從2020年高考江蘇卷第12題談求最值的方法

俞新龍

真題：已知5x2y2+y4=1（x， y∈R），則x2 +y2的最小值是_________.

本題是應用基本不等式求最值類問題，其做法可以是：（解法1）因為（5x2+y2）y2=1，所以（5x2+y2）4y2=4，因此4=（5x2+y2）4y2 ≤[■]2 =■（x2+y2）2，故x2+y2≥■，于是得x2+y2的最小值是■. 但我們知道，本題不能直接使用基本不等式解題，還是需要進行一定的配湊技巧，而配湊是學生的弱項，因此，學生比較懼怕需要進行類似處理的不等式最值問題. 那么，能否從其他途徑來破解呢？我們認為三角換元法、消元法和等差（等比）中項法是不錯的選擇.

一、三角換元法

當考題的條件或所求目標式中有平方和結構特征時，一般就可以從三角換元法考慮解題，用三角換元法解題時只需要一步一步地計算而不需要解題技巧了. 例如本高考題可以有以下兩種做法：

三角換元法1（解法2）：注意到條件式5x2y2+y4=1，則可設5x2y2=cos2θ，y2=sinθ>0，所以x2+y2=■+sinθ=■+sinθ=■sinθ+■≥■.

三角換元法2（解法3）：注意到目標式x2+y2是平方結構，不妨設x2+y2=t2，于是可設x=tcosθ，y=tsinθ，代入條件式得1=5t4cos2θ·sin2θ+t4·sin4θ=■t4sin22θ+t4（■）2=-■t4（2cos22θ+cos2θ）+■t4≤-■t4·（-■）+■t4=■t4，解得t2≥■，即x2+y2≥■.

為便于熟練掌握該方法，下面我們再從以下各種例子來體驗.

例1.已知實數x≥0，y≥0，滿足x2+■=1，則x■的最大值是_________.

解析：可設x=cosθ，y=■sinθ，且θ∈[0，■]，則x■=cosθ■=■=■=■≥■.

例2.若實數x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是_________.

解析：因為x2+y2+xy=（x+■）2+■y2=1，所以可設x+■=cosθ，■y=sinθ，解得x=cosθ-■sinθ，y=■=sinθ，故x+y=cosθ+■sinθ=■sin（θ+■）≤■.

例3.若實數x，y滿足2x+2y=1，則x+y的最大值是_________.

解析：可設2x=cos2θ，2y=sin2θ，即x=2log2cosθ，y=2log2sinθ，且θ∈[0，■]，則x+y=2log2cosθ+2log2sinθ=2log2（sinθcosθ）=2log2（■sin2θ）≤2log2■=-2.

例4.函數y=■+■（■

解析：因為（■）2+（■）2=4，所以可設■=2cosθ，■=2sinθ，且θ∈（0，■），于是y=2cosθ+2sinθ=2■sin（θ+■）≤2■.

評注：三角換元法的實施是依據恒等式（rcosx）2+（rsinx）2=r2，這個恒等式的結構題干中可能直接有也可能需要去發現（如例4），當然根據問題的具體情況可以限定角度x的范圍. 三角換元法的實施還需要學生掌握扎實的三角函數運算的基本功.

二、消元法

消元法顧名思義就是通過想辦法減少變量的個數來解題.如本高考題我們可以如下求解：

（解法4）設x2+y2=t>0，將x2=t-y2代入條件式并化簡得4y4-5ty2+1=0，因為y有解，所以△=25t2-16≥0，解得t≥■，即x2+y2≥■. 同樣地，為更有效掌握好消元法求最值，我們再從以下實例來體驗.

例5.已知x， y>0，則■的最小值為__________.

解析：（思路1）因為任意兩個非零實數必定具有正比例關系，所以不妨設y=kx（k>0），則■=■≥■=2■·■=2■·■=2■·■，當k-1≤0時不符合，故考慮k-1>0時，■=2■·■≥■，當且僅當（2+k+k2）x2=3，k-1=■，即k=3、x=■時等號成立，則■的最小值為■.

