博觀而約取，厚積而薄發(fā)

林生

數(shù)列作為高考數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)有機(jī)聯(lián)系的橋梁，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，因此數(shù)列作為高考的一個(gè)“重頭戲”，特別是文科，每年的分值都比較高.縱觀每年的高考數(shù)列大題，它在高考試卷中都特別重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，特別是近幾年數(shù)列大題也重視學(xué)科核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法考查，側(cè)重考查“基本量的換算”等題型，因此我們?cè)趥淇紩r(shí)就要把握基本運(yùn)算關(guān)系，查找出學(xué)生存在的問(wèn)題和薄弱點(diǎn)，那么很多問(wèn)題便迎難而解.下面結(jié)合近年全國(guó)卷數(shù)列的題型來(lái)分析，通過(guò)對(duì)該類(lèi)型的研究與分析來(lái)尋找它的“前世今生”，找到其“源”與“流”，進(jìn)一步落實(shí)基礎(chǔ)，掌握數(shù)列考點(diǎn)復(fù)習(xí)的“點(diǎn)點(diǎn)通”，博觀而約取，從而對(duì)數(shù)列題型進(jìn)行歸納總結(jié)和預(yù)測(cè)，讓考生在考場(chǎng)中開(kāi)啟思維、縱橫聯(lián)系、觸類(lèi)旁通，居高臨下地覓出2021年高考數(shù)列題型的趨勢(shì)，探窺出數(shù)列題型優(yōu)效備考的策略.

一、厚積薄發(fā)找“源流” 博觀約取覓“考道”

通過(guò)對(duì)2016年—2020年全國(guó)卷數(shù)列題型的統(tǒng)計(jì)和分析，可得到表1：

通過(guò)表1可看出：數(shù)列在高考中的考查，客觀題突出“小而巧”，題目以容易題、中檔題為主;解答題注重對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法的考查，主要是圍繞著“數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列的求和”而展開(kāi)，在考查的過(guò)程中，突出等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的換算，有時(shí)候還會(huì)與綜合函數(shù)、不等式等有關(guān)知識(shí)結(jié)合，但有關(guān)數(shù)列的綜合性問(wèn)題在高考中往往以壓軸題或解答題的形式出現(xiàn)，這類(lèi)問(wèn)題不僅考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，還給學(xué)生提供了創(chuàng)新思維的空間.因此我們?cè)趥淇嫉倪^(guò)程中，要時(shí)刻注意數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，要弄清等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與一次函數(shù)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系. 解題時(shí)要充分運(yùn)用函數(shù)思想，借助函數(shù)圖象、性質(zhì)簡(jiǎn)化等，同時(shí)還要注意方程思想、分類(lèi)討論思想、函數(shù)思想、遞推思想等在數(shù)列中的靈活運(yùn)用，我們?cè)趥淇贾凶プ∵@些“關(guān)鍵點(diǎn)”，就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)列題型復(fù)習(xí)進(jìn)行優(yōu)效備考，真正地達(dá)到優(yōu)質(zhì)高效.

二、千淘萬(wàn)漉雖辛苦吹盡狂沙出“考道”

（1）等差數(shù)列和等比數(shù)列相糅合，突出基本運(yùn)算和技能

在近年的高考題中，往往是等差數(shù)列和等比數(shù)列糅合，比如等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、基本運(yùn)算與證明等，主要涉及基本量計(jì)算，突出考查數(shù)列的基本知識(shí)技巧以及技能，重在利用等差等比數(shù)列的公式和性質(zhì)等來(lái)解決問(wèn)題.

例1. 已知{an}是等差數(shù)列，且公差d不為零，其前n項(xiàng)和是Sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則（ ）

A. a1d>0，dS4>0 B. a1d<0，dS4<0

C. a1d>0，dS4<0 D. a1d<0，dS4>0

【分析】本題涉及的知識(shí)點(diǎn)雖相對(duì)多一點(diǎn)，但卻是考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和以及等比中項(xiàng)的基本知識(shí)，主要考查考生能否靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題簡(jiǎn)單問(wèn)題. 本題只要從“a3，a4，a8成等比數(shù)列”入手即可，即■=a3a8？圯（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+7d），整理后可得：3a1d=-5d2，所以d=-■a1，則a1d=-■■<0，且dS4=d（4a1+6d）=-■<0. 所以可得答案.

