例析概念模型的構建

郭靜

【摘要】“模型思想”是數學課程標準修訂過程中新增的一個核心詞，在小學階段怎樣實施數學模型教學，還處于起步和探索階段。如何根據教學實際深入理解模型思想的內涵，從而把“模型思想”融入教學當中，還有很多問題值得探究。

【關鍵詞】概念 模型 構建

數學課程標準指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。在小學階段，模型思想的主要教學形式是滲透。教師需綜合考慮，結合教學內容，采用“教者有意、學者無心”的方式，引導學生由淺入深、由表及里地認識數學模型，感悟模型思想。本文以《認識射線、直線和角》一課的教學為例，淺談如何在概念教學中滲透模型思想。

一、舊知找準起點，初識概念模型

建構主義認為學習是學習者基于原有的知識經驗生成意義、建構理解的過程。教學中，教師需要關注學生的“前概念”，找到新知與學生已有經驗中的契合點，把它作為起點，在此基礎上進行概念的構建，建立起符合學生自己經驗的概念模型。

【片段】

師：想一想：線段有什么特征？畫一條線段，并量一量有多長。

師（小結）：線段有長有短，但無論畫得有多長，我們都能用尺把它的長度量出來，在數學上叫作“有限長”。也就是說，線段是可測量、有限長的。

【評析】

在本環節中，教師引導學生一起復習了之前學過的有關線段的概念，通過看一看、畫一畫、說一說幫助學生抽象出線段是可測量、有限長的本質特征。為后面讓學生體會把線段的一端無限延長得到一條射線，把線段的兩端都無限延長得到一條直線，抽象出射線和直線區別于之前學的線段，是不可測量、無限長的這一概念模型做好鋪墊。

二、經驗突破障礙點，辨識概念模型

認知心理理論認為，一切新的學習都是在原有學習的根基上產生的，新知總是通過與原有認知結構中的相關知識相互聯系、相互作用后獲得意義。學習和生活的所有活動都使得學生獲得了幾何圖形的最初步的概念，但有時這些概念都是模糊的，學生理解起來會有一定障礙，我們有必要把這些經驗進行數學化，以形成新的經驗，從而實現經驗提升或重組。教學中，教師需準確把握學生在構建模型概念時的障礙所在，并通過一定的教學手段進行突破，從而引導學生準確地辨別概念模型。

【片段】（出示夜景圖）

師：這些燈射出的光線有什么共同的特點？

師：這些燈光都是從某一個光源射出去，而且都是沿著直的線往前，前面沒有遮擋的話一直會向無限的遠處射去，沒有終點。這些燈射出的光線，我們都可以看作是射線。（板書：射線）

【評析】

讓學生初步建立“無限”的概念是本課教學難點，也是學生概念構建中的一大障礙。在本環節中，教師引導學生從實際生活原型（光線）出發，引導學生運用觀察、比較、分析、抽象概括等數學活動，讓學生有意識地去掉數學問題中非本質的東西，從而辨識出射線這一概念模型。除此之外，教師還嘗試引導學生用數學語言來表述數學模型，學生在完整經歷數學模型的抽象過程中不僅突破了障礙，而且還培養了數學語言的表達能力，一舉多得。

三、外顯生長點，共識概念模型

一般來說，學生對概念的理解都是個性化的，是學生思維過程的產物。在概念教學中，教師應該充分引導學生將抽象的思維過程轉化成看得見的直觀模型，把思維的空間留給學生，以學生經歷知識的形成過程為主導，使思維外顯，從而抽象出概念的本質特征，形成共識，有效構建概念模型。

【片段】

師：你能憑著對射線的感覺，自己來畫一條線段嗎？（投影展示）

師：這幾位同學畫的線方向不同，看似有長有短，有什么相同的地方？

師（引導）：直;只有一個端點;表示一端無限長。

師（追問）：為什么只在一端畫端點，而另一端不畫？

師（說明）：數學上，在有限的紙上要表達無限長的概念，就是通過不畫端點來表示的。

【評析】

動手操作實踐是數學學習的重要途徑和方法，它能把抽象的數學知識變得看得明、說得清。學生通過動手、動腦、動口參與學習過程，使操作、思維、語言等有機結合，從而建立清晰的數學模型。在本環節中，教師先讓學生利用剛才看到的有關射線的實體模型，根據初步建立的表象，嘗試自己來畫一條射線。再通過投影展示、觀察、交流發現：射線是無限長的，在有限的紙上表達無限長的概念，就是通過不畫端點來表示的，從而達成共識，成功構建“射線有一個端點、無限長”這一概念模型。