（思路2）設x+y=t，則■=■=■（x-■t）2+■t+■≥■t+■≥■，當且僅當x=■t，■t=■，即t=■、x=■時等號成立，則■的最小值為■.

例6.已知正實數a，b滿足■+■=1，則ab的最大值為_____________.

解析：類似不等式應用中1的代換，有ab=ab[■+■]=■+■，可設b=λa（λ>0），故ab=■+■=1+■，令t=λ-1>-1，于是ab=1+■，當-1<t≤0時，ab≤1，t>0時ab=1+■≤1+■=2-■，當且僅當2t=■即t=■時取等號，所以ab的最大值為2-■.

例7.已知點P是直線y=x+1上的動點，點Q是拋物線y=x2上的動點. 設點M為線段PQ的中點，O為原點，則|OM|的最小值為_____________.

解析：設P（a， a+1），Q（b， b2），則M（■，■），故 |OM|2 =（■）2+（■）2，設a+b=t，于是|OM|2=■+（■）2=■=■（t+■）2+■（b2-b+1）2 =■（t+■）2+■[（b-■）2+■]2≥■·■，所以 |OM|≥■，則 |OM| 的最小值為■.

評注：用基本不等式求最值是高中數學教學中著重強調的一個求最值問題的方法，由此卻削弱了消元法思想在求最值中的應用（尤其是在求雙變量最值問題中情況更為嚴重），從而導致了一些雙變量最值問題考生無法入手求解. 實際上，我們知道考生最熟悉的應該是單變量，而消元法就是減元至一元的最有效的方法，因此，熟練掌握用消元法思想求雙變量最值是十分必要的. 當我們進行上述消元法思想解題時實際上還運用了主元變換思想.

三、等差（等比）中項法

如果條件式中有和（或積）為常數，則我們可以利用等差（等比）中項的關系來進行求解，如本高考題就可以這樣解決：

（解法5）因為5x2y2+y4=1，可設5x2y2=■-d，y4=■+d，則（x2+y2）2=x4+2x2y2+y4=■+■（1-y4）+y4=■+■（■+d）+■=■（■+d）+■+■≥■，所以x2+y2≥■.

也可以從目標式入手靈活解決：（解法6）設x2=t-d，y2=t+d，代入條件式得5（t-d）（t+d）+（t+d）2=1，4d2-2td-6t2+1=0，因為d有解，所以△= 4t2-16（1-6t2）≥0，解得t≥■，則x2+y2=2t≥■.

為便于掌握該方法求最值，同樣地請繼續體驗以下例子.

例8.已知實數x≥0，y≥0，滿足x2+■=1，則x■的最大值是_________.

解析：設x2=■-d，■=■+d，-■≤d≤■，則x■=■=■=■≤■.

例9.若實數x，y滿足2x+2y=1，則x+y的最大值是_________.

解析：設2x=■-d，2y=■+d，-■

例10.已知a>0，b>0，ab=8，則a的值為______時，log2 alog2 （2b）取到最大值.

解析：設a=■q，b=■，q>0，則log2alog2（2b）=（log2q+■）（-log2q+■）=-（log2q）2+log2q+■≤4.

例11.已知實數x，y滿足x2-4xy-5y2=5，則x2+2y2的最小值是_________.

解析：因為x2-4xy-5y2=（x-5y）（x+y）=5，設x-5y=■q，x+y=■，解得x=■（■+q），y=■（■-q），所以x2+2y2=■（■+q）2+■（■-q）2=■+■q2+■≥2■+■=■.

評注：能用等差（等比）中項法解題的問題具有十分明顯的和（或積）為定值、或能通過因式分解的形式轉化出來和（或積）為定值的特點，當然在后續計算過程中一定要注意仔細.

綜上所述，最值問題的計算方法除了基本不等式（■≤■≤■≤■）外還有其他一些諸如三角換元法、消元法、等差（等比）中項法等方法，真可謂“條條道路通羅馬”，在具體問題的解決過程中我們可以有選擇的使用.

責任編輯 徐國堅