解析：由a3，a4，a8成等比數(shù)列可得，即■=a3a8，所以（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+7d），化簡(jiǎn)可得3a1d=-5d2，因?yàn)楣頳不為零，所以d=-■a1，因此a1d=-■■<0，dS4=d（4a1+6d）=-■<0，故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題從等差等比的基本知識(shí)出發(fā)，將等差等比的基本知識(shí)結(jié)合在一起，側(cè)重基本量的運(yùn)算.其實(shí)在等差數(shù)列（或等比數(shù)列）中，如果涉及公差、公比等有關(guān)項(xiàng)的一個(gè)條件，則可以考慮將涉及的項(xiàng)均用a1，d（或a1，q）進(jìn)行表示，從而得到a1，d（或a1，q）的關(guān)系，從而找到其中的等量關(guān)系. 再如在求解數(shù)列基本量問(wèn)題時(shí)，一般設(shè)a1，d（q）），也可以設(shè)ak，d（q）;如果等差數(shù)列已知和未知都只與Sn有關(guān)，設(shè)Sn=An2+Bn更好算，同樣，如果等比數(shù)列已知和未知都只與Sn有關(guān)，可以設(shè)Sn=a（1-qn）;解題時(shí)要根據(jù)已知條件設(shè)有利于計(jì)算的未知數(shù)，再結(jié)合實(shí)際等量關(guān)系便可迎難而解.

例2. 已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且滿(mǎn)足a2，2a5，

3a8成等差數(shù)列，則■等于（ ）

A. ■或■????? B. ■或3?????? C. ■????? D. ■或■

【分析】本題實(shí)際上是例1的改編，側(cè)重等差等比基本知識(shí)和運(yùn)算量的運(yùn)算，目的是強(qiáng)化該種題型，命題設(shè)置和手法如同一撤，只要抓住“a2，2a5，3a8成等差數(shù)列”這一條件，即4a5=a2+3a8，即4a1q4=a1q+3a1q7，可得3q6-4q3+1=0，解得q3=1或q3=■，所以■=■或■=■.

解析：因?yàn)閍2，2a5，3a8成等差數(shù)列，即4a5=a2+3a8，因此有4a1q4=a1q+3a1q7，化簡(jiǎn)得3q6-4q3+1=0，解得q3=1或q3=■，所以當(dāng)q3=1時(shí)，■=■=■，當(dāng)q3=■時(shí)，■=■=■=■=■，因此答案選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題從等差等比的基本知識(shí)出發(fā)，將等差等比的基本知識(shí)結(jié)合在一起，側(cè)重基本量的運(yùn)算.其實(shí)在等差數(shù)列（或等比數(shù)列）中，靈活運(yùn)用等差（等比）基本公式，特別是在運(yùn)用等比數(shù)列公式求和時(shí)，要注意q=1或q≠1兩種情況，以免出現(xiàn)漏解的情況.

例3. 已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1+a3=10，a2+a4=5，求a1·a2·a3·…·an的最大值.

【分析】本題將最大值和等比數(shù)列的通性通法結(jié)合在一起，突出考查運(yùn)算的最基本技巧——解方程，而在運(yùn)算的過(guò)程中等比數(shù)列要懂得要用兩個(gè)式子相除，由a1+a3=10，a2+a4=5，即a1（1+q2）=10，a1q（1+q2）=5，從而解得a1=8，q=■，所以a1·a2·a3·…·an=■q1+2+3+…+（n-1）=8n（■）■=2■，因此當(dāng)n=3或n=4時(shí)，可得a1·a2·a3·…·an的最大值為64.

解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由a1+a3=10，a2+a4=5，即a1（1+q2）=10，a1q（1+q2）=5，從而解得a1=8，q=■，所以a1·a2·a3·…·an=■q1+2+3+…+（n-1）=8n（■）■=2■，而-■n2+■n=-■（n2-7n）=-■（n-■）2+■，所以當(dāng)n=3或n=4時(shí)，a1·a2·a3·…·an的最大值為26=64.

