因子von Neumann代數(shù)上的非線性中心化子

楊 翠，吳 冰，劉 珍

(1.河北工程技術(shù)學(xué)院信息技術(shù)學(xué)院，石家莊 050091；2.喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844000)

令R是一個(gè)環(huán)(代數(shù))，一個(gè)映射φ:R→R被稱為R上的左中心化子或右中心化子，如果φ(AB)=φ(A)B或φ(AB)=Aφ(B)對(duì)所有的A，B∈R都成立.如果φ既是左中心化子又是右中心化子，則稱φ是中心化子.近年來(lái)，關(guān)于環(huán)(代數(shù))上使得滿足某種條件的線性或可加映射成為中心化子的研究已取得了許多結(jié)果[1-7]，如Vukman[1]證明了2-無(wú)擾自由半素環(huán)M上的可加映射φ，如果滿足對(duì)任意的A∈M，有2φ(A2)=φ(A)A+Aφ(A)，則φ是中心化子；齊[3]證明了標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)M上的可加映射φ，如果滿足條件φ(Am+n+1)-Amφ(A)An∈FI(其中m，n為正整數(shù)，I為單位算子，F(xiàn)為實(shí)或復(fù)數(shù)域)對(duì)所有A∈M成立，則存在λ∈F，使得對(duì)任意的A∈M，有φ(A)=λA.馬[4]將此結(jié)論推廣到了完全分配可交換子空間格代數(shù)上．

將映射條件弱化一直是許多學(xué)者研究的熱點(diǎn)問(wèn)題[8-10].于是，本文的目的是在沒(méi)有可加性的條件下，證明因子von Neumann 代數(shù)上滿足某種條件的映射為可加中心化子，并給出此映射的具體刻畫．

設(shè)H為實(shí)或復(fù)數(shù)域F上的Hilbert空間，B(H)表示H上的全體有界線性算子.M是作用在H上的von Neumann代數(shù)，I是B(H)中的單位算子，Z是M的中心.若Z=M∩M′=FI，則稱M為H上的因子von Neumann代數(shù).眾所周知，因子von Neumann代數(shù)M是素的，即對(duì)任意的A，B∈M，若AMB=0，則A=0或B=0．

1 主要結(jié)果及證明

定理設(shè)m，n是任意非零整數(shù)，且滿足(m+n)(m-n)≠0，M是一個(gè)因子von Neumann代數(shù)，φ是M上的一個(gè)映射(沒(méi)有可加性的假設(shè)).若對(duì)任意的A，B∈M，有

2mφ(AB)+2nφ(BA)=mφ(A)B+

mAφ(B)+nφ(B)A+nBφ(A).

(1)

則存在λ∈F，使得對(duì)任意的A∈M，有φ(A)=λA.

取P1∈M為一個(gè)固定非平凡投影，記P2=I-P1且Mij=PiMPj(1≤i，j≤2)，顯然可將M代數(shù)分解為M=M11+M12+M21+M22.以下通過(guò)幾個(gè)步驟來(lái)完成定理的證明．

步驟1φ(0)=0．

證明在(1)式中，取A=B=0，即得φ(0)=0.證畢．

步驟2φ(Mii)?Mii，φ(Mij)?Mij(1≤i≠j≤2)．

證明由(1)式，得

2mφ(Pi)+2nφ(Pi)=

mφ(Pi)Pi+mPiφ(Pi)+nφ(Pi)Pi+nPiφ(Pi).

化簡(jiǎn)得

2φ(Pi)=φ(Pi)Pi+Piφ(Pi).

(2)

對(duì)(2)式兩邊左右同時(shí)乘Pj，得Pjφ(Pi)Pj=0.對(duì)(2)式兩邊左乘Pi右乘Pj，得Piφ(Pi)Pj=0.對(duì)(2)式兩邊左乘Pj右乘Pi，得Pjφ(Pi)Pi=0.所以φ(Pi)∈Mii．

對(duì)任意的Aii∈Mii，由于AiiPj=PjAii=0，從而由(1)式及步驟1，有

0=2mφ(AiiPj)+2nφ(PjAii)=

mφ(Aii)Pj+mAiiφ(Pj)+

nφ(Pj)Aii+nPjφ(Aii).

化簡(jiǎn)得

mφ(Aii)Pj+nPjφ(Aii)=0.

