(wú)覆蓋層沉積谷地個(gè)數(shù)和沉積間距對(duì)地震動(dòng)響應(yīng)的影響發(fā)現(xiàn)：沉積間距能改變沉積間的動(dòng)力相互作用，所以不同間距下對(duì)應(yīng)的測(cè)點(diǎn)位移幅值和放大譜均明顯不同。這與本文的研究結(jié)果一致。

本文主要是基于丁海平和巴振寧的研究上開(kāi)展的，該研究明確了覆蓋土層的厚度，入射角度以及兩凹陷凈間距的影響，為實(shí)際工程中雙凹陷地形的地震動(dòng)響應(yīng)提供了有力的參考，而且本文的方法也同樣適用于分析凹陷的深度和寬度以及凹陷地形的數(shù)量等因素，對(duì)此將另文討論。

5 結(jié)論

文章采用將有限元與多次透射邊界相結(jié)合的方法研究了有覆蓋層的雙凹陷地形對(duì)平面SV 波的散射問(wèn)題，分析了入射角，覆蓋土層厚度以及凹陷凈間距對(duì)地表點(diǎn)放大系數(shù)的影響，得出以下結(jié)論：

（1）覆蓋層的存在對(duì)場(chǎng)地上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有放大作用，覆蓋土層的厚度越大，地表各點(diǎn)的水平位移幅值和豎向位移幅值均越大；

（2）脈沖波入射角度越大，兩凹陷之間地表的位移放大系數(shù)最大值和最小值差距越小，地表點(diǎn)位移放大效果越平緩；

（3）凹陷間距的變化對(duì)兩凹陷之間的地表點(diǎn)的放大系數(shù)有很大的影響，但對(duì)凹陷底部面點(diǎn)和凹陷兩側(cè)地表點(diǎn)的放大系數(shù)的影響不大。凹陷間距越小，兩凹陷之間的地表點(diǎn)的放大系數(shù)越大，節(jié)點(diǎn)的位移幅值越大；

（4）當(dāng)?shù)卣鸩◤淖髠?cè)斜入射時(shí)，凹陷間距越大，凹陷之間地表的左側(cè)角點(diǎn)的水平放大系數(shù)越小，右側(cè)角點(diǎn)的水平放大系數(shù)越大，但是凹陷間距的大小對(duì)豎向放大系數(shù)沒(méi)有影響。