【點(diǎn)評(píng)】本題突出考查等比數(shù)列的基本知識(shí)，解方程的思想，同時(shí)和二次函數(shù)的最值結(jié)合在一起，題目有一定的靈活性，但只要掌握基礎(chǔ)知識(shí)即可解決.

【小結(jié)】近年的全國(guó)卷高考題的數(shù)列題型突出對(duì)等差等比數(shù)列的基本運(yùn)算和方程的思想的考查，考查的知識(shí)點(diǎn)雖也各不相同，但從考查的“基本運(yùn)算技巧”來(lái)看，這種思路一直沒(méi)有改變，且呈現(xiàn)出加強(qiáng)的趨勢(shì).無(wú)論是哪種方式呈現(xiàn)，題目所給出的數(shù)據(jù)都是含有信息的，要學(xué)會(huì)根據(jù)等差（等比）的概念以及公式選擇不同的計(jì)算方式，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用方程的思想以及對(duì)公式進(jìn)行變形的應(yīng)用，這些都是體現(xiàn)最基本的運(yùn)算能力的處理，所以考生要對(duì)等差（等比）數(shù)列中基本知識(shí)、基本公式熟練掌握，學(xué)會(huì)用所學(xué)公式知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的運(yùn)算能力的核心素養(yǎng).

（2）以等差等比數(shù)列的性質(zhì)為抓手，突出對(duì)基本性質(zhì)的靈活運(yùn)用

近年的高考題除了考查等差等比的基本知識(shí)外，還特別注重考查等差等比的性質(zhì)，要求對(duì)：性質(zhì)1：在等差（等比）數(shù)列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq（am·an=ap·aq）;性質(zhì)2：在等差（等比）數(shù)列中，其數(shù)列的前n和為Sn，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等差（等比）數(shù)列，要求要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用這兩個(gè)性質(zhì)，從而解決實(shí)際問(wèn)題.

例4. 在等比數(shù)列{an}中，a2，a16是方程x2+6x+2=0的根，則■的值為（ ）

A. -■ B. -■???? C. ■??? D. -■或■

【分析】本題只是將等比數(shù)列的性質(zhì)（若m+n=p+q，則am·an=ap·aq）和一元二次方程的根與系數(shù)結(jié)合在一起，即a2a16=■=2，所以■=■=a9，因此所求的值為-■或■.

解析：因?yàn)閍2，a16是方程x2+6x+2=0的根，所以a2·a16=2，因此由等比數(shù)列的性質(zhì)即可得a2a16=■=2，所以■=■=a9，而a9=-■或■，故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要是靈活考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，其實(shí)只要靈活運(yùn)用性質(zhì)，就可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

例5. 已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，bn=■，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和、前2n項(xiàng)和、前3n項(xiàng)和分別為A，B，C，則（）

A. A+B=CB. B2=AC

C. （A+B）-C=B2 D. （B-A）2=A（C-B）

【分析】本題只是將等比數(shù)列的定義以及等差數(shù)列性質(zhì)結(jié)合一起：即性質(zhì)：等差數(shù)列的前n和為Sn，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等差數(shù)列. 由已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，所以數(shù)列{bn}是公比不等于1的等比數(shù)列，由性質(zhì)可知：A，B-A，C-B成等比數(shù)列，因此（B-A）2=A（C-B）.

解析：因?yàn)橐阎獢?shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)公差為d所以■=■=2■=2d=常數(shù)，數(shù)列{bn}是以2d為公比的等比數(shù)列，因此A，B-A，C-B成等比數(shù)列，即（B-A）2=A（C-B），所以選D.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于等差（等比）數(shù)列的性質(zhì)有很多，但是高考常考的卻是這兩個(gè)，本題和等比數(shù)列的概念結(jié)合在一起，雖然涉及的字母多一點(diǎn)，但只要熟練掌握性質(zhì)，懂得靈活運(yùn)用，那么很多問(wèn)題便迎難而解.

例6. 已知等比數(shù)列{an}中的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11+a9a12=2e5，則lna1+lna2+…+lna20=___________.