(3)

對(duì)(3)式兩邊左右同時(shí)乘Pj，得Pjφ(Aii)Pj=0.對(duì)(3)式兩邊左乘Pi右乘Pj，得Piφ(Aii)Pj=0.對(duì)(3)式兩邊左乘Pj右乘Pi，得Pjφ(Aii)Pi=0.從而φ(Aii)∈Mii．

對(duì)任意的Aij∈Mij，由(1)式及步驟1，有

2nφ(Aij)=2mφ(AijPi)+2nφ(PiAij)=

mφ(Aij)Pi+mAijφ(Pi)+nφ(Pi)Aij+

nPiφ(Aij)=mφ(Aij)Pi+

nφ(Pi)Aij+nPiφ(Aij).

(4)

對(duì)(4)式兩邊左右同時(shí)乘Pi，得(m-n)Piφ(Aij)Pi=0，從而Piφ(Aij)Pi=0.對(duì)(4)式兩邊左右同時(shí)乘Pj，得Pjφ(Aij)Pj=0.對(duì)(4)式兩邊左乘Pj右乘Pi，得

2nPjφ(Aij)Pi=mPjφ(Aij)Pi.

(5)

類似可以證明

2mPjφ(Aij)Pi=nPjφ(Aij)Pi.

(6)

由(5)(6)兩式，有Pjφ(Aij)Pi=0.從而φ(Aij)∈Mij.證畢．

步驟3設(shè)Aii，Bii∈Mii，Aij∈Mij，Aji∈Mji(1≤i≠j≤2)，則

1)φ(AiiAij)=φ(Aii)Aij=Aiiφ(Aij)；

2)φ(AijAjj)=φ(Aij)Ajj=Aijφ(Ajj)；

3)φ(AiiBii)=φ(Aii)Bii=Aiiφ(Bii)；

4)φ(AijAji)=φ(Aij)Aji=Aijφ(Aji)．

證明由(1)式及步驟1和步驟2，得

2mφ(AiiAij)=2mφ(AiiAij)+2nφ(AijAii)=

mφ(Aii)Aij+mAiiφ(Aij)+nφ(Aij)Aii+

nAijφ(Aii)=mφ(Aii)Aij+mAiiφ(Aij).

從而

2φ(AiiAij)=φ(Aii)Aij+Aiiφ(Aij).

(7)

類似可以證明

2φ(AijAjj)=φ(Aij)Ajj+Aijφ(Ajj).

(8)

在(7)式中取Aii=Pi，并注意到Piφ(Aij)=φ(Aij)，故φ(Aij)=φ(Pi)Aij；在(8)式中取Ajj=Pj，并注意到φ(Aij)Pj=φ(Aij)，故φ(Aij)=Aijφ(Pj).所以φ(AiiAij)=AiiAijφ(Pj)=Aiiφ(Aij)，再由(7)式，有φ(AiiAij)=φ(Aii)Aij．

同理φ(AijAjj)=φ(Pi)AijAjj=φ(Aij)Ajj，再由(8)式，有φ(AijAjj)=Aijφ(Ajj).由結(jié)論1)，對(duì)任意的Aij∈Mij，有

φ(AiiBii)Aij=φ(AiiBiiAij)=φ(Aii)BiiAij，

且

φ(AiiBii)Aij=φ(AiiBiiAij)=

Aiiφ(BiiAij)=Aiiφ(Bii)Aij.

從而

(φ(AiiBii)-φ(Aii)Bii)Aij=0，

(φ(AiiBii)-Aiiφ(Bii))Aij=0.

由于M是素代數(shù)，則φ(AiiBii)=φ(Aii)Bii=Aiiφ(Bii)．

對(duì)任意的Aij∈Mij,Aji∈Mji,有

2mφ(AijAji)+2nφ(AjiAij)=

mφ(Aij)Aji+mAijφ(Aji)+

nφ(Aji)Aij+nAjiφ(Aij).

結(jié)合步驟2，有2mφ(AijAji)=mφ(Aij)Aji+mAijφ(Aji).約去m，得

2φ(AijAji)=φ(Aij)Aji+Aijφ(Aji).

