基于NURBS 和Lagrange 插值的濾料粒徑篩選

趙星明,艾典勝,趙 賽

1.山東農業大學水利土木工程學院,山東 泰安271018

2.泰安市建筑設計院有限責任公司,山東 泰安271000

3.上海市政工程設計研究總院集團第七設計院有限公司,山東 青島266001

顆粒層過濾工藝廣泛地應用于自來水和污水深度處理中，主要用于去除水中懸浮物、藻類、有機物等。石英砂是常用的濾料。為了增加濾池的含污能力，需要對石英砂進行篩分，確定要篩除部分大小粒徑范圍，以改進其級配組成。濾料級配是保證過濾效果的關鍵因素，若粒徑分布不均勻，顆粒會互相摻雜而降低孔隙率，影響過濾和反沖洗效果。并且在使用過程中也要定期地做篩分試驗，以檢驗濾料的質量。傳統的圖解法對篩分試驗數據的處理，得到的結果誤差大且計算過程繁瑣。

本文采用NURBS 樣條曲線和Lagrange 拋物線兩種高精度的插值方法。首先內插計算通過濾料質量10%和80%相對應的濾料粒徑d10和d80，然后確定篩除和篩選保留的濾料粒徑，得到新的濾料級配參數，使濾料篩選過程準確方便。

1 濾料篩分試驗

某濾池濾料采自河砂，粒徑為0.63～1.60 mm，按照《水處理用濾料》（CJ/T 43-2005）行業標準進行篩分試驗，要求篩選的濾料達到設計參數d10=0.90 mm，k80=1.4 的要求。對試驗原始數據處理后，形成篩孔徑與通過砂量百分數的篩選結果，如表1 所示。

根據表1 篩分試驗數據，計算出應篩除的天然石英砂最小粒徑和最大粒徑。不均勻系數k80是d80與d10的比值，而d10和d80定義為通過濾料質量10%和80%相對應的濾料粒徑。已知d10=0.90 mm，k80=1.4，則d80=0.90×1.4=1.26 mm。

2 NURBS 樣條曲線插值計算

AutoCAD 是利用非均勻有理B樣條（Non Uniform Rational B-spline，NURBS）算法創建樣條曲線的。NURBS 曲線的基函數為B樣條，各節點間距是非均勻的，允許對控制點加權，由控制點Pi、節點矢量U、權值wi確定。給定n+1 個控制點p0，p1，…，pn和一個節點向量U={u0，u1，…um}，NURBS 曲線方程為：

其中C(u)為曲線上的位置向量，Ni,p(u)是p次B樣條基函數，由Cox-de Boor 遞推公式定義：

AutoCAD 默認wi=1 構造NURBS 樣條曲線，在model 空間的WCS 坐標系，以篩的孔徑為橫坐標，通過篩孔的百分數為縱坐標，利用AutoCAD VBA 調用AddSpline 函數繪制曲線，擬合點公差僅為1.0000E-10，如圖1 所示。節點矢量U 由數組fitPoints 存儲篩孔徑和通過篩孔的百分數坐標值，起始切點和終止切點分別由數組startTan 和endTan 存儲，其程序代碼如下：

在圖1 的x軸d10=0.9 和d80=1.26 兩點，分別作與y軸的平行線與曲線相交，從與曲線相交點作與x軸的平行線與y右軸相交，以此兩個交點作為10%和80%，向外延伸得到0 和100%兩點，構建一個新坐標系。新坐標系的0 和100%兩點對應的x值為dmin和dmax，即為篩選后保留濾料范圍，之外的全部篩除。

圖1 NURBS 樣條曲線插值計算圖Fig.1 NURBS spline curve interpolation calculation chart

3 Lagrange 拋物線插值計算

濾料篩分試驗結果是篩孔徑xi與通過篩孔的百分數yi之間的相關數據，yi=f(xi)，i=0,1,…n，這個由離散點構成的函數表(xi,yi)，可構造函數f(x)近似表達，通過插值計算d10=0.9 和d80=1.26 通過的濾料質量。

Lagrange 多項式插值的形式為：

滿足插值條件Ln(xi)=yi，i=0,1,…n的插值多項式為：

其中，插值基函數為：

由（4）可知，當n=2 時，為拋物線插值，即：

參與Lagrange 拋物線插值計算的是篩孔徑xi和通過該號篩的以百分比計的砂量yi，實驗數據按xi從小到大順序排列，用Excel 的交換格式.csv 文件存儲。為了較容易實現程序計算，將（6）和（7）寫成等冪形式：

根據Lagrange 拋物線插值算法，自定義內插函數p2d，根據某粒徑內插對應的通過的砂量，程序代碼如下：

程序可在Excel VBA 上運行，計算出P10和P80為40.355%和74.470%，等分可得到P0=35.481%和P100＝84.217%，篩選出來的新砂最小粒徑dmin和最大粒徑dmax為0.861 mm 和1.391 mm。而按NURBS 樣條曲線插值計算的P10和P80為40.360%和74.390%，dmin和dmax為0.862 mm 和1.397 mm，兩種方法計算的結果相吻合。

4 結語

以篩分數據作為控制點和節點矢量，在Auto CAD 平臺上通過VBA 編程創建NURBS 樣條曲線，擬合點公差達到1.0000E-10，使濾料篩選過程準確直觀、簡便快速。而根據Lagrange 拋物線插值算法編程計算，按設計要求的濾料粒徑d10和d80，計算相對應的濾料質量百分比P10和P80，同樣可以計算出篩選的新砂最小粒徑dmin和最大粒徑dmax。使用兩種方法對濾料篩選，其計算結果相吻合。

工程師可根據過濾池的設計要求修改濾料的d10和k80，直接得到相對應的濾料粒徑級配參數dmin、d10、d80、dmax、K80等，使濾料篩選過程準確方便。