【分析】本題只是將等比數(shù)列的性質(zhì)（若m+n=p+q，則am·an=ap·aq）和對(duì)數(shù)的有關(guān)公式結(jié)合在一起，這也是常考的一種題型. 因此由等比數(shù)列性質(zhì)可得：a10a11=a9a12，從而a10a11=a9a12=e5，這里得：

lna1+lna2+…+lna20=ln（a1a2…a20）=ln（e5）10=lne50=50，也可以由{an}為等比數(shù)列，可得{lnan}為等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式：lna1+lna2+…+lna20=■=10lna10a11=10lne5=50.

解析：由于數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a10a11+a9a12=2e5，所以a10a11=a9a12=e5，因此得lna1+lna2+…+lna20=ln（a1a2…a20）=ln（e5）10=lne50=50.

【點(diǎn)評(píng)】本題將等比數(shù)列的性質(zhì)和對(duì)數(shù)知識(shí)結(jié)合在一起，這也是高考常考的題型，只要掌握有關(guān)公式和性質(zhì)，懂得靈活運(yùn)用便可.

【小結(jié)】數(shù)列的性質(zhì)雖比較多，但不用刻意去記這么多性質(zhì)，只要懂得利用最基本的公式和性質(zhì)出發(fā)，從最基本的技能技巧入手，側(cè)重于例4、例5、例6這三個(gè)例題運(yùn)用到的兩個(gè)性質(zhì)便可.

（3）從數(shù)列求通項(xiàng)、求和入手，側(cè)重求通項(xiàng)、求和等基本方法

從近年的高考題來(lái)看，數(shù)列的大題既注重基本量的基本運(yùn)算，但更注重從概念和方法的靈活運(yùn)用考查，尤其是將求通項(xiàng)與求和兩者相結(jié)合.因此要掌握求通項(xiàng)公式的幾種常用方法：①知Sn與an的關(guān)系，用an=S1 （n=1）Sn-Sn-1（n≥2）;②累加法：an+1-an=f（n）（變量）;③累乘法：■=f（n）（變量）;④構(gòu)造新數(shù)列：形如an+1=pan+q（p，q為常數(shù)）的形式構(gòu)造新的等比數(shù)列;再形如an+1=■（p，q為常數(shù)）的形式也是構(gòu)造新數(shù)列（先是取倒數(shù)，即■=■=■+p，再利用形如an+1=pan+q（p，q為常數(shù)）構(gòu)造新的等比數(shù)列，因此要熟練掌握以上這些類(lèi)型，而對(duì)于數(shù)列求和則要求先注意觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式確定求和的方法，而解決非等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和，主要是有兩種思路：①轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想往往用于通過(guò)通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來(lái)完成;②不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過(guò)裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減法等來(lái)求和，而數(shù)列求和的方法主要有如下：①公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列結(jié)合在一起，就考慮用公式直接解決;②裂項(xiàng)相消法：一般是通項(xiàng)可以通過(guò)裂項(xiàng)后可以達(dá)到相消的類(lèi)型，常用的一些裂項(xiàng)方法有：■=■（■-■），特別地當(dāng)k=1時(shí)，■=■-■;■=■（■-■）;■=■=1+■=1+■=1+■（■-■），■=■-■等;其實(shí)裂項(xiàng)的基本思想是利用an=f（n）-f（n+1），■=■-■等，因此在裂項(xiàng)求和的時(shí)候注意要正確裂項(xiàng)，同時(shí)還要注意裂項(xiàng)相消后剩余的項(xiàng)是哪些，最終達(dá)到裂項(xiàng)相消的目的. ③錯(cuò)位相減法：即{an·bn}的類(lèi)型，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列. 其本質(zhì)是錯(cuò)位相減，方法比較機(jī)械，沒(méi)有太多的技巧而言，關(guān)鍵是錯(cuò)位相減后要注意各項(xiàng)的符號(hào)以及利用等比數(shù)列求和時(shí)要注意項(xiàng)數(shù).

例7. 已知各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足2Sn=■+？姿n，？姿∈R.

（1）求？姿的值;

（2）求數(shù)列■的前n項(xiàng)和為T(mén)n .