(9)

由結(jié)論2)和3)，則φ(AijAji)=φ(AijAjiPi)=AijAjiφ(Pi)=Aijφ(Aji).再由(9)式，有φ(AijAji)=φ(Aij)Aji.證畢．

步驟4設(shè)Aii∈Mii，Aij∈Mij，Aji∈Mji(1≤i≠j≤2)，則

1)φ(Aij+Aji)=φ(Aij)+φ(Aji)；

2)φ(Aii+Aij)=φ(Aii)+φ(Aij)；

3)φ(Aii+Aji)=φ(Aii)+φ(Aji)．

證明由(1)式及步驟1和步驟3，則

2mφ(Aij)+2nφ(Aji)=

2mφ(Pi(Aij+Aji))+2nφ((Aij+Aji)Pi)=

mφ(Pi)(Aij+Aji)+mPiφ(Aij+Aji)+

nφ(Aij+Aji)Pi+n(Aij+Aji)φ(Pi)=

mφ(Aij)+nφ(Aji)+mPiφ(Aij+Aji)+

nφ(Aij+Aji)Pi.

即

mφ(Aij)+nφ(Aji)=

mPiφ(Aij+Aji)+nφ(Aij+Aji)Pi.

(10)

對(duì)(10)式兩邊左右同時(shí)乘Pi，得Piφ(Aij+Aji)Pi=0.輪換i，j得Pjφ(Aij+Aji)Pj=0．

對(duì)(10)式兩邊左乘Pi右乘Pj，得Piφ(Aij+Aji)Pj=φ(Aij).對(duì)(10)式兩邊左乘Pj右乘Pi，得Pjφ(Aij+Aji)Pi=φ(Aji).所以φ(Aij+Aji)=φ(Aij)+φ(Aji)．

對(duì)任意的Aii∈Mii，Aij∈Mij，由(1)式及步驟1，步驟2和步驟3，一方面，有

2nφ(Aij)=2mφ(Pj(Aii+Aij))+

2nφ((Aii+Aij)Pj)=mφ(Pj)(Aii+Aij)+

mPjφ(Aii+Aij)+nφ(Aii+Aij)Pj+

n(Aii+Aij)φ(Pj)=mPjφ(Aii+Aij)+

nφ(Aii+Aij)Pj+nφ(Aij).

即

nφ(Aij)=mPjφ(Aii+Aij)+nφ(Aii+Aij)Pj.

(11)

對(duì)(11)式兩邊左右同時(shí)乘Pj，得Pjφ(Aii+Aij)Pj=0.對(duì)(11)式兩邊左乘Pj右乘Pi，得Pjφ(Aii+Aij)Pi=0．

另一方面，有

2mφ(Aii+Aij)+2nφ(Aii)=

2mφ(Pi(Aii+Aij))+2nφ((Aii+Aij)Pi)=

mφ(Pi)(Aii+Aij)+mPiφ(Aii+Aij)+

nφ(Aii+Aij)Pi+n(Aii+Aij)φ(Pi)=

(m+n)φ(Aii)+mφ(Aij)+mPiφ(Aii+Aij)+

nφ(Aii+Aij)Pi.

即

2mφ(Aii+Aij)+(n-m)φ(Aii)=

mφ(Aij)+mPiφ(Aii+Aij)+nφ(Aii+Aij)Pi.

(12)

對(duì)(12)式兩邊左右同時(shí)乘Pi，得Piφ(Aii+Aij)Pi=φ(Aii).對(duì)(12)式兩邊左乘Pi右乘Pj，得Piφ(Aii+Aij)Pj=φ(Aij).所以φ(Aii+Aij)=φ(Aii)+φ(Aij)．

類似可以證明φ(Aii+Aji)=φ(Aii)+φ(Aji).證畢．

步驟5設(shè)Aii，Bii∈Mii，Aij，Bij∈Mij(1≤i≠j≤2)，則

1)φ(Aij+Bij)=φ(Aij)+φ(Bij)；

2)φ(Aii+Bii)=φ(Aii)+φ(Bii)．

證明對(duì)任意的Aij，Bij∈Mij，因?yàn)锳ij+Bij=(Pi+Aij)(Pj+Bij)且(Pj+Bij)(Pi+Aij)=0，從而由(1)式及步驟1，步驟2，步驟3，步驟4，有

2mφ(Aij+Bij)=

2mφ((Pi+Aij)(Pj+Bij))+

2nφ((Pj+Bij)(Pi+Aij))=

mφ(Pi+Aij)(Pj+Bij)+

m(Pi+Aij)φ(Pj+Bij)+

nφ(Pj+Bij)(Pi+Aij)+

n(Pj+Bij)φ(Pi+Aij)=

2mφ(Aij)+2mφ(Bij).

故φ(Aij+Bij)=φ(Aij)+φ(Bij)．

對(duì)任意的Aii，Bii∈Mii，一方面，由步驟3，有

φ((Aii+Bii)Aij)=φ(Aii+Bii)Aij.