四、反思鏈接點，甄識概念模型

數學概念之間具有聯系性，只有建立數學概念之間的聯系，建立數學概念的不同表示之間的聯系，才能透徹理解數學概念;概念學習實際上就是通過建立概念之間內在的以及概念的不同表象之間的各種聯系，使之形成概念網絡。從數學建模的角度來說，“利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造相關數量之間的相等關系或其他數學結構”這一步至關重要。正因為如此，重視引導學生在探索新知的過程中，構造恰當的關系或結構，不僅有利于提高學生的分析能力，而且能使學生逐步增強數學意識、培養數學眼光、感受模型思想的應用價值。

【片段】

師：射線也可以從我們之前學過的線段變化而來，想想看，可以怎樣變？

（生畫后交流）

師：我們把有限長的線段的一端無限延長變化成了射線。怎樣把線段延長，得到一條直線？

（生畫后交流）

【評析】

在本環節中，教師引導學生回顧反思把線段的一端無限延長可以得到一條射線，再次體會從有限長到無限長的聯系與區別，突出射線的本質特征。在此基礎上，把線段的兩端都無限延長就得到一條直線。整個教學過程既溝通新舊知識之間的聯系，又注重引導區別，通過必要的手段幫助學生提升原有的認識，從而更加便捷地得到更具可遷移性的數學模型。本環節板書設計體現了教學內容的系統性和概括性，還富有啟發性和示范性，一方面揭示知識的內在規律，另一方面表明思路的來龍去脈，有利于學生理解線段、射線、直線這三個幾何概念的聯系與區別，有畫龍點睛的作用。

【板書】

五、溝通共同點，省識概念模型

荷蘭數學家弗賴登塔爾曾說過：“數學來源于現實，也必須扎根于現實，并且應用于現實?！彼裕攲W生建立數學模型以后，教師應該幫助學生構造數學現實，尋找兩者共同點，并在此基礎上發展他們的數學現實，及時引導學生在實際應用中解決新問題、同化新知識、拓展新認知，使數學模型成為溝通實際問題與數學知識的橋梁，從而幫助學生進一步提升數學模型的應用水平，積累模型經驗，形成初步的模型思想。

【片段】

師（出示踐踏草坪的圖片）：誰用數學知識解釋一下這種行為？

生：從圖上位置到公交站臺兩點之間連線，線段的距離最短。

（師根據學生的回答，出示圖片，如下圖）

【評析】

為了讓數學服務生活的觀念真正落到實處，模型思維的應用更要重視生活的啟發，并與生活相關聯，達到相互指導的目的。有關踐踏草坪的此類問題在生活中十分常見，在學生的思維中構建“連接兩點的線中，線段最短”這樣的模型就可以幫助學生在日常生活中解決類似問題，從而使學生獲得更直觀的思維感受，提高數學應用能力，促進數學學科持續發展。

六、辨析共通點，洞識概念模型

布魯納認知觀點認為：學習過程是學生原有認知結構中有關知識與新學習內容相互作用 ，形成新的認知結構的過程，學生從事對數學知識的提煉和組織——通過對低層次活動本身的分析，把低層次的知識變為高層次的常識，再經過提煉和組織而形成更高層次的知識，如此循環往復。在此過程中，學生通過反復建立和求解一系列模型，能夠更加透徹地理解數學知識并能自我生成數學知識，進而感悟數學思想，把握數學本質，發展理性精神。

【片段】

師：大家回憶一下，角由哪幾部分組成？

師：角的兩條邊就是我們今天學的——射線，從一個點引出兩條射線可以組成角。

師：我們在畫角的時候，可以先畫出一個端點，也就是角的頂點，再從這個端點畫出兩條射線，也就是角的兩條邊，兩條射線所夾的部分組成一個角。（師示范畫角）

師：延長角的兩條邊，角的大小變了嗎？為什么？

師：角的兩條邊是兩條射線，而射線本來就是無限長的，角的大小與這兩條射線張開的大小有關。

【評析】

本環節中，教師引導學生發現：從一個點引出兩條射線可以組成角，角的兩條邊就是兩條射線。延長角的兩條邊，角變大了嗎？學生之前已經有“角的兩條邊張開得越大角越大，張開得越小角越小”這一直觀經驗，運用新知射線的特征進行解釋，整個過程，環環相扣，順利完成角的再認識。

模型思想的建立是一個循序漸進的過程，一方面需要教師在課堂教學中有意識地滲透，另一方面需要學生在數學學習過程中不斷反思、揣摩與領悟。教師只有基于自身對概念的深刻了解，在概念教學時才能從凸顯概念特征、溝通認知結點等方面來幫助學生實現概念的自我建構。只有這樣，學生對模型思想的認識和對數學的理解才能從“量的積累”達到“質的飛躍”。

【參考文獻】

[1]楊承軍.義務教育階段滲透數學模型思想的意義與策略探究[J].教育評論，2014（4）.

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