【分析】本題側(cè)重考查等差數(shù)列通項(xiàng)和求和的基本知識(shí)，但引入?yún)?shù)？姿，這就把一道常規(guī)的題型變得“不常規(guī)”了，但這里只要從Sn與an的關(guān)系出發(fā)，再利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行解答便可;也可以直接進(jìn)行等差數(shù)列基本量的計(jì)算，但由于等差數(shù)列基本量a1和d中有參數(shù)？姿，因此需要構(gòu)造三個(gè)方程，所以常規(guī)的基本量計(jì)算因?yàn)槎嗔藚?shù)而變得“不常規(guī)”，也可以從表達(dá)式的角度來(lái)進(jìn)行解答，這體現(xiàn)了函數(shù)的思想，但綜合幾種解法來(lái)看，這些看似“不常規(guī)”但其實(shí)是“很常規(guī)”的解法.

（1）解析1：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=kn+b（k≠0），則Sn=■=■，由2Sn=■+？姿n可得n（kn+k+2b）=（kn+b）2+？姿n即kn2+（k+2b）n=k2n2+（2kb+？姿）n+b2，則k=k2，k+2b=2kb+？姿，b2=0，解得k=1，b=0，？姿=1，所以？姿=1.

解析2：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），則a2=a1+d，a3=a1+2d，所以S1=a1，S2=2a1+d，S3=3a1+3d，由2Sn=■+？姿n，可得2a1=■+？姿，2（2a1+d）=（a1+d）2+？姿，2（3a1+3d）=（a1+2d）2+？姿，解得a1=1，d=1，？姿=1，所以？姿=1.

解析3：由2Sn=■+？姿n，得當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=an-12+？姿（n-1），兩式相減得2an=2Sn-2Sn-1=■-an-12+？姿，所以2an=■-an-12+？姿，所以an-12=■-2an+？姿設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），則an-12=（an-d）2=■-2and+d2，所以■-2and+d2=■-2an+？姿，因此可得2d=2，d2=？姿，所以d=1，？姿=1.

（2）解析：由（1）得知2Sn=■+n，當(dāng)n=1時(shí)，2a1=■+1，得a1=1.

所以an=a1+（n-1）d=1+n-1=n，

所以■=■=■（■-■），

所以Tn=■[（1-■）+（■-■）+…+（■-■）]=■（1-■）=■.

【點(diǎn)評(píng)】本題正是把握住了常見(jiàn)等差數(shù)列與前n項(xiàng)和的二次函數(shù)關(guān)系，通過(guò)引入?yún)?shù)？姿，這使這一道題型變得“不常規(guī)”，但只要對(duì)二次模型2Sn=n2+n，或2Sn=■+an熟練掌握，把握住等差數(shù)列的概念和方程的思想，這樣很多題型都可以迎難而解.

（4）注重綜合考查，關(guān)注知識(shí)交匯

在近年的高考中，數(shù)列中也注重綜合知識(shí)的考查，關(guān)注知識(shí)交匯，特別是與不等式等知識(shí)結(jié)合，因此近年來(lái)的高考試題的設(shè)計(jì)都十分注重內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問(wèn)題，將知識(shí)交匯的特色突出地彰顯出來(lái).因此在備考中我們要注重綜合考查，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)知識(shí)的交匯點(diǎn)，將相關(guān)知識(shí)結(jié)合在一起備考應(yīng)對(duì).

例8. 已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足nan-（n+1）an-1=2n2+2n（n=2，3，4…），a1=6.

（1）求證■為等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式;

（2）數(shù)列■的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn<■.

【分析】本題將等差數(shù)列的知識(shí)與不等式知識(shí)結(jié)合在一起，將交匯的特色彰顯，（1）問(wèn)只需通過(guò)對(duì)給出的條件分析，構(gòu)造出新的等差數(shù)列，而（2）問(wèn)則是要利用所學(xué)知識(shí)和簡(jiǎn)單的放縮法結(jié)合在一起，利用放縮后再進(jìn)行裂項(xiàng)求和便可以得到求證.

解析：（1）由nan-（n+1）an-1=2n2+2n，可得■-■=2，則數(shù)列■是以首項(xiàng)為3公差為2的等差數(shù)列，因此可得■=3+2（n-1）=2n+1，則an=（n+1）（2n+1）.