另一方面，由步驟3和步驟5的1)，有

φ((Aii+Bii)Aij)=φ(AiiAij)+φ(BiiAij)=

φ(Aii)Aij+φ(Bii)Aij.

比較以上兩式，得(φ(Aii+Bii)-φ(Aii)-φ(Bii))Aij=0.由于M是素代數(shù)，則φ(Aii+Bii)=φ(Aii)+φ(Bii).證畢．

步驟6設(shè)Aij∈Mij(1≤i，j≤2)，則

φ(A11+A12+A21+A22)=

φ(A11)+φ(A12)+φ(A21)+φ(A22).

證明由(1)式及步驟2，步驟3，步驟4，則

2mφ(A21)+2(m+n)φ(A22)+2nφ(A12)=

2mφ(A21+A22)+2nφ(A12+A22)=

2mφ(P2(A11+A12+A21+A22))+

2nφ((A11+A12+A21+A22)P2)=

mφ(P2)(A11+A12+A21+A22)+

mP2φ(A11+A12+A21+A22)+

nφ(A11+A12+A21+A22)P2+

n(A11+A12+A21+A22)φ(P2)=

(m+n)φ(A22)+nφ(A12)+

mφ(A21)+mP2φ(A11+A12+A21+A22)+

nφ(A11+A12+A21+A22)P2.

從而

(m+n)φ(A22)+nφ(A12)+mφ(A21)=

mP2φ(A11+A12+A21+A22)+

nφ(A11+A12+A21+A22)P2.

(13)

對(duì)(13)式兩邊左乘P1右乘P2，得φ(A12)=P1φ(A11+A12+A21+A22)P2.對(duì)(13)式兩邊左乘P2右乘P1，得φ(A21)=P2φ(A11+A12+A21+A22)P1.對(duì)(13)式兩邊左右同時(shí)乘P2，得φ(A22)=P2φ(A11+A12+A21+A22)P2．

類似可以證明φ(A11)=P1φ(A11+A12+A21+A22)P1．從而φ(A11+A12+A21+A22)=φ(A11)+φ(A12)+φ(A21)+φ(A22).證畢．

定理的證明設(shè)A，B∈M，則A=A11+A12+A21+A22，B=B11+B12+B21+B22，其中Aij，Bij∈Mij(1≤i，j≤2).由步驟5和步驟6，有

φ(A+B)=φ(A11+B11)+φ(A12+B12)+

φ(A21+B21)+φ(A22+B22)=

φ(A11)+φ(B11)+φ(A12)+φ(B12)+

φ(A21)+φ(B21)+φ(A22)+φ(B22)=

φ(A11+A12+A21+A22)+

φ(B11+B12+B21+B22)=φ(A)+φ(B).

即φ是可加的.又由步驟2和步驟3，有

φ(AB)=φ(A11B11+A11B12+A12B21+A12B22+

A21B11+A21B12+A22B21+A22B22)=

φ(A11B11)+φ(A11B12)+φ(A12B21)+φ(A12B22)+

φ(A21B11)+φ(A21B12)+φ(A22B21)+φ(A22B22)=

φ(A11)B11+φ(A11)B12+φ(A12)B21+φ(A12)B22+

φ(A21)B11+φ(A21)B12+φ(A22)B21+φ(A22)B22=

A11φ(B11)+A11φ(B12)+A12φ(B21)+A12φ(B22)+

A21φ(B11)+A21φ(B12)+A22φ(B21)+A22φ(B22)=

φ(A11+A12+A21+A22)(B11+B12+B21+B22)=

(A11+A12+A21+A22)φ(B11+B12+B21+B22)=

φ(A)B=Aφ(B).

所以φ是M上的一個(gè)中心化子．

進(jìn)一步，對(duì)任意的A∈M，有φ(A)=φ(I)A=Aφ(I)，即φ(I)∈Z=FI.亦即存在λ∈F，使得φ(I)=λI，從而對(duì)任意的A∈M，有φ(A)=λA.證畢．

2 結(jié)束語(yǔ)

本文在去掉映射可加性的條件下，研究了因子von Neumann 代數(shù)上滿足某種條件的映射為中心化子的問(wèn)題.通過(guò)幾個(gè)步驟證明了此映射為可加中心化子，并得到其同樣具有形式φ:A→λA(λ∈F，?A∈M)，豐富了中心化子的理論分析，具有一定的理論意義．