（2）由■<■=■（■-■），因此數(shù)列■的前n項(xiàng)和Sn=■+■+…+■≤■+■（■-■+■-■+…+■-■）=■+■（■-■）<■+■=■，因此可得Sn<■.

【點(diǎn)評(píng)】本題涉及到不等式的證明，大多數(shù)不等式的一端為一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，另一端為常數(shù)的形式，證明的關(guān)鍵是放縮：①如果不等式一端的和式可以通過(guò)公式法、裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法求得，則先是求和再放縮;②如果不等式一端的和式無(wú)法求和，則要通過(guò)數(shù)列通項(xiàng)公式的合適放縮使之能夠求和，這時(shí)先放縮再求和，最后放縮，比如這里就是先通過(guò)■<■放縮，然后再求和，求出來(lái)之后再放縮. 因此對(duì)于數(shù)列不等式常用放縮技巧有：■<■，■<■<■，■<■<■，■<■等，但在具體解題中，要根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行放縮，緊扣著要證明的結(jié)論而進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆趴s，從而達(dá)到證明的目的.

變式：已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N*，都有2pSn=■+pan（其中p>0，且p為常數(shù)），記數(shù)列■的前n項(xiàng)和為Hn

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Hn，

（2）當(dāng)p=2時(shí)，將數(shù)列■的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來(lái)的順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng)，記{bn}的前m項(xiàng)和為T(mén)m，若存在m∈N*，使得對(duì)任意n∈N*，總有Tm

【分析】本題信息量比較大，涉及到的字母比較多，但本質(zhì)是考查Sn與an的通項(xiàng)關(guān)系和裂項(xiàng)求和的類(lèi)型，而在第（2）問(wèn)中實(shí)質(zhì)是在數(shù)列背景下的多元恒成立問(wèn)題，先求Tm，Hn的表達(dá)式，由已知可得：p=2時(shí)，Hn=■，要解決Tn，首先要解出等比數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，當(dāng)p=2時(shí)，an=2n，進(jìn)而■=■，■=■，■=■，■=■，顯然抽去的應(yīng)為■，所以b1=■，b2=■，b3=■，得到q=■，Tm=1-（■）m，所以要處理的恒成立不等式為：1-（■）m<■+？姿，再利用最值逐步消元即可求得實(shí)數(shù)？姿的取值范圍.

解析：（1）2pSn=■+pan…①∴2pSn-1=■+pan-1（n≥2）…②

①-②可得：2pan=■-■+pan-pan-1，■- ■-pan-pan-1=0.

∴（an+an-1）（an-an-1-p）=0，∵an>0，∴an-an-1-p=0即an-an-1=p.

∴{an}為公差是以p為公差的等差數(shù)列，在2pSn=■+pan令n=1得：2pS1=■+pa1解得：a1=p，∴an=a1+（n+1）p=np，∴Sn=p（1+2+…+n）=■，

∴■=■·■=■·（■-■）.

∴Hn=■+■+…+■=■[（1-■）+（■-■）+…+（■-■）]=■（1-■）=■·■.

（2）當(dāng)p=2時(shí)，an=2n，進(jìn)而■=■，■=■，■=■，■=■，所以■，■，■是以公比為■的等比數(shù)列，即數(shù)列{bn}的公比為■，且b1=■=■，所以bn=（■）n，因此Tm=■=1-（■）m，而由（1）得，當(dāng)p=2時(shí)，Hn=■，所以恒成立的不等式為：1-（■）m<■+？姿，所以■+？姿>[1-（■）m]min，設(shè)f（m）=1-（■）m可得f（m）為遞增函數(shù)，所以f（m）min=f（1）=■，所以■+？姿>■對(duì)任意的n∈N*均成立，即？姿>（■-■）max，設(shè)g（n）=■-■=-■+■，g（n）為減函數(shù)，所以g（n）max =g（1）=0，因此可得？姿>0.

【點(diǎn)評(píng)】本題其實(shí)質(zhì)是考查數(shù)列基本知識(shí)和利用不等式處理恒成立問(wèn)題，在處理恒成立問(wèn)題時(shí)，兩個(gè)階段對(duì)變量量詞的不同導(dǎo)致取最大還是最小值要明確區(qū)分，第一階段是存在m，也就是說(shuō)只要有m滿(mǎn)足不等式即可，所以只要最小值比右邊小，就意味著已經(jīng)存在這樣的m;第二階段是對(duì)任意的n，不等式均要成立，所以只要g（n）最大值滿(mǎn)足不等式，剩下的函數(shù)值也必然能滿(mǎn)足不等式.

三、活水源流隨處滿(mǎn)博觀約取作預(yù)測(cè)

在數(shù)列的題目中，往往考查等差（等比）數(shù)列的基本概念和基本公式，以及求和最基本的方法，就算是以“嶄新”面貌出現(xiàn)，在其外表上面賦予一層神秘“面紗”，或“改頭換面”，但本質(zhì)都是考查最基本的內(nèi)容，萬(wàn)變不離其宗，只要大家在備考過(guò)程中以不變應(yīng)萬(wàn)變，熟練掌握數(shù)列的有關(guān)公式和性質(zhì)，掌握基本的解題類(lèi)型和方法，同時(shí)加強(qiáng)思想方法的理解，要學(xué)會(huì)在解題中加以強(qiáng)化數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，理解在公式和性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程中蘊(yùn)含的很多思想方法，如：①分類(lèi)討論思想，例如利用等比數(shù)列求和公式時(shí)要考慮q=1和q≠1兩種情況;②數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此要學(xué)會(huì)借助函數(shù)的圖像來(lái)反映數(shù)列的性質(zhì)，要注意數(shù)形結(jié)合的思想;③化歸與轉(zhuǎn)化思想，將數(shù)列問(wèn)題與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，轉(zhuǎn)化成可以解決的問(wèn)題. 因此只要我們?cè)趥淇嫉倪^(guò)程中熟悉以上相關(guān)類(lèi)型，做到博觀而約取，學(xué)會(huì)多角度、多方位分析和提取相關(guān)的信息，最終會(huì)厚積而薄發(fā)，從而實(shí)現(xiàn)解題的“點(diǎn)點(diǎn)通”，同時(shí)在備考中也要注重知識(shí)的交匯，注意答題的規(guī)范性，通過(guò)規(guī)范訓(xùn)練和強(qiáng)化，我們肯定才可以達(dá)到“八方聯(lián)系、渾然一體，漫江碧透、魚(yú)翔淺底”的解題境界.下面再給出兩道預(yù)測(cè)題，以供考生牛刀小試，優(yōu)效備考.

1. 已知{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn， {bn}是等比數(shù)列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10，

（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式，

（2）記Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn，n∈N*，求Tn.

（簡(jiǎn)要解答：（1）設(shè){an}的公差為d， {bn}的公比為q，則a4+b4=27？圯a1+3d+b1q3=27，S4-b4=10？圯4a1+6d-b1q3=10，

即2+3d+2q3=278+6d-2q3=10，解得：d=3q=2，∴an=3n-1，bn=2n;（2）：Tn=（3n-1）·2+（3n-4）·22+…+2·2n……①

2Tn=（3n-1）·22+（3n-4）·23+…+2·2n+1……②

②-①∴ Tn=-（3n-1）·2+3（22+23+…+2n）+2·2n+1

=2n+2-（3n-1）·2+3·■=10·2n-2（3n-1）-12.

2. 已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=2n-1，令bn=（-1）n-1■，求數(shù)列的{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

（簡(jiǎn)要解答：由題意可得：bn=（-1）n-1■，因此分類(lèi)討論，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn-1+bn=■-■=■=■=■-■，n為偶數(shù)時(shí)，所以Tn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（bn-1+bn）=（1-■）+（■-■）+…+（■-■）=1-■=■.

n為奇數(shù)時(shí)，Tn=Tn-1+bn=■+■=■=■=■=■，所以可得：Tn=■，n=2k■，n=2k-1）

【本文系廣東省教育科學(xué)規(guī)劃課題——構(gòu)建高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效教學(xué)”的行動(dòng)研究（課題號(hào)：2016YQJK205）的研究成